Методы получения однофакторных математических моделей (стр. 3 )

При любом методе планирования эксперимента исследователь должен установить выходные и входные параметры процесса, т. е. факторы, которые подлежат измерению и изучению.

Выходные параметры, характеризующие объект и свойства получаемого продукта, могут быть:

1) технико-технологические,

2) технико-экономические,

3) экономические,

4) статистические и др.

К технико-технологическим параметрам относятся: физические, механические, физико-химические и другие характеристики продукта, а также выход продукта; к технико-экономическим параметрам – производительность, коэффициент полезного времени, надежность и долговечность объекта, стабильность процесса (например, обрывность) и др.; к экономическим – производительность труда и машины, себестоимость продукции, прибыль, рентабельность, затраты на эксперимент и др.; к статистическим – дисперсия, коэффициент вариации и др.

При всем разнообразии этих параметров выходной параметр должен удовлетворять следующим требованиям:

1) оценивать эффективность исследуемого объекта;

2) быть количественно измеримым, т. е. принимать числовые значения;

3) быть эффективным в статическом смысле, т. е. обладать сравнительно небольшой дисперсией и, следовательно, определяться с достаточной точностью без больших затрат или потерь времени;

4) обеспечивать достаточную полноту описания объекта;

5) иметь простую форму и определенный физический смысл;

6) быть простым, легко определяемым.

Любой технологический объект или процесс текстильной промышленности характеризуется многими выходными параметрами (например, различные свойства пряжи, вырабатываемой на прядильной машине). Но при оптимизации технологического процесса или работы объекта выходным параметром (или параметром оптимизации) может быть только один, наиболее универсальный (полный) и чувствительный к изменению значений факторов. Другие выходные параметры в этом случае служат ограничениями. В качестве параметра оптимизации может быть принят обобщенный (комплексный) параметр, функционально связанный с другими параметрами.

Входные параметры (факторы) – переменные величины, соответствующие способам воздействия внешней среды на объект. Они определяют характеристики самого объекта и свойства входящего продукта. Факторы могут быть количественные и качественные.

Количественные факторы можно измерять, взвешивать и т. п., качественные факторы – это разные технологические процессы производства, сырье разного вида, разные машины и т. п.

При планировании эксперимента нужно включать все существенные факторы, определяющие процесс. Если неучтенный фактор принимает случайные значения и не контролируется, это приводит к увеличению ошибки опыта.

Любой фактор должен быть управляемым, т. е. таким, чтобы его значения можно было изменять, поддерживать на постоянном уровне или варьировать по заданной программе. Планирование эксперимента можно осуществить только при условии возможности изменения значений факторов. Кроме того, фактор должен быть однозначным и точность замеров его должна быть достаточно высокой.

В многофакторном эксперименте факторы должны быть независимыми, т. е. такими, чтобы можно было устанавливать любой фактор на разных уровнях независимо от уровней других факторов. В факторном эксперименте все комбинации уровней факторов должны быть осуществимыми, т. е. факторы должны обладать свойством совместимости. Независимость и совместимость являются важнейшими требованиями к совокупности исследуемых факторов.

Таким образом, выходные параметры также делятся на:

1. Управляемые переменные ( х1, х2, …, хn) – переменные, значения которых можно выбирать в технически допустимых пределах по своему усмотрения и тем самым влиять на ход технологического процесса. Примером управляющих переменных могут служить скорости потоков волокнистого материала, скорости вращения рабочих органов машин, разводки между органами машин, нагрузки на нажимные валики, температура жидкости в ваннах, давление пара и т. п.

2. Неуправляемые параметры – неизменные параметры технологического процесса, значения которых известны, например геометрические характеристики машин, объем камеры смесовой машины, диаметры цилиндров кольцевой прядильной машины, число ремизок ткацкого станка и т. п.

3. Случайные факторы – факторы технологического процесса, для которых ввиду их случайности неизвестны точные значения, но известен закон распределения вероятностей этих значений или хотя бы его числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия и др. Примерами таких факторов могут служить характеристики волокон компонентов в смеси, линейная плотность холста, ленты, ровницы и пряжи, натяжение нитей при перематывании, количество шлихты на единице площади ткани, плотность ткани, число обрывов на прядильной машине или ткацком станке.

4. Неопределенные факторы – это факторы технологического процесса, значения которых неизвестны и по которым нет информации, позволяющей предпочесть одни значения этих факторов другим (кроме, может быть, самых общих, например, диапазона этих значений). Примерами неопределенных факторов могут служить засоренность хлопка будущего урожая, спрос на ткань нового ассортимента и т. д.

4.1.3. Выбор значений основных уровней факторов и интервалов

их варьирования

Изменения входных и выходных параметров при осуществлении эксперимента имеют определенные ограничения, обусловленные технико-экономическими соображениями. Например, слишком большая разводка между цилиндрами вытяжного прибора или между главным барабаном и шляпками приводит к нарушению процессов вытягивания или чесания; слишком высокая стоимость сырья, малый его объем, короткие сроки для выполнения работы ограничивают область изменения соответствующих факторов.

Выбор границ области изменения факторов (Xi min ≤ Xi ≤ Xi max) осуществляется на основе анализа физики процесса и изучения информации о результатах ранее проводимых исследований. Используя графики и таблицы, полученные в результате ранее проведенных традиционных однофакторных экспериментов, исследователь определяет характер изменения функции Y = fi(Xi) и ее экстремальные значения. Затем на основе этого он устанавливает предположительный характер поверхности отклика F (X1X2 ... Хn). Найдя область возможного изменения факторов, исследователь переходит к определению локального участка этой области для планирования факторного эксперимента.

Этот участок в факторном пространстве устанавливается выбором основного уровня факторов Х0i и выбором интервалов варьирования факторов Ii. Значения основного уровня факторов должны лежать внутри выбранной области изменения факторов на некотором расстоянии от ее границ, т. е.

.

При оптимизации процесса исследователь на основе имеющейся информации о процессе выбирает значения основных уровней факторов, при которых параметр оптимизации Y имеет наилучшие значения, учитывая указанное выше пограничное требование. Если же априорные сведения отсутствуют, то выбираются случайные значения нулевых уровней факторов с учетом пограничных требований.

Определив значения основных уровней факторов Xi, переходят к выбору интервала варьирования факторов Ii.

Интервалом варьирования фактора называется некоторое именованное число, прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровень фактора, т. е.

Xвi = Xoi + Ii; Хнi = Xoi – Ii.

Значения верхнего и нижнего уровня i-го фактора определяют границы исследуемого локального участка факторного пространства при условии, что в эксперименте факторы имеют два уровня изменения. Если же они имеют три уровня изменения, то кроме значений, соответствующих Xвi и Хнi, определяют значения, соответствующие основному уровню факторов Xoi, т. е. уровни имеют следующие значения: Хнi, Xoi, Xвi. Если для описания локального участка необходимо иметь пять уровней, то в этом случае они принимают следующие значения:

Xoi, Xвi, = Xoi + Ii ; Хн,= Xoi – Ii; Xввi = Xoi + αiIi; Х ннi = Xo i – αiIi,

где αi > 1 – коэффициент, называемый плечом и определяемый в различных видах факторного эксперимента при условиях, специфичных для этого эксперимента.

В традиционном планировании эксперимента величина плеча равна целым числам, т. е. при пяти уровнях изменения факторов эти числа имеют следующие значения: Xoi – 2Ii; Xoi – Ii; Xoi; Xoi + Ii; Xoi + 2Ii; Очевидно, что максимальное значение плеча αi может быть выбрано таким, чтобы значения факторов не выходили за границы возможной области изменения факторов, т. е. Xвв i < Хi max и Хнн i >Хi min.

Выбор интервала варьирования является одним из важнейших условий планирования эксперимента. Если для каких-либо факторов выбраны слишком малые интервалы варьирования, то можно получить эффект действия данных факторов незначимым не потому, что они не оказывают влияния на величину выходного параметра Y, а потому, что этот эффект будет ниже ошибки измерения выходного параметра. С другой стороны, при выборе слишком больших интервалов варьирования факторов возникает опасность, что исследуемая поверхность отклика не может быть описана линейным уравнением. В каждом конкретном случае интервал варьирования факторов выбирается исходя из опыта и интуиции исследователя.

При выборе интервала варьирования факторов дипломник должен учитывать следующие предварительные сведения о процессе:

1) точность измерения входных параметров, которую условно можно разделить на высокую при 2 %-ной ошибке, среднюю – при 5 %-ной и низкую – при 10 %-ной ошибке;

2) кривизну поверхности отклика на основе ранее проведенных экспериментов по традиционному плану;

3) диапазон изменения значения выходного параметра в разных точках факторного пространства, т. е. о величине ∆y = Ymax – Ymin.

Условимся, что при ∆y ≈ σy этот диапазон узкий, а при ∆y > σy – широкий (σy – среднее квадратическое отклонение Y в повторных опытах).

В зависимости от доли области изменения фактора будем примерно различать три размера интервала варьирования фактора:

при Ii ≤ 0,1 (X i max – X i min) – интервал узкий;

при Ii ≤ 0,3 (X i max – X i min) – интервал средний;

при Ii > 0,3 (X i max – X i min) – интервал широкий.

Соответствующие размеры интервала варьирования факторов выбирают при различных комбинациях указанных выше предварительных сведений. В результате анализа этих комбинаций можно дать следующие рекомендации по выбору интервала I.

Широкий интервал варьирования фактора рекомендуется выбирать в следующих ситуациях:

1) при низкой точности измерения фактора и любом диапазоне изменения выходного параметра Y, но при условии, что исследователю ничего не известно о характере поверхности отклика в исследуемом участке факторного пространства или она может быть описана линейным полиномом;

2) при средней точности измерения фактора, неизвестном или узком диапазоне изменения выходного параметра и когда поверхность отклика может быть описана линейным полиномом;

3) при высокой точности измерения фактора, узком диапазоне изменения ∆y и когда кривизна поверхности неизвестна или может быть описана линейным полиномом.

Средний интервал варьирования фактора рекомендуется выбирать в следующих ситуациях:

1) при средней точности измерения фактора, любом диапазоне изменения параметра ∆y и при условии, что о кривизне поверхности отклика ничего не известно или она должна описываться нелинейным полиномом;

2) при средней точности измерения фактора, широком диапазоне изменения параметра ∆y и при условии, что поверхность может быть описана линейным полиномом;

3) при высокой точности измерения фактора, неизвестном или широком диапазоне изменения выходного параметра и при условии, что о кривизне поверхности ничего не известно или она может быть описана линейным полиномом.

Узкий интервал варьирования фактора рекомендуется выбирать в следующих ситуациях:

1) при высокой точности измерения фактора, любом диапазоне изменения выходного параметра и когда поверхность отклика должна быть описана нелинейным полиномом;

2) при средней точности измерения фактора, узком или широком диапазоне изменения выходного параметра и когда поверхность отклика должна быть описана нелинейным полиномом.

В тех случаях, когда поверхность отклика должна быть описана нелинейным полиномом и измерения факторов производились с низкой точностью, при любом диапазоне изменения выходного параметра исследователю рекомендуется повысить точность измерения или увеличить число повторных опытов и после этого в зависимости от ситуации можно решать вопрос об интервале варьирования фактора.

После выбора значения основного уровня факторов и интервала их варьирования приступают к составлению матрицы планирования эксперимента (табл. 4.2), которая для различных видов факторного эксперимента имеет специфичные методы построения. Значения факторов в матрицах кодируются с целью упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных.

Сущность кодирования заключается в линейном преобразовании координат факторного пространства, т. е. в переносе начала координат в точку основного уровня фактора, и выборе масштабов по осям координат в единицах интервала варьирования фактора. При кодировании используется следующая формула:

(4.1)

где xi – кодированное значение i-го фактора; X0i – натуральное значение основного уровня i-го фактора; Xi – натуральное значение i-го фактора; Ii – интервал варьирования i-го фактора.

Кодирование обеспечивает использование одних и тех же матриц для экспериментального исследования разных процессов, если выходные параметры их зависят от одинакового числа факторов и задачи эксперимента одинаковые, например оптимизация процесса или аппроксимация экспериментальных данных и др. Следовательно, матрицы после кодирования становятся стандартными и приводятся в справочных материалах.

Рассмотрим кодирование факторов на примере скорости перематывания льняной пряжи.

Пример. Пусть натуральные значения фактора для верхнего уровня ХВ = 600 м/мин, для нижнего XН = 500 м/мин. В этом случае натуральное значение основного уровня: и интервал варьирования этого фактора в натуральных единицах . Поэтому кодированное значение уровней фактора согласно формуле (4.1) будет равно: для верхнего уровня ; для нижнего уровня ; для основного уровня

Для качественных факторов кодирование заключается в присвоении каждому состоянию фактора своего уровня.

Например, при исследовании технологического процесса перематывания пряжи различного вида (вискоза, ацетат, хлопок) можно принять за основной уровень пряжу из ацетатных волокон. Тогда пряжа из хлопка будет соответствовать нижнему уровню, который обозначен «–1» или «–», а пряжа из вискозных волокон – верхнему уровню фактора, который обозначен «+1» или «+».

Таким образом, полученные кодированные и натуральные данные заносятся в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Значения варьируемых факторов

Условия проведения эксперимента	Кодированные значения i-го фактора	Натуральные значения i-го фактора
Х1	Х2	Х1	Х2
Основной уровень фактора ХО	0	0	550	ацетат
Интервал варьирования фактора I	1	1	50	1
Верхний уровень фактора ХВ	+1	+1	600	вискоза
Нижний уровень фактора ХН	-1	-1	500	хлопок

Матрицы планирования эксперимента в зависимости от числа степеней свободы бывают насыщенные, ненасыщенные и сверхнасыщенные. Числом степеней свободы матрицы планирования эксперимента называется разность между N – числом опытов в матрице и Nk – числом коэффициентов регрессии в полиноме, который представляет собой математическую модель для исследуемого процесса, т. е.

f = N – Nk.

Число коэффициентов регрессии определяется по формуле:

,

где М – число факторов в эксперименте, для которого составляется матрица; m – число взаимодействующих факторов; – число коэффициентов регрессии при членах полинома, характеризующих взаимодействия факторов, например х1х2; х1х3; х1х2х3; х3х4 и т. п. определяемое по формуле:

.

Очевидно, что число двойных взаимодействий для М факторов равно

,

и если в эксперименте два фактора х1 и х2, то

.

В этом случае полином будет иметь вид:

YR = b0 + b1х1 + b2х2 + b3х3 + b12х1х 2,

для которого Nk = 2 + 1 +1 = 4.

Матрица планирования эксперимента называется насыщенной, если число степеней свободы равно нулю (f = N – Nk = 0). При этом условии по данным эксперимента можно оценить только коэффициенты регрессии полинома, но не достает степени свобод для оценки адекватности получаемой математической модели.

Матрица называется ненасыщенной, если число степеней свободы – положительное число (f = N – Nk > 0). При этом условии можно определить все коэффициенты регрессии полинома и проверить адекватность математической модели.

Матрица называется сверхнасыщенной, если степень свободы – отрицательное число (f = N – Nk < 0). В этом случае можно оценить только часть коэффициентов регрессии полинома.

5. ЛИНЕЙНАЯ ОДНОФАКТОРНАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ

При определении регрессионной модели для объекта с одним выходом проводят активный эксперимент в широком диапазоне изменения фактора X. Обычно применяют число уровней фактора, т. е. число опытов в матрице планирования эксперимента, N = 5...6. Для повышения точности определения выходного параметра Y каждый опыт матрицы повторяется несколько раз (m 2).

Рассмотрим операции, которые необходимо выполнить при обработке данных однофакторного эксперимента, на примере, в котором изучалось влияние линейной плотности ленты X на сопротивление бородки воздействию зубчатого дискретизирующего валика Y на прядильной машине пневмомеханического способа прядения. В табл. 5.1 приведены значения выходного параметра Yuv (усилия дискретизации) в v-м опыте каждого u-го опыта матрицы. В данном примере N = 5 и m = 5.

Таблица 5.1

	v
u
1	2	3	4	5
2 4 6 8 10	1 2 3 4 5	15,2 20,8 28,8 36,8 47,2	14,8 21,6 30,0 37,8 46,6	13,0 22,8 31,2 39,0 45,0	14,6 21,4 29,2 37,4 46,8	14,0 22,0 30,8 38,2 46,0	71,6 108,6 150,0 189,2 231,6	14,32 21,72 30 37,84 46,32	0,732 0,552 1,040 0,688 0,732	3,74 3,94 3,77 3,98 3,74

Первая операция – исключение резко выделяющихся данных. Рассмотрим эту операцию на примере первого опыта матрицы при X = 2, . Эта операция включает определение

1) среднего значения по формуле:

2) дисперсии выходного параметра по формуле:

(рассчитанные значения и для остальных опытов приведены в табл. 5.1);

3) расчётного значения критерия Смирнова-Грабса:

.

По приложению А находим, что Так как и , то рассмотренные значения не являются резко выделяющимися и остаются для дальнейшей статистической обработки.

Вторая операция – проверка гипотезы о нормальном распределении случайных величин Yuv. Проверка этой гипотезы также проводится для каждого опыта матрицы. Рассмотрим эту операцию на примере первого опыта матрицы, при X = 2. Проверка включает:

1. Определение расчетного значения критерия по формуле

	(5.1)
где ;	(5.2)

– при четном числе m; – при нечетном числе m; или для нашего примера 15,2 > 14,8 > 14,6 > 14 > 13. Значения для i = 1…k; m = 3…50 приведены в приложении Д.

Используя приложение Д, в рассматриваемом примере находим:

Q = 0,6646(15,2–13) + 0,2413(14,8 – 14) = 1,655, поэтому .

2. Сравнение расчетного значения с табличным (см. приложение Е), которое определяется для заданной доверительной вероятности и известного числа повторных опытов (измерений) m. Для рассматриваемого примера .

Так как расчетное значение критерия превышает табличное для выбранной доверительной вероятности, то гипотеза о нормальном распределении случайных величин не отвергается.