Численные методы (стр. 4 )

.

Изложенный метод является типично машинным, так как не требует минимального предварительного анализа и очень прост алгоритмически. На каждой итерации деления выполняются лишь два действия. Нахождение новой точки и определение границ нового отрезка

здесь функция означает знак выражения, стоящего в скобках за символом

Этот процесс может быть конечным, если середина отрезка, полученного на некотором шаге, совпадает с искомым корнем , либо бесконечным, с бесконечным приближением к искомому корню. Реально вычисления прекращаются по достижении необходимой точности ,

где – наперед заданное положительное число.

3.2.2. Метод простой итерации

Для применения этого метода приведем уравнение к виду .

С у т ь м е т о д а. Пусть – интервал изоляции корня уравнения и пусть любая точка этого интервала будет исходным (начальным) приближением корня уравнения .

Тогда в качестве первого приближения имеем . В качестве следующего приближения возьмем . Продолжая этот процесс, в качестве -го приближения положим .

Последовательность , , …, , … называется итерационной[14], а метод, основанный на рассмотрении и использовании итерационной последовательности, называется методом простой итерации или методом последовательных приближений.

За приближенное значение корня можно взять такое , для которого выполняется условие , где – наперед заданное число.

У с л о в и я с х о д и м о с т и м е т о д а п р о с т о й и т е р а ц и и. Прежде чем исполь-зовать метод простой итерации для решения уравнения необходимо провести более детальный анализ поведения функции, нежели в методе дихотомии.

Ниже формулируются теоремы, которые дает достаточные условия существования на некотором отрезке единственного решения уравнения , и указывают также оценки погрешности приближенного решения.

Сначала дадим определение. Функция удовлетворяет на отрезке условию Липшица с постоянной , если для любых выполняется неравенство .

В частности, если функция непрерывно дифференцируема на отрезке , то она удовлетворяет на условию Липшица с постоянной .

Т е о р е м а 4. Пусть функция удовлетворяет на отрезке условию Липшица с постоянной , причем выполняется еще два условия:

,

.

Тогда уравнение имеет на отрезке единственное решение:

,

где — левый конец отрезка , ,

При этом имеют место оценки:

, ,

где , [15].

З а м е ч а н и е 3.1. Справедлив другой вариант теоремы 3.4, когда отрезок заменяется на отрезок , вместо условия фигурирует условие , а величина имеет выражение.

Т е о р е м а 5. Пусть уравнение имеет единственный корень на отрезке и выполнены условия:

1) определена и дифференцируема на отрезке ;

2) для всех ;

3) существует такое вещественное , что для всех .

Тогда итерационная последовательность () сходится при любом начальном члене , причем [16].

Из последнего неравенства следует, что для нахождения корня уравнения методом простой итерации с точностью нужно продолжить итерации до тех пор, пока модуль разности между последними соседними приближениями остается больше .

Пример 3.5. Рассмотрим уравнение , где – число . Это уравнение является уравнением вида с . Оно имеет решение (в этом нетрудно убедиться непосредственно).

Попытаемся применить теорему 4. Положим , , т. е. выберем . Имеем при :

.

Следовательно, функция удовлетворяет на отрезке условию Липшица с . Таким образом, условие выполнено. Проверим условие . Действительно:

.

Теорема 4 гарантирует, что на отрезке рассматриваемое уравнение имеет единственное решение, а именно то, о котором мы уже догадались, т. е. . Для его вычисления может быть применен метод простой итерации:

.

Погрешность целесообразно оценить в процессе вычислений по неравенству , которое более точное, чем . Данный способ сводит вычисление квадратного корня к арифметическим действиям.

П р и м е р 3.6. Решить уравнение .

Проиллюстрируем применение теоремы 3.5 к решению данного уравнения. Построим графики функций и . Из графика видно, что рассматриваемое уравнение имеет единственный корень, принадлежащий отрезку . Вычислим для проверки значения функции на концах отрезка : ,

.

Попробуем сузить отрезок , полученный графическим способом. Вычислим . Так что отрезком отделения корней исходного уравнения можно считать .

Уравнение можно привести к итерационному виду несколькими способами, например:

1) ;

2) , ;

3) .

Исследуем возможность применения к полученным представлениям метода простой итерации.

В первом случае . Функция определена и дифференцируема на отрезке , однако второе условие ( для всех ) теоремы 3.5 не выполняется: вычислим , т. е. уже в левом конце отрезка значение функции выходит за пределы отрезка.

Рассмотрим второе представление. Уравнение, равносильное , , на отрезке , получается при .

Здесь . Поскольку , то, по правилу нахождения производной сложной функции, имеем . Замечаем далее, что для всех , следовательно, функция монотонно убывает на отрезке . Вычислим ее значения на концах отрезка:

,

.

Так как полученные значения входят в отрезок , а функция монотонна, то отсюда следует, что второе условие теоремы 3.5 выполняется.

Для проверки третьего условия теоремы 3.5 исследуем производную функции на отрезке . Обозначим: .

Найдем производную функции : .

Заметим, что на отрезке всюду отрицательна. Это значит, что монотонно убывает и ее модуль достигает максимального значения в одном из концов отрезка . Поскольку , вычислим:

,

.

Таким образом, условие (3) теоремы 5 будет выполнено, если принять .

Уточнение корня уравнения с нулевым значением приведено в табл. 3.1.

Таблица 3.1

0	1.4	1.	– 0.
1	1.	1.	0.
2	1.	1.	– 0.
3	1.	1.	0.
4	1.	1.	– 0.
5	1.	1.	0.
6	1.	1.	– 0.

Если искать приближенное решение с точностью , то, учитывая, что , на основании оценочной формулы , уже для третьего приближения имеем: .

Принимая во внимание величину затребованной точности округлим результат до четвертого знака после запятой: .

Посмотрим, как можно было бы воспользоваться третьим представлением заданного уравнения:

.

В этом случае:

,

.

Попробуем подобрать константу так, чтобы для функции были выполнены условия (2) и (3) теоремы 3.5. Обозначим . Заметим, что производная на отрезке отрицательна, следовательно , на этом отрезке монотонно убывает. Ее значения на концах ; . Функция также убывает на отрезке , а ее значения на концах зависят от :

Учитывая монотонность функции , из последних равенств замечаем, что условие (2) теоремы 5 будет выполнено, если достаточно малое отрицательное число. Проверим третье условие теоремы 5.

Поскольку на отрезке отрицательна и монотонно убывает, ее модуль имеет максимум на правом конце отрезка:

.

Понятно, что если принять , то для всех значение выражения будет правильной[17] положительной дробью. Это вполне обеспечивает выполнение условия (3) теоремы 3.5 (так же как, впрочем, и условия (2)). Учитывая, что

,

можно принять (заметим, что малое обещает быструю сходимость).

Таким образом, итерационная формула приобретает вид .

Уточнение корня уравнения с нулевым значением и точностью приведено в табл. 3.2.

Таблица 3.2

0	1.4	1.	– 0.
1	1.	1.	– 0.
2	1.	1.	– 0.
3	1.	1.	– 0.
4	1.	1.	– 0.

Принимая во внимание величину затребованной точности , учитывая, что , на основании оценочной формулы , уже для пятого приближения имеем:

Округлим окончательный результат до восьмого знака после запятой:

.

В заключение заметим, что указать заранее, какой из способов нужно применить в том или ином случае невозможно.

З а м е ч а н и е 3.2. Укажем некоторые общие приемы преобразования уравнения к виду , так, чтобы получить сходящийся итерационный процесс.

1. Уравнение равносильно уравнению ; прибавив к левой и правой частям этого равенства, приходим к уравнению .