Методы получения однофакторных математических моделей (стр. 6 )

(6.9)

где (6.10)

Подставляя в эти формулы соответствующие значения сумм из табл. 6.3, получаем:

.

Уравнение (6.6) в кодированных значениях фактора х1 имеет вид:

(6.11)

Переход от коэффициентов bi при кодированных значениях фактора к коэффициентам ai при натуральных значениях фактора для параболического уравнения осуществляется по формулам:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

Уравнение в натуральных значениях фактора имеет вид:

(6.15)

Седьмая операция – определения адекватности полученного уравнения.

Чтобы установить адекватность уравнений (6.11), сначала определяем дисперсию, характеризующую неадекватность, по формуле:

(6.16)

где NK – число коэффициентов в уравнении (6.15); – значение

выходного параметра для каждого опыта, определяемое по формуле (6.11), которое мы рассчитаем в таблице 6.4.

Таблица 6.4

u
1 2 3 4 5	-2 -1 0 1 2	13,05 13,83 14,21 13,51 12,35	12,976 13,866 14,098 13,522 12,288	0,074 0,036 0,112 0,012 0,062	0,005476 0,001296 0,012544 0,000144 0,003844
Σ	0	–	–	–	0,023304

Пользуясь данными табл. 6.4, находим:

Расчетное значение критерия Фишера определяем по формуле:

, (6.17)

а табличное значение его находим по приложению Г при условии, что число степеней свободы числителя и знаменателя , т. е. Так как то гипотеза об адекватности полиномиальной модели второго порядка экспериментальными данными не отвергается.

Восьмая операция – определение значимости коэффициентов регрессии и их доверительных интервалов.

Для проверки значимости коэффициентов регрессии находим расчетные значения критерия Стьюдента по формуле:

(6.18)

где S2{bi} – дисперсия коэффициентов регрессии в уравнении (6.11), которая определяется по формулам:

(6.19)

(6.20)

(6.21)

Подставляя соответствующие значения в формулу (6.18), получаем:

Табличное значение критерия Стьюдента (см. приложение В) равно:

Так как то кодированные значения коэффициентов регрессии значимы и, следовательно, связь между Y и X значима.

Абсолютные доверительные ошибки коэффициентов регрессии равны:

В рассматриваемом примере доверительные интервалы для коэффициентов регрессии определяют по формуле:

. (6.22)

Девятая операция – определение доверительных интервалов средних значений выходного параметра при фиксированном значении фактора.

Для определения дисперсии расчетного значения выходного параметра используют формулу:

(6.23)

Для рассматриваемого примера

Число степеней свободы этой дисперсии равно:

Результаты расчета , , , , приведены в табл. 6.5.

Таблица 6.5

u
1 2 3 4 5	-2 -1 0 1 2	0,010446 0,004382 0,005430 0,004382 0,010446	0,102205 0,066196 0,073688 0,066196 0,102205	12,976 13,866 14,098 13,522 12,288	0,2132 0,1381 0,1340 0,1381 0,2132	13,189 14,004 14,252 13,660 12,501	12,763 13,728 13,944 13,384 12,074

Абсолютную доверительную ошибку расчетного значения входного параметра определяют следующим образом:

(6.24)

а границу доверительного интервала истинного среднего значения выходного параметра для каждого уровня фактора – по формулам:

(6.25)

Средние значения выходного параметра для каждого уровня фактора размещаются в доверительном интервале между и .

Геометрический образ однофакторной модели второго порядка (6.6) представлен на рис. 6.1 при условиях: b1 > 0, b11 < 0 (рис. 6.1,б); b1 < 0, b11 < 0 (рис. 6.1,в); b1 > 0, b11 > 0 (рис. 6.1,г); b1 < 0, b11 > 0 (рис. 6.1,д).

7. ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ОДНОФАКТОРНАЯ РЕГРЕССИОННАЯ
МОДЕЛЬ (МОДЕЛЬ ЛЮБОГО ПОРЯДКА)

Выше был рассмотрен метод получения квадратичной параболической регрессионной модели по данным активного эксперимента. Если эта модель получилась неадекватной и неразделенные разности третьего порядка оказались тождественными, то можно условно принять математическую модель вида:

YR = a0 + a1X + a11X2 + a111X3. (7.1)

Тогда коэффициенты регрессии этого полинома третьего порядка можно определить двумя способами:

1)  с помощью метода наименьших квадратов;

2)  с помощью метода ортогональных полиномов (метод Чебышева).

По методу наименьших квадратов необходимо решить четыре новых нормальных уравнения:

a0N + a1∑X + a11∑X2 + a111∑X3 = ∑;

a0∑X + a1∑X2 + a11∑X3 + a111∑X4 = ∑X;

a0∑X2 + a1∑X3 + a11∑X4 + a111∑X5 = ∑X2; (7.2)

a0∑X3 + a1∑X4 + a11∑X5 + a111∑X6 = ∑X3,

где N – общее число опытов в матрице планирования эксперимента.

Таким образом, повышая порядок полинома, приходится вновь рассчитывать все коэффициенты регрессии.

Использование метода ортогональных полиномов, т. е. метода Чебышева, устраняет этот недостаток. Метод Чебышева особенно эффективен, когда интервал варьирования уровней фактора постоянный и неизвестна степень параболической модели.

По методу Чебышева полином k-ого порядка:

YR = a0 + a1X + a1X2 + …. + aX3, (7.3)

используемый для описания экспериментальных данных, заменяется полиномом следующего вида:

YR = C0φ0(X) + C1φ1(X) +…. + CKφK(X), (7.4)

где Ci – коэффициенты, являющиеся при ортогональности полиномов φi (X) независимыми.

Ортогональные полиномы имеют вид:

φ0 (X) =1; φ1 (X) = X – ∑Xu = X – (7.5)

(7.6)

, (7.7)

где

Формулы для вычисления коэффициентов С0, С1, С2, С3, удовлетворяющих требованию метода наименьших квадратов, имеют вид:

; (7.8)

; (7.9)

; (7.10)

(7.11)

Рассмотрим применение метода Чебышева для обработки результатов однофакторного эксперимента, приведённого в главе 6 (см. табл. 6.1 и 6.3).

Для упрощения расчетов проведем замену переменных:

; . (7.12)

Значения новых переменных сведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

u		X(u)
1 2 3 4 5	6,0 6,5 7,0 7,5 8,0	1 2 3 4 5	13,05 13,83 14,21 13,51 12,35	0,70 1,48 1,86 1,16 0,00	1 4 9 16 25	1 8 27 64 125	-2 -1 0 1 2	4 1 0 1 4	-1,40 -1,48 0 1,16 0
∑	–	15	–	5,20	55	225	–	10	-4,72

Продолжение табл. 7.1

u
1	-2	0,4900	2	4	1,40
2	-4	2,1904	-1	1	-1,48
3	0	3,4596	-2	4	-3,72
4	16	1,3456	-1	1	-1,16
5	50	0	2	4	0
∑	60	7,4856	–	14	-4,96

Окончание табл. 7.1

u
1	2	-2	-1,2	- 0,840	1,44
2	-8	-8	2,4	3,552	5,76
3	-54	0	0	0	0
4	-64	64	-2,4	-2,784	5,76
5	250	250	1,2	0	1,44
∑	126	304	-	- 0,072	14,40

Определим вид ортогональных полиномов , и коэффициенты C0, С1 , если допустим, что экспериментальные данные описываются линейной моделью: