Методы получения однофакторных математических моделей (стр. 7 )

. (7.13)

Пользуясь значениями соответствующих сумм, приведенных в последней строке табл. 7.1, по формулам (7.8), (7.5) и (7.9) находим:

; ;

Тогда линейная модель имеет вид:

(7.14)

Дисперсия, характеризующая неадекватность полученной модели или меру разброса экспериментальных данных относительно графика полученной модели, вычисляется по формуле:

(7.15)

где M – число коэффициентов в уравнении (7.14);

(7.16)

где Σ0 – сумма квадратов отклонений выходного параметра от общего среднего определяемая по формуле:

(7.17)

Сумму квадратов отклонений выходного параметра относительно прямой линии находим по формуле (7.16):

Σ1 = 2,0779 – (– 0,172)210 = 1,78209.

Искомая дисперсия равна:

Дисперсия воспроизводимости для данного эксперимента, т. е. дисперсия среднего значения, была определена ранее:

Вычисляем расчётное значение критерия Фишера:

Табличное значение критерия Фишера находим по приложению Г при условии, что pD = 0,95, число степеней свободы числителя fчисл = 3 и знаменателя fзнам = N (n – 1) = 5(3 – 1) = 10, т. е.

.

Так как , то линейная модель (7.13) неадекватна и необходимо определять φ2(Х(u)) и С2 по формулам (7.6) и (7.10).

Предположим, что экспериментальные данные описываются квадратичной параболой:

(7.18)

Пользуясь соответствующими суммами (см. табл. 7.1), находим:

Тогда квадратичная парабола (7.18) принимает вид:

(7.19)

Дисперсия, характеризующая неадекватность полученной модели, определяется по формуле:

(7.20)

где (7.21)

Для рассматриваемого примера имеем:

Расчетное значение критерия Фишера равно:

.

Так как FR2 < 1, при любом числе степеней свободы дисперсий модель (7.19) адекватна экспериментальным данным.

В тех случаях, когда дисперсию воспроизводимости нельзя определить, так как повторные опыты при разных уровнях фактора не проводились, критерий Фишера используется для оценки значимости различия остаточных дисперсий для двух полиномов разных порядков. В рассматриваемом случае расчетное значение критерия Фишера определяется по формуле:

а табличное значение равно:. Так как FR3 = 48 > FT2 = 19,16, то различие дисперсий значимо, и, следовательно, описание экспериментальных данных моделью второго порядка – квадратичной параболой (7.19) – более адекватно, чем линейной моделью (7.14).

Повысим еще степень параболы, чтобы убедиться в необходимости выбора более сложной модели – кубической параболы.

. (7.22)

Пользуясь соответствующими суммами из табл. 7.1, в формулах (7.7) и (7.11) находим ортогональный полином третьего порядка:

Подставляя в формулу (7.22) соответствующие значения, находим искомую математическую модель:

(7.23)

Дисперсия, характеризующая неадекватность полученной модели, определяется по формуле:

(7.24)

где (7.25)

Пользуясь данными табл. 7.1 и формулами (7.25) и (7.24), находим:

и

Расчетное значение критерия Фишера равно:

а табличное значение этого критерия FT3 [pD = 0,95; fчисл = 1; fзнам = 10] = 4,96.

Так как FR4 = 1,31 < FT3 = 4,96, то полученное уравнение кубической параболы (7.23) адекватно экспериментальным данным.

Сравним дисперсии и , используя критерий Фишера. Расчетное значение этого критерия:

а табличное значение: FT4 [pD = 0,95; fчисл = 1; fзнам = 2] = 18,5.

Так как FR5 = 1,971 < FT4 = 18,5, то гипотеза об однородности дисперсии подтверждается, т. е. дисперсии и являются оценками одной и той же генеральной дисперсии.

Таким образом, уравнение кубической параболы (7.23), являясь адекватной моделью, не уточняет уравнение квадратичной параболы, поэтому для описания результатов рассматриваемого эксперимента целесообразно ограничиться моделью квадратичной параболы (7.19).

Для получения искомой модели в натуральных значениях переменных заменяем в уравнении (7.19) X(u) и Y(u) – кодированные переменные – на натуральные X и Y, пользуясь соотношениями (7.12):

или

где Х – число тысяч оборотов в минуту дискретизирующего валика.

Полученное уравнение совпадает с уравнением (6.15), найденным другим методом.

8. НЕПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ОДНОФАКТОРНАЯ

РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ, ПРЕОБРАЗУЕМАЯ В ЛИНЕЙНУЮ

Если в результате анализа графика и разделенных или неразделенных разностей вплоть до третьего порядка было установлено, что экспериментальные данные не могут быть описаны полиномиальными моделями второго или третьего порядка, то необходимо проверить модели непараболического вида.

Для многих технологических процессов математические модели представляют собой степенные, показательные, гиперболические, логарифмические и другие функции, которые приводятся к линейным, если использовать некоторые простые функциональные преобразования переменных Y и X.

Например, сила вытягивания F в зависимости от вытяжки Е определяется степенной функцией F = a0(E – 1)a1, а деформация основы на ткацком станке в зависимости от длины зева L – гиперболической функцией .

Рассмотрим семь моделей (табл. 8.1), часто встречающихся в практике текстильных исследований, которые приводятся к линейному виду путем преобразований некоторых параметров уравнений, указанных в таблице. Операция линеаризации исходных уравнений значительно облегчает определение их коэффициентов.

Таблица 8.1

№	Вид модели	Формулы для преобразований параметров модели	Вид уравнения прямой после преобразования	Координаты промежуточной точки исходных переменных
Xпр	Yпр
1	Степенная (рис. 8.1а)
2	Показательная (рис. 8.1,б)
3	Гиперболическая (рис. 8.1,в)
4	Гиперболическая (рис. 8.1,д)

Окончание табл. 8.1

№	Вид модели	Формулы для преобразований параметров модели	Вид уравнения прямой после преобразования	Координаты промежуточной точки исходных переменных
Xпр	Yпр
5	Гиперболическая (рис. 8.1,е)
6	Логарифмическая (рис. 8.1,г)
7	Показательная (рис. 8.1,ж)

Рис. 8.1. Графики непараболических регрессионных однофакторных моделей,
преобразуемых в линейные модели

Выбор вида модели (из семи приведенных в табл. 8.1) для описания экспериментальных данных Х1,Y1, ...; Хu,Yu; Xu+1, Yu+1 …; XN,YN заключается в следующем:

1) определяют промежуточное значение независимой переменной Хпр по формулам, указанным в табл. 8.1;

2) определяют промежуточное значение зависимой переменной Yпр по формулам, указанным в табл. 8.1;

3) для описания экспериментальных данных условно принимают модель, для которой получились тождества Хпр = Хu и Yпр = Yu(Xпр);

4) если среди экспериментальных значений Хu и нет равных Xпр, или значение Yпр не равно Yu(Xпр) то, пользуясь методом линейной интерполяции, определяют промежуточное экспериментальное значение Yпр. э, соответствующее Xпр, по формуле:

. (8.1)

В этом случае модель можно принять условно для описания данных эксперимента, если Yпр = Yпр. э(Xпр).

Коэффициенты регрессии в линеаризованном уравнении

(8.2)

определяют по методу наименьших квадратов, используя нормальные уравнения (5.10) или формулы (5.11) и (5.12), преобразованные к обозначениям, принятым при линеаризации, т. е.

(8.3)

. (8.4)

Если в уравнениях прямой после преобразования (табл. 8.1) есть параметры, которые не преобразуются, то в формулах (8.3) и (8.4) используют их исходные, т. е. непреобразованные, значения.

Рассмотрим случай, иллюстрирующий метод выбора вида математической модели из семи, приведенных в табл. 8.1.

В результате экспериментального исследования зависимости силы вытягивания Y = F хлопчатобумажной ленты от вытяжки X = Е получены данные, представленные в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Хu = E	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Yu = F	920	580	450	350	280	230	190	170	150

Пользуясь формулами, приведенными в табл. 8.1, и формулой (8.1), рассчитываем промежуточные переменные Xпр, Yпр и полученные значения сводим в табл. 8.3.

Таблица 8.3

№	Xпр	Yпр	Yu(Xпр) или Yпр. э(Xпр)	|Δ|
1				5,1
2			280	91,48
3				47,82
4			280	22,1
5				229,3
6				158,4
7			280	91,48

Как видим, среди экспериментальных значений Хu либо нет равных Xпр, либо значения Yпр не равны Yu(Xпр), поэтому, пользуясь методом линейной интерполяции, определяем промежуточное экспериментальное значение Yпр. э, соответствующее Xпр, по формуле (8.1) и полученные значения сводим в табл. 8.3.