Методы получения однофакторных математических моделей (стр. 4 )

В табл. 5.1 приведены значения и для других опытов матрицы. Эти значения также превышают табличные, и поэтому первое условие о возможности применения регрессионного анализа удовлетворяется.

Третья операция – проверка гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы.

Так как число повторных опытов (m = 5) одинаково для всех опытов матрицы, то для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кочрена, расчетное значение которого

(5.3)

Расчетное значение сравнивается с табличным значением , которое определяют по приложению Б в зависимости от числа опытов в матрице N и числа степеней свободы дисперсии для заданной доверительной вероятности. В рассматриваемом примере . Так как <, то гипотеза об однородности дисперсий, т. е. о равноточности и воспроизводимости опытов, не отвергается.

Четвертая операция – определение средней дисперсии выходного параметра в опытах матрицы. Если в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково, то средняя дисперсия определяется по формуле:

.

(5.4)

Число степеней свободы этой дисперсии равно:

.

(5.5)

Средняя дисперсия характеризует средний разброс значений выходного параметра относительно его средних значений при каждом уровне факторов, т. е. ошибку опытов в эксперименте. В рассматриваемом примере эта дисперсия, или, как ее называют, дисперсия воспроизводимости, равна:

Если число повторных опытов неодинаково при различных уровнях факторов, то для проверки однородности дисперсий используется критерий Бартлета. Если случайные величины Yu не имеют нормального распределения, то применять критерий Бартлета не рекомендуется, так как он получен при условии нормального распределения этих величин.

При неоднородных дисперсиях или переходят к преобразованию значений выходного параметра, чтобы сделать дисперсии однородными, или применяют вариант метода наименьших квадратов с учетом величины дисперсии каждого опыта.

Пятая операция – выбор подходящего вида регрессионной модели. Для этого необходимо определить:

1)  вид взаимосвязи Y = f(X), устанавливаемый при теоретическом исследовании объекта или процесса;

2)  графическую взаимосвязь между средними значениями выходного параметра для каждого уровня факторов и значений по данным эксперимента (при сопоставлении этого графика с графиками известных функций устанавливают вид уравнения);

3)  характер изменения разделённых или неразделённых разностей первого порядка, определяемых по данным эксперимента.

Если в результате эксперимента получены следующие пары значений: то разделёнными разностями первого порядка называются величины:

и неразделёнными разностями первого порядка – величины:

.

(5.6)

Неразделённые разности первого порядка используют, когда интервал варьирования факторов постоянный, т. е.

В рассматриваемом примере интервал варьирования факторов постоянный и равен Поэтому определяем разделённые разности первого порядка по формуле (5.6):

Δ'н1 = 21,72 – 14,22 = 7,4; Δ'н2 = 30 –21,72 = 8,28;

Δ'н3= 37,84 – 30 = 7,84; Δ'н4 = 46,32 – 37,84 = 8,48.

Ввиду малого различия неразделенных разностей первого порядка выходного параметра, не превышающего удвоенной величины среднеквадратической ошибки эксперимента (2S(1){Y} = 1,724), можно считать, что они тождественны и поэтому для описания экспериментальных данных можно условно принять уравнение прямой линии:

,	(5.7)
	(5.8)
.	(5.9)

Использование уравнения (5.8) позволяет упростить статистические расчёты при обработке экспериментальных данных, так как коэффициенты регрессии а0 и а1 не коррелированны. Коэффициенты регрессии а0 и а1 являются оценками истинных коэффициентов регрессии и .

Шестая операция – определение коэффициентов регрессии. Если дисперсии выходного параметра для каждого уровня фактора однородны, то для определения коэффициентов регрессии в уравнении можно применять метод наименьших квадратов. Используя условие , устанавливают следующие уравнения:

.

(5.10)

Так как то, решая эти уравнения, получаем:

(5.11)

. (5.12)

Определим по формулам (5.11) и (5.12) коэффициенты регрессии для рассматриваемого примера. Расчеты необходимых сумм сводим в табл. 5.2.

Таблица 5.2

u
1 2 3 4 5	2 4 6 8 10	-4 -2 0 2 4	16 4 0 4 16	14,32 21,72 30 37,84 46,32	-57,28 -43,44 0 75,68 185,28
∑	30	0	40	150,20	160,24

По формулам (5.9), (5.11), (5.12) находим:

Поэтому искомое уравнение имеет вид:

(5.13)

График этой функции изображен на рис. 5.1.

Седьмая операция – определение адекватности полученного уравнения. Для этого используют критерий Фишера, расчетное значение которого вычисляют по формуле:

(5.14)

где средняя дисперсия, или дисперсия воспроизводимости, определяемая по формуле (5.4); дисперсия, характеризующая рассеивание средних экспериментальных значений относительно прямой линии, определяемой по формуле (5.8).

Y(x)   Y(x)   Y(x)   Y(x)   Y(x)

Рис. 5.1. Линейная регрессионная однофакторная модель и ее доверительные интервалы

Дисперсия характеризует точность аппроксимации зависимости прямой линией и определяется по формуле:

. (5.15)

Число степеней свободы этой дисперсии находят так:

.

(5.16)

Расчетное значение сравнивают с табличным значением критерия Фишера, которое определяют по приложению Г при доверительной вероятности рD = 0,95 и числе степеней свободы дисперсии и . Если < , то гипотеза об адекватности линейного уравнения опытным данным не отвергается. Расчет суммы в формуле (5.15) сведен в табл. 5.3.

Таблица 5.3

u
1 2 3 4 5	2 4 6 8 10	8 16 24 32 40	14 22 30 38 46	14,32 21,72 30,00 37,84 46,32	0,32 -0,28 0,00 -0,16 0,32	0,1024 0,0784 0,0000 0,0256 0,1024
∑	30	-	-	150,20	-	0,3088

Используя данные этой таблицы, находим

.

Подставляя найденные значения дисперсий в формулу (5.14), получаем:

.

Так как < 1, то определяем обратное значение отношения дисперсий

и, сравнивая его с табличным значением, которое равно делаем вывод, что гипотеза об адекватности линейной модели не отвергается.

Восьмая операция – определение значимости коэффициентов регрессии и их доверительных интервалов. Для оценки значимости коэффициентов регрессии используется критерий Стьюдента, расчетное значение которого вычисляют по формуле:

,

(5.17)

где– дисперсия коэффициента регрессии аi.

Для определения дисперсий коэффициентов регрессии а0 и а1 в уравнении (5.8) используют формулы:

(5.18)

. (5.19)

B формулы (5.18) и (5.19) входит диспепсия S2{Y}, которая является сводной оценкой дисперсии случайной величины выходного параметра при условии линейной связи (5.8). Эта дисперсия определяется по формуле:

(5.20)

Число степеней свободы этой дисперсии:

.

(5.21)

Подставив в формулу (5.20) вычисленные ранее значения и найдем сводную дисперсию случайной величины:

По формулам (5.18) и (5.19) определяем дисперсии коэффициентов регрессии:

По приложению В находим табличное значение критерия Стьюдента при условии, что доверительная вероятность рD = 0,95 и число степеней свободы, определяемое по формуле (5.21), . Следовательно, . Так как и , полученные коэффициенты значимы и следовательно связь между Y и X значима.

Доверительные абсолютные ошибки коэффициентов регрессии вычисляем по формуле:

(5.22)

В рассматриваемом примере эти ошибки равны:

Доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов регрессии в линейном уравнении (5.8) определяются неравенством:

.

(5.23)

Для рассматриваемого примера доверительные интервалы коэффициентов регрессии при рD = 0,95 следующие:

Девятая операция – определение доверительных интервалов средних значений выходного параметра при фиксированном значении фактора. Чтобы определить степень отклонения расчетных значений выходного параметра от истинного его значения при каждом уровне фактора находим доверительные ошибки расчетного значения выходного параметра и доверительные интервалы среднего значения выходного параметра.

Доверительные ошибки расчетных значений выходного параметра для каждого уровня фактора рассчитываем по формуле:

(5.24)

где – среднеквадратическое отклонение расчетного значения выходного параметра для каждого значения , вычисляемое следующим образом:

(5.25)

В рассматриваемом примере

Расчеты значений Sm{YRu} для каждого уровня фактора сведены в табл. 5.4.

Таблица 5.4

u
1 2 3 4 5	2 4 6 8 10	16 4 0 4 16	861,4·10-4 430,6·10-4 287,2·10-4 430,6·10-4 861,4·10-4	29,34·10-2 20,75·10-2 16,94·10-2 20,75·10-2 29,34·10-2	0,61 0,43 0,35 0,43 0,61	14 22 30 38 46	13,69 21,57 29,65 37,57 45,39	14,61 22,43 30,35 38,43 46,61

Подставляя табличное значение критерия Стьюдента в формулу (5.24), получаем:

В табл. 5.4 приведены полученные значения , и для каждого уровня фактора. Зная ошибки расчетной величины, можно найти доверительные интервалы для истинных средних значений выходного параметра, используя следующее неравенство: