Методы получения однофакторных математических моделей (стр. 2 )

Рис. 2.1. Обобщённая модель объекта исследования

Наличие математической модели процесса (объекта) и алгоритма управления процессом обеспечивает условия для более быстрого инженерного конструирования рациональной системы алгоритмического регулирования технологического процесса, создания системы автоматического технического контроля процессов и управления агрегатами и поточными линиями.

Зная математическую модель процесса или объекта, можно спрогнозировать свойства входящего продукта, оценить степень влияния входных факторов с целью разработки схемы контроля и стабилизации наиболее сильно влияющих факторов, а также осуществить оптимизацию процесса.

Отсутствие математических моделей и недостаточное знание динамических свойств объектов приводит к интуитивному управлению процессом, что соответственно отражается на производительности машин и качестве выпускаемого продукта. Для большинства технологических процессов технологической промышленности известны основные качественные зависимости, характеризующие протекание процесса, однако к настоящему времени математические модели получены только для некоторых процессов.

В России проведено и опубликовано много теоретических исследований таких важных технологических процессов прядильного производства, как кардочесание, гребнечесание, вытягивание, смешивание, наматывание, формирование ткани и др. Однако еще многие процессы прядильного, ткацкого и трикотажного производства теоретически изучены слабо и не имеют математической модели. Несовершенные гипотезы о моделях процессов и отсутствие полного учета факторов, определяющих входные воздействия и свойства объекта, приводят к отклонению прогнозируемых характеристик от характеристик продукта, получаемого в реальных объектах.

Математическая модель считается адекватной объекту, если с достаточной точностью отражает его поведение, т. е. изменение одного или нескольких выходных параметров или варьирование входных параметров (факторов) в заранее заданном диапазоне.

2.1. Классификация математических моделей

В основу классификации математических моделей положены признаки, которые мы сейчас рассмотрим:

1. Число аргументов, от которых зависят параметры процесса или оператор системы:

•  Если входные параметры процесса Х или оператор А{} не зависят от аргументов, то математическая модель называется статической. Этот вид модели обычно описывается алгебраическим уравнением:

Y = f(x1 … xn).

•  Если входные параметры процесса или оператор зависят от аргументов, то такая модель называется динамической. Если параметр процесса или оператор зависят только от одного аргумента (например, времени Х = Х(t)), модель называется динамической моделью с сосредоточенными параметрами, т. е.

.

Эти модели описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

•  Если число независимых аргументов более одного (например, время и пространственные координаты), то такая модель называется математической моделью с распределенными параметрами, т. е.

.

Эти модели описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

Здесь необходимо отметить, что входные параметры или оператор могут обладать свойством однородности. Параметр Х или оператор А{}называется однородным по аргументу a, если изменение a на произвольную величину Da не меняет параметр или оператор, т. е.

и .

В случае, когда аргументом, по которому однороден параметр или оператор, является время, параметр или оператор называется стационарным. Система, оператор которой стационарен, называется стационарной. Если условие однородности оператора процесса не удовлетворяется, то система называется нестационарной.

2. Природа исследуемого процесса или объекта. По этому признаку модели делятся на вероятностные и детерминированные.

В вероятностной модели учитывается случайная природа входных параметров или оператора. Вероятностные модели могут быть нескольких видов:

1. Если выходной параметр процесса представляет случайную величину, а факторы (входные параметры) являются неслучайными (жесткими), то математическая модель называется регрессионной. Случайные значения выходного параметра могут быть обусловлены, например, воздействием части неучтенных факторов. Эта модель позволяет предполагать, что колеблемость выходного параметра содержит в себе две части: одна, неслучайная, является функцией факторов; другая, случайная, не связана факторами.

При построении регрессионных моделей используются различного вида алгебраические уравнения. Например, формулы для расчета натяжения нити на различных машинах, полученные при обработке экспериментальных данных, представляют регрессионные модели.

2. Если выходной параметр процесса и факторы представляют случайные величины с определенным законом распределения, то взаимосвязь между ними или математическая модель процесса называется корреляционной.

В этом случае к вопросу выяснения зависимости между случайными величинами параметров процесса еще добавляются вопросы исследования степени связи между ними, при построении этих моделей используется корреляционный анализ случайных величин. Формулы для расчета прочности пряжи, ткани и трикотажа, полученные при обработке экспериментальных данных, представляют корреляционные модели, так как входные и выходные параметры – случайные величины.

В детерминированной модели не учитывается случайная природа входных параметров процесса и оператора, а выходные параметры процесса однозначно определяются факторами и оператором процесса. В этом случае не требуются математико-статические методы анализа процесса.

При построении детерминированных моделей используют различные классические методы математики: дифференциальные и интегральные уравнения, алгебраические уравнения и операторы.

3. Свойство линейности модели. Математическая модель называется линейной, если линеен оператор системы. Оператор А{} называется линейным, если выполняется равенство

А{Х + DХ} = А{Х} + А{DХ},

где DХ – символ произвольного приращения входных параметров (факторов). Это свойство линейного оператора называется также свойством суперпозиции, или наложения. Если это равенство не выполняется, то оператор и соответственно модель называются нелинейными.

3. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Выделяют теоретический и экспериментальный методы получения математического описания технологических процессов и объектов (рис. 3.1).

Теоретический метод заключается в аналитическом исследовании физической сущности микропроцессов с использованием общих законов физики, справедливых для данного технологического процесса или микропроцессов с использованием уравнений материального и энергетического баланса. Второе направление теоретических методов обеспечивает получение более простого математического описания процесса.

Применение чисто теоретического метода получения математической модели объекта представляет большую трудность вследствие сложности явлений, происходящих в процессах, и недостаточной степени изученности их. Однако при проектировании новых процессов и в поисковых исследовательских работах теоретический метод построения математической модели имеет часто доминирующее значение.

Экспериментальный метод математического описания технологического процесса или объекта заключается в обработке экспериментальных данных, полученных непосредственно на действующих объектах производства, или на полупромышленной лабораторной машине, или на физической модели процесса – стенде. Часто экспериментальный метод используется с целью получения информации для разработки алгоритма управления процессом и при отсутствии теоретического описания изучаемого процесса.

Наиболее эффективным решением задачи получения математической модели сложного процесса является сочетание теоретического и экспериментального методов.

При этом на долю теоретического метода приходится анализ в основном структурных свойств объекта и продуктов и получения общего вида уравнений, на долю экспериментального – количественный анализ (определение численных значений коэффициентов уравнений для изучаемого объекта) и проверка теоретических выводов. Эксперимент играет решающую роль в получении математической модели сложного реального процесса или объекта.

Так как изучаемые явления и информация, поступающая от объекта к исследователю во время эксперимента, подвержены воздействию ряда неконтролируемых возмущений (изменение трудно контролируемых факторов, ошибки измерения и т. д.), получаемая информация носит случайный характер.

	Для получения статических моделей:
-  Классический (однофакторный) план эксперимента -  Многофакторный план эксперимента v  Ортогональные и рототабельные планы v  Центральный композиционный план v  Симплексный план v  D-оптимальный план v  Последовательное планирование эксперимента
Для получения динамических моделей:
-  Динамический регрессионный анализ -  Корреляционный анализ -  Спектральный анализ

 

Рис. 3.1. Классификация методов получения математических моделей

Эффективным средством экспериментального изучения объектов является статистический метод, основанный на проведении экспериментов и последующей статистической обработке их результатов с целью извлечения объективной информации о свойствах объекта. В этом случае объект рассматриваем как кибернетическую систему, называемую «черным ящиком» (рис. 2.1).

При экспериментальном исследовании промышленного объекта, находящегося в непрерывной эксплуатации, возникают трудности, обусловленные:

1) большим числом взаимосвязанных и часто неконтролируемых входных параметров (факторов);

2) высоким уровнем помех, в том числе и от неконтролируемых воздействий, величина и природа которых не известны и носят случайный характер. К этим воздействиям относятся: изменение режима работы объекта; изменение характеристик технологического оборудования вследствие износа и нарушения нормального взаимного положения рабочих органов, влияния многочисленных внешних факторов (температуры и влажности воздуха и др.), присутствия случайных примесей во входящих продуктах; неконтролируемые параметры входящего сырья или продукта и т. п.;

3) значительной трудоемкостью обработки данных эксперимента;

4) отсутствием необходимых измерительных приборов и датчиков;

5) нарушением нормального режима объекта, особенно на длительное время, и, следовательно, большими издержками производства.

Все указанные выше трудности исследователь должен учитывать при выборе экспериментального метода получения математической модели.

3.1. Пассивный и активный эксперимент

Экспериментальные методы получения математической модели могут быть пассивные и активные.

При пассивном эксперименте информацию о параметрах процесса или объекта получают при нормальной эксплуатации объекта, без внесения каких-либо искусственных возмущений. Часто в качестве данных пассивного эксперимента используют записи в эксплуатационных журналах технологического оборудования или в журналах технологического контроля. Однако к такой информации следует относиться критически, так как контролеры иногда делают ошибочные записи; кроме того, возникают погрешности вследствие неодновременной фиксации данных измерений.

В качестве данных пассивных экспериментов могут быть также использованы реализации (диаграммы), получаемые на регистрирующих измерительных приборах. Но эта информация в силу непрерывности ее характера требует квантования (дискретизации) во времени, а также согласования во времени скоростей записей реализаций процессов, которые в производственных условиях могут быть различными.

В настоящее время усилился интерес к пассивным методам исследования, основанным на статистической обработке данных. Это обусловлено наличием большой информации о процессах и объектах на производстве, относительно простой организацией пассивного эксперимента и значительным прогрессом вычислительной техники, которая обеспечивает статистическую обработку большого массива экспериментальных данных.

Все сказанное выше обусловливает уменьшение затрат на проведение пассивного эксперимента. Однако пассивные экспериментальные методы исследования не всегда обеспечивают требуемую точность определения математической модели и адекватность ее в широкой области изменения входных параметров. Время регистрации параметров процесса (объекта) в пассивном эксперименте обычно ограничено, особенно при отсутствии датчиков или приборов для непрерывного измерения. В этом случае время отбора пробы должно быть малым, чтобы не нарушался нормальный процесс, но это снижает точность измерений.

В данной ситуации следует воспользоваться активными методами эксперимента для определения или уточнения числовых значений коэффициентов, входящих в математическую модель, т. е. целесообразно сочетать пассивный эксперимент с активным.

При активном эксперименте информацию о параметрах процесса получают путем искусственного внесения возмущений, т. е. изменяют входные параметры в соответствии с заранее подготовленной программой (матрицей планирования).

Активные методы исследования в настоящее время разработаны значительно лучше, чем пассивные, и являются в известном смысле более универсальными, поскольку предполагают некоторую свободу в выборе диапазона изменения уровней факторов и получение более надежных результатов.

Однако не всегда и не всюду возможно вносить возмущения, т. е. изменять уровень факторов при нормальной эксплуатации объекта, так как это может вызвать порчу продукции, расстройство технологического процесса и т. п. Кроме того, при проведении активных экспериментов весьма затруднительно в реальных условиях стабилизировать условия процесса на заданном уровне в течение определенного участка времени.

Наилучшие условия для проведения активного эксперимента могут быть созданы в лаборатории на экспериментальных машинах и стендах, позволяющих варьировать параметры процесса в весьма широком диапазоне.

Недостаток обоих методов заключается в том, что полученные с их помощью модели приемлемы лишь в диапазоне варьирования параметров, в пределах которого были собраны экспериментальные данные. Экстраполяция, а тем более перенесение результатов экспериментально построенной модели одного процесса на другой (даже полностью аналогичный), как правило, совершенно недопустимы.

При получении статических моделей объекта (системы) используются следующие математико-статические методы:

1) в пассивном эксперименте – регрессионный анализ, корреляционный анализ, метод последовательного исключения составляющих функций;

2) в активном эксперименте – классический или однофакторный план эксперимента, факторные планы – ортогональный и ротатабельный, центральные композиционные факторы, симплексные планы, D-опти-мальные планы и последовательное планирование эксперимента.

При получении динамических моделей объекта (системы процесса) используются следующие математико-статические методы:

1) в активном эксперименте – методы, основанные на подаче пробных возмущений известного вида;

2) в пассивном эксперименте – корреляционный, спектральный и динамический регрессионный анализ.

Выбор метода получения математической модели определяется характеристиками исследуемого объекта (системы, процесса), задачами исследования и условиями или предпосылками применения того или иного метода.

Выполнимость предпосылок для применения данного метода получения модели, как правило, проверяют на этапе предварительного эксперимента. Выполнение предпосылок иногда может быть достигнуто путем соответствующей организации эксперимента и методики сбора информации, а также специально подобранных функциональных преобразований исследуемых факторов.

Получение математических моделей для сложных многофакторных объектов текстильной промышленности экспериментально-статическими методами связано с большим объемом вычислительных работ. Поэтому эффективность работы исследователя значительно повышается, если он вооружен таким мощным средством, как современная электронная вычислительная машина.

4. АКТИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

4.1. Подготовка и проведение активного эксперимента

4.1.1. Планирование активного эксперимента

Планирование эксперимента – это постановка опытов по некоторой заранее составленной схеме, обладающей какими-то оптимальными свойствами.

Ранее математико-статистические методы применялись только на заключительном этапе, т. е. при обработке результатов законченного эксперимента. Выбор стратегии эксперимента целиком определялся интуицией исследователя, т. е. не был формализованным.

В настоящее время широкое применение получили матема­тико-статистические методы планирования экспериментов, в которых математический аппарат играет активную роль, определяя и даже, можно сказать, диктуя исследователю определенную схему постановки эксперимента и последовательность анализа результатов. Это не значит, что при математическом планировании экс­перимента знания и опыт исследователя не играют существенной роли. Наоборот, неточная постановка задачи исследования или неверно выбранные исходные условия могут привести к ложным результатам.

В задачу планирования эксперимента входит:

1) выбор необходимых для эксперимента опытов, т. е. построение матрицы планирования;

2) выбор методов математической обработки результатов эксперимента.

Матрица планирования эксперимента представляет собой таблицу, в которой указаны значения уровней факторов в различных сериях опытов. Число опытов определяется задачами исследования и методами планирования эксперимента.

Существует два вида планирования активного эксперимента:

1) традиционное (классическое) однофакторное;

2) многофакторное (факторное).

В традиционном однофакторном планировании влияние входных параметров (факторов) на выходной параметр изучается постепенно, причем в каждой серии опытов меняется уровень лишь одного фактора, а все остальные остаются неизменными.

Рассмотрим сущность традиционного планирования на примере двухфакторного эксперимента, когда выходной параметр Y зависит от двух факторов X1 и Х2, т. е. Y = F (Х1 , Х2).

Матрица традиционного планирования активного эксперимента для двух факторов представлена в табл. 4.1. Уровни фактора, т. е. частные значения фактора, обозначены Х1 (р), Х1 (q) где р, q – номера уровней факторов X1, Х2. Значение выходного параметра, полученного при р-м уровне фактора Х1 и q-м уровне фактора Х2, обозначено Ypq. В рассматриваемом эксперименте число уровней k для обоих факторов принято равным пяти (k = 5), что при традиционном планировании является минимальным, т. е. k ≥ 5. Рассматривая матрицу, замечаем, что число комбинаций различных уровней двух факторов равно 25, т. е. число опытов в двухфакторном традиционном эксперименте N = kn = 52 = 25. Однако, если же каждый опыт повторялся хотя бы два раза, т. е. осуществлялись повторные опыты, то общее число опытов равно 50, поэтому в таблице опытов значения Ypq представляют собой средние значения выходного параметра из двух опытов.

Таблица 4.1

Уровни фактора Х2	Уровни фактора Х1
Х1(1)	Х1(2)	Х1(3)	Х1(4)	Х1(5)
Х2(1)	Y11	Y21	Y31	Y41	Y51
Х2(2)	Y12	Y22	Y32	Y42	Y52
Х2(3)	Y13	Y23	Y33	Y43	Y53
Х2(4)	Y14	Y24	Y34	Y44	Y54
Х2(5)	Y15	Y25	Y35	Y45	Y55

В результате обработки экспериментальных данных необходимо определить взаимосвязь входных и выходных параметров:

для первой серии опытов

при ;

для второй серии опытов

при ;

для k-ой серии опытов

при ;

где а, b, с – коэффициенты регрессии в k уравнениях, определяемые по экспериментальным данным.

Таким образом, искомая функция принимает вид:

Определив значения коэффициентов а, b, с для каждой серии опытов, находят зависимости изменения их от величины уровней фактора Х2, т. е.

Используя эти функции, получают окончательно искомую функцию, т. е. математическую модель двухфакторного процесса:

Пространство, по осям которого откладывают уровни или значения варьируемых факторов, называется факторным пространством. Поверхность, образуемая экспериментальными точками, соответствующими значениям Y, называется поверхностью отклика (рис. 4.1,а), а функция Y = F (Х1 Х2) – функцией отклика. Если поверхность отклика пересечь плоскостью параллельно плоскости Х1ОХ2 на расстоянии Y0, 2Y0, 3Y0 и т. д., то получим линии, характеризующие одинаковый уровень функции отклика, которые называются кривыми равного уровня, или контурными кривыми (рис. 4.1,б).

Рис. 4.1. Поверхность отклика (а) и ее кривые равного уровня – изолинии (б)

Достоинства традиционного планирования:

1) математическая модель, получаемая при традиционном планировании эксперимента, описывает объект в широких пределах изменения факторов, так как число уровней и диапазон изменения их ограничиваются только техническими возможностями осуществления процесса;

2) для определения значения факторов, соответствующих экстремальному значению функции отклика, используют известные методы классического анализа.

Недостатки традиционного планирования:

1) для определения математической модели по данным эксперимента с традиционным планированием требуется проведение большого числа опытов, чтобы обеспечить достаточную точность результатов;

2) при традиционном планировании эксперимента не представляется возможным определить взаимодействие факторов и в оценке коэффициентов регрессии математической модели участвует малая часть опытов.

Факторным планированием эксперимента называется такое планирование, при котором одновременно варьируются все факторы.

Достоинства факторного планирования:

1) такое планирование обеспечивает достаточную точность эксперимента при меньшем числе опытов;

2) в математической модели, получаемой на основе эксперимента с факторным планированием, каждый коэффициент регрессии определяется по результатам всех N опытов, поэтому дисперсия его в N раз меньше дисперсии ошибки опыта. Если математическая модель представляет линейное уравнение:

Y = β0 + β1х1 + β2х2 + … βnхn,

то для определения его коэффициентов регрессии достаточно провести N = п + 1 опытов и в этом случае дисперсия коэффициента регрессии умень­шается с увеличением числа факторов (при традиционном планировании эксперимента точность оценок коэффициентов регрессии не зависит от числа факторов п);

3) при факторном планировании эксперимента проводится рандомизация опытов, которая позволяет исключить влияние неконтролируемых факторов (неравномерности сырья и входящих продуктов, изменения во времени, т. е. дрейф, параметров, характеризующих объект и др.) и рассматривать их как случайные факторы.

Факторное планирование используется при проведении полного и дробного факторного эксперимента (ПФЭ и ДФЭ), случайно-сбаланси-рованного эксперимента (ССЭ), экстремального эксперимента (ЭЭ), а также в дисперсионном анализе и др.

В табл. 4.2 приведён пример матрицы планирования трёхфакторного двухуровневого эксперимента.

Таблица 4.2

№ опыта	Кодированные значения факторов	Натуральные значения факторов
Х1	Х2	Х1	Х2
1 2 3 4 5 6 7 8 9	+ - + - + - 0 0 0	+ + - - 0 0 + - 0

4.1.2. Выходные и входные параметры процесса