Прогрессивные технологии в обучении и производстве (стр. 2 )

В результате исследований построена качественная картина распределения электрических полей в растворе электролита. Наблюдали высокую концентрацию линий тока в подэлектродной и пристенной областях модели кристаллизатора, на основании чего сделаны выводы о характере движения потоков шлака при ЭШН. Было доказано наличие двух противоположно направленных торообразных потоков, способствующих интенсивному перемешиванию шлака.

Исследование характера потоков шлака, их направлений и ско­ростей и последующая разработка эффективных способов управления ими по­зволят существенно модернизировать электрошлаковую технологию.

УДК 577.31:616.314

БИОМЕХАНИЧЕСКАЯ ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ

ЗУБ-ПЕРИОДОНТ В АЛЬВЕОЛЕ

П

Волгоградский государственный технический университет

(84, e-mail: *****@***ru

Известно, что успех ортодонтического лечения по коррекции положения аномально расположенного зуба в зубном ряду зависит от правильной дозировки усилий, развиваемых ортодонтической дугой. Поэтому актуальной является задача разработки обоснованной методики расчета усилий в системе зубы – периодонт – ортодонтическая дуга. Точность расчета во многом определяется корректностью описания взаимодействия твердых тканей зуба с окружающим его мягкими тканями периодонта, имеющих специфическое строение в форме пучков волокон.

Отказ от представления периодонта в виде однородной изотропной упругой среды, используемой в ряде современных публикаций, например [1,2] и моделирование периодонта системой дискретных ориентированных под определенными углами к оси корня зуба волокон очевидно повышает достоверность описания картины перемещений зуба под действием функциональных и корректирующих нагрузок. Однако, такой подход одновременно усложняет моделирование рассматриваемых явлений необходимостью учета особенностей деформирования каждого пучка волокон, точка К которого перемещается вместе с корнем в положение D при неподвижной точке Q в месте прикрепления к стенке альвеолы. Эволюции корня зуба могут вызвать искривление и изменение длины волокна.

Для упрощения анализа введем следующие гипотезы.

1.  Волокно в основном сопротивляется упругим деформациям растяжения, сжатия, определяемым изменением длины волокна.

2.  Относительные линейные деформации волокна постоянны по его длине.

3.  Искривление геометрической оси пучка волокон описывается степенными функциями в локальных системах прямоугольных координат, связанных с неподвижными сечениями на стенке альвеолы.

На рис. 1 показано положение оси пучка волокон (в дальнейшем именуемым волокном) при трех характерных перемещениях зуба: i=1 – вертикальное на величину w, i=2 – поворот относительно точки С корня на угол в вертикальной плоскости, i=3 – поворот нормального сечения корня z=const на угол .

Конфигурацию волокна при указанных перемещениях опишем (см. рис. 1) в параметрической форме следующим образом в локальных системах координат с началом в точке Q ().

Изменение положения волокна при характерных перемещениях корня зуба

, (1)

Рис. 1

В качестве параметра выбрана координата , параллельная радиальной координате ОzК в сечении z= const. Ось Qζ параллельна оси oz глобальной системе xyz. Показатели mi, ni, в общем виде различны для разных случаев i=1,2,3. Поскольку волокна более плотно врастают в стенку альвеолы, чем в цемент корня, то разумно назначить интервалы , .

Множители Аi, Bi зависят от координат точки Ki. , перемещающейся вместе с корнем в положение Di, т. е. от величин , , . Тогда из (1)

, , i=1,2,3, (2)

где в соответствии с рис. 1:

=S=R-r; =0; =zQ-zK+ w; i = 1 (3)

(4)

; ; ; i=3 (5)

где .

Для определения усилий, возникающих в периодонте при перемещении зуба, воспользуемся в рамках гипотез 1, 2 цепочкой . Здесь – относительные линейные деформации волокна, определяемые изменением его длины,

, (6)

L – длина искривленного волокна в текущий момент,

L0 – длина волокна в исходном (начальном) состоянии:

, (7)

. (8)

Для криволинейного интеграла (7) производные

, (9)

определяются выражениями (1) – (5) для фиксированных значений i=1,2,3 и нулевых значений параметров перемещений , В интеграле (5) аналогичные производные (9) вычисляются для волокна в исходном (начальном) состоянии, т. е. при , соответственно, для i=1,2,3.

Наиболее простой вид интегралы (7), (8) и входящие в них выражения и функции приобретают при mi=1, ni=1, поскольку из (9) с учетом (2) следует:

(10)

, (11)

где в соответствии с (3) – (5) при i=1 w=0, i=2 , i=3 имеем:

. (12)

Итак, при mi=ni интегралы (7), (8) приобретают вид

, (13)

Напряжения в волокне зависят по закону Гука от величины деформации и модуля Юнга волокон .

. (14)

Тогда усилия в пучке волокон с площадью поперечного сечения Ап

. (15)

Ориентация усилия в Nn в точке Di на поверхности корня определяется в локальной системе вектором единичной длины , , где проекции равны:

(16)

Для определения проекций усилия Nп в единой для альвеолярной ячейки системе координат (xyz), рассмотрим особенности определения проекций tx, ty, tz в точке Di для разных случаев перемещений корня, соответствующих i=1,2,3 (рис. 1).

i=1. Т. к., из (3) , то в точке D1:

(17)

, (17)

, .

i=2.

(18)

i=3.

(19)

tr – проекция вектора на луч OzD3 в направлении положительного угла . Положительные углы , откладываются против часовой стрелки от оси Оz х.

С использованием выражений (17) – (19) определяются проекции усилия Nп в точке Di:

, , (20)

в направлении осей ох, оу, oz соответственно.

В случае поворота корня на угол (i=3) возникает закручивающий корень момент Мпк от проекции Nп r в точке D3 относительно центра сечения корня z=zK :

, . (21)

При симметричном расположении пучков волокон относительно плоскости xoz моменты Мпк для i=1,2 отсутствуют. В дальнейшем будем иметь в виду именно этот случай характерного расположения точек прикрепления пучков волокон к корню (здесь первый индекс i=1,2,3 определяет тип перемещения корня на рис. 2; второй j=1,2,…, – номер точки под углом , отсчитываемым против часовой стрелки от положительной оси ox:

, , (22)

– количество точек на поверхности корня в сечении z=const.

Проекции главного вектора (Nx, Ny, Nz) и главного момента усилий в волокнах относительно центральных осей перемещающегося сечения (Мx, Мy, Мz) определяются из соответствующих уравнений равновесия:

(23)

Заметим, что индексы i, j и далее другие вводятся при обозначении величин и точек по необходимости. Их умалчивание, но не игнорирование в расчетах, упрощает запись выражений (например, отсутствие индекса i в (20), (21), (23)). В (23) (xyz)– символ циклической перестановки индексов, указанных в скобках.

Рассмотрим процедуру определения усилий Fx, Fz, mk, My, приведенных к центру тяжести верхнего сечения коронки и эквивалентных системе усилий, действующих в сечениях прикрепления пучков волокон к корню зуба. Если – количество таких сечений, к – номер текущего сечения (уровня), то

где усилия в сечениях z=zк (Nx)к, (Nz)к, (My)к, (Mк)к представляют суммы (23) (рис. 2а); mк – внешний крутящий момент.

Рис. 2. Усилия, действующие на зуб (рис. 2а) при его повороте на угол

(рис. 2б) относительно точки С в плоскости xoz

и на угол при вращении под действием момента mк (рис. 2в).

Заметим, что систему усилий Fz, Fx, My можно свести к внецентренно приложенной «косой» нагрузке F с эксцентриситетом xp под углом наклона и компонентами FГ, FВ (рис. 2б). При этом

(25)

Из системы (25) определяются искомые неизвестные :

Зависимости (15) – (25) связывают жесткости волокна Ef и пучка волокон (через упруго-геометрическую характеристику Ef ∙An) с функциональной нагрузкой на одиночный зуб F и соответствующим ей перемещением. Эту связь можно представить в следующем формальном виде:

, (26)

где Ф – некоторый обобщенный силовой фактор, – соответствующее ему обобщенное перемещение, – обобщенная жесткость системы зуб – периодонт. Так, если под Ф понимать силу F или изгибающий момент М под – линейное u или угловое перемещения, то

. (27)

. (28)

При кручении (, ) имеем

. (29)

В этих случаях жесткости системы при наклоне зуба на угол и при его вращении (ротации) вокруг собственной оси на угол .

Заметим, что по известным результатам гнатодинамометрических испытаний системы зуб-периодонт в виде величин Ф, можно определить или уточнить некоторые параметры излагаемой здесь биомеханической модели, например, параметры излагаемой здесь биомеханической модели, например, Как видно из системы (15) – (25) жесткость является функцией перемещения

. (30)

Формирование разрешающих уравнений (22) – (32) происходит по сути в рамках обратной задачи, когда по заданным перемещениям зуба определяются в конечном итоге соответствующие им нагрузки. Более сложной выглядит прямая задача поиска перемещений зуба под действием заданных нагрузок, т. к. в систему (15) – (25) входят трансцендентные уравнения.

Список литературы

1.  , , Маннанова Т. Н, Моделирование напряженного состояния аномально расположенных зубов и околозубных тканей/Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. 2-й Всероссийской научной конференции. 1-3 июня 2005 г. ч. 1. Самара. 2005. с. 73 –76.

2.  Гаврюшин использования программного комплекса ANSYS для математического моделирования в стоматологии / Сб. тр. 5-й конференции пользователей программного обеспечения CAD-FEM GmbH (Москва. 21-22 апреля 2005 г.)/Под ред. . – М.: Полигон-пресс, 2005. с. 67 – 79.

УДК 539.3

К ВОПРОСУ О ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ

КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

,

Волгоградский государственный технический университет

(84, e-mail: *****@***ru

В теории упруго-пластических систем при циклическом нагружении различают задачу о приспособляемости. Известны случаи, когда после нескольких циклов пластической деформации остаточные напряжения в упруго-пластической системе могут стать такими, что в сумме с напряжениями от любой из возможных комбинаций с внешней нагрузки не превысят предел текучести (упругости). Дальнейшая работа системы будет проходить в упругой области, т. е. система приспосабливается к данной программе нагружения вследствие прекращения роста пластических деформаций [1, 2].

Рис.1

В настоящей работе рассмотрен вопрос приспособляемости композиционного материала. Практическая необходимость такого исследования упруго-пластических композиционных материалов связана с тем фактом, что к эксплуатации могут быть допущены только приспособляющиеся системы при выходе из области упругого деформирования.

Расчет поведения и исследование условий приспособляемости композита к повторным нагрузкам при циклическом растяжении–сжатии вдоль оси укладки волокон проводится в рамках соответствующих процедур описанных в работе [3].

Для оценки приспособляемости композиционного материала использовались реальные и модельные композиты. Условие приспособляемости проверялось по диаграммам ползучести. На рис. 1, 2 показаны диаграммы ползучести композитов, соответственно бор-алюминий 6061 и стальное волокно-алюминий. Механические характеристики композитов указаны на рис 3, 4.

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Расчет показал, что композиционные материалы могут приспосабливаться к циклическим нагрузкам. Циклически накапливаемая деформация стабилизируется и остается на постоянном уровне – композит приспосабливается (рис 1, 2). Происходит прекращение нарастание пластических деформаций, в ходе циклических нагружений.

На основании этих расчетов на рис. 3, 4 показаны диаграммы приспособляемости рассматриваемых композиций, где выделены области упругих деформаций (У), приспособляемости (П), знакопеременных пластических деформаций (Ц) и разрушения (Р).

Проведенное исследование, позволило уточнить границы приспособляемости композиционного материала. Сплошные линии на рис 4 – расчет по работе [2]. Пунктирные линии – расчет по работе [3].

Вывод:

Исследованы области приспособляемости однонаправленного композита при повторных нагружениях. Установлена необходимость учета деградации материала (изменение модулей начальной упругости, касательной упругости и эффекта Баушингера [3]) – это повышает прогностические свойства структурной модели композита (рис. 4., затемненная область). Учет выше перечисленных факторов приводит к уточнению уровней приспособляемости композита.

Список литературы

1. Малинин теория пластичности и ползучести.–М.: Машиностроение, 1968. – 400 с.

2. О приспособляемости композиционного материала при повторных нагружениях.//Пробл. прочности. – 1986. – № 5. – С. 87 – 89.

3. , Белов поведения однонаправленного композита при циклическом растяжении–сжатии. Сб. науч. трудов. Металловедение и прочность материалов. Волгоград.: РПК Политехник. – 2001. С. 83 –92.

УДК 5: 539.374

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УДАРА
ПО ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОМУ СТЕРЖНЮ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

Волгоградский государственный технический университет

(84, e-mail: *****@***ru

Задача о вовлечении в перемещение точек стержня конечной длины при высокоскоростном ударе по одному из его торцов имеют самостоятельное значение в механике и представляет, например, интерес для теории и практики получения многослойных материалов сваркой взрывом [1].

Широкий интервал скоростей динамического нагружения, наблюдаемых в опытах, многообразие физико-механических свойств используемых материалов, ограниченность или неограниченность длины стержня затрудняют объяснение описанных эффектов распространения упруго-пластических волн в стержнях в рамках одной модели среды. Сказанное относится и к известным решениям на основе упруго-пластических моделей, с которыми связан гиперболический характер разрешающих уравнений.

В данной работе рассматриваются особенности постановки и подходы к решению задачи о высокоскоростном ударе по одному из торцов первоначально неподвижного стержня ограниченной длины в рамках вязкопластической модели, учитывающий динамику изменения диаграммы деформирования материала и более соответствующей ударному характеру нагружения и явлению локализации остаточных деформаций у ударяемого конца стержня.

Ось стержня совпадает с осью х так, что его точки принадлежат интервалу . При ударе левый конец (х=0) в начальный момент времени (t=t0), приобретает скорость , правый конец () при этом неподвижен, т. е.

(1)

Стержень постоянного поперечного сечения с сохранением плоскостности сечения в процессе деформирования. Полагаем, что напряженное состояние стержня – линейное, мера деформации определяется соотношениями Коши, потери на поперечные деформации не учитываются.

Разрешающая система уравнений образована:

а) уравнением движения

, (2)

где – нормальные напряжения, u – перемещение точек сечения, – плотность материала стержня, – скорость перемещения точек стержня;

б) деформационным соотношением, полученным путем дифференцирования выражения Коши по времени t

, (3)

где – относительная линейная деформация;

в) физическим соотношением в форме вязко-пластической модели вида

. (4)

В (3) – безразмерный переменный параметр, учитывающий динамику изменения предела текучести, – статический предел текучести, – коэффициент вязкости материала.

Дифференцирование функции (4) по координате х дает с учетом (3)

. (5)

Уравнения (2), (5) объединяются в одно каноническое уравнение параболического вида

, (6)

где . (7)

Для упрощения анализа в данной работе полагаем Тогда уравнение (6) эквивалентно неоднородному уравнению теплопроводности для стержня конечной длины, общее решение которого можно представить суперпозицией общего решения однородного уравнения V и частного решения уравнения (6):

(8)

Рассмотрим определение функции для следующей начальной задачи

(9)

где – некоторая функция, принимающая с учетом (1), (8) значения

, (10)

Решение задачи (9) можно представить в интегральной форме

, (11)

где функция источника G определяется известным образом (9) для задачи [2]

. (12)

В первом приближении с учетом (1) для функции можно принять следующее приближение, соответствующее физическому смыслу рассматриваемого явления удара в начальный момент времени:

(13)

Тогда функцию опишем с учетом (8), (10), (13) следующим образом

(14)

После подстановки (14) в (11) имеем

или с использованием теоремы о среднем:

(15)

где . Процедура взятия интеграла в (15) зависит от функции и в данной работе не обсуждается.

Заметим, что функция скоростей в процессе вовлечения точек стержня в движение эволюционирует в направлении выравнивания скоростей по его длине до величины , определяемой законом сохранения количества движения. Если m1, m2 – массы ударяющего и ударяемого стержней, то

. (16)

Условие (16) накладывает определенные ограничения на выбор параметров в физических соотношениях (4).

Список литературы

1.  , , Лысак разгона металлических пластин при сварке взрывом многослойных пакетов // Физика и химия обработки материалов. – 2005, № 6. – С. 47 – 51.

2.  , А, Уравнения математической физики. – М., Наука, 1972. – 735 с.

УДК 577.31: 616.314

УПРОЩЕННАЯ ДИСКРЕТНАЯ БИОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

СИСТЕМЫ ЗУБ – ПЕРИОДОНТ

Волгоградский государственный технический университет

(84, e-mail: *****@***ru

Известно, что большинство съемных или несъемных стоматологических конструкций, например, мостовидных в ортодпедии или систем коррекции положения аномально расположенного зуба в ортодонтии – пространственные по расположению звеньев, нагрузке и с учетом сложной архитектуры строения периодонта могут иметь весьма высокую степень статической неопределимости. Поэтому представляется целесообразным на первых этапах анализа поведения подобных биомеханических конструкций иметь дело с более простой системой зуб-периодонт, эквивалентной по жесткостям и, соответственно, по перемещениям реальному объекту или адекватной ему модели, изложенной выше [1].

С этой целью рассмотрим модель одиночного зуба, в которой волокна периодонта сгруппированы в два параллельных плоскости xоz слоя, один из которых находится на уровне десневого края, второй у конуса корня. Там же располагается вдоль оси oz третий пучок для восприятия вертикальной нагрузки. Два горизонтальных слоя А, В деформируются в своих плоскостях не только при кручении зуба, но и при его наклонах, причем жесткости слоев на растяжение и сжатие могут теоретически быть разными, как и жесткости при кручении слоев А, В, т. е. в общем . В силу этого рассмотрим особенности распределения усилий и перемещений при наклонах зуба под действием горизонтальной силы F и сосредоточенного момента (рис. 1а, б) и скручивающего момента m (рис. 1в). Для упрощения задач полагаем, что жесткость зуба существенно превышает жесткость периодонта при соответствующих его перемещениях.

Рис. 1 Схемы определения реактивных усилий при наклонах (а, б) и кручении (в) зуба

Из уравнений равновесия несложно определить силы реактивного воздействия периодонта RА, RB на зуб на уровнях точек А, В для схемы на рис. 1а:

, , (1)

для схемы на рис. 1б:

; . (2)

распределение усилий в каждом слое в зонах растяжения и сжатия зависит от соотношения жесткостей , , что следует из решения соответствующей статически неопределимой задачи:

. (3)

(векторы – сонаправлены). Для слоя В в (3) нужно заменить буквы А на В.