Методы получения однофакторных математических моделей (стр. 5 )

.

(5.26)

На основе приведенных в табл. 5.4 значений границ доверительного интервала строим графики функции и (рис. 5.1). Графики этих двух функций образуют своеобразный «коридор». Любое сечение его прямой, параллельной вертикальной оси, соответствует доверительному интервалу, в котором с заданной вероятностью будет находиться истинное среднее значение выходного параметра . Легко заметить, что в этот «коридор» попадают средние экспериментальные значения . Однако некоторые индивидуальные экспериментальные значения выходного параметра в него не попадают, так как интервалы построены для средних значений.

Десятая операция – определение доверительных интервалов для индивидуальных значений выходного параметра при каждом уровне фактора.

Границы доверительного интервала для индивидуальных значений выходного параметра при каждом уровне фактора Хu определяются по формулам:

где	(5.27)
(5.28)
(5.29)

Используя значения из табл. 5.4 и ранее вычисленные по уравнению (5.20) значения и tT = 2,07, все расчеты верхней границы и нижней границы искомой зоны по формулам (5.27) и (5.28) сводим в табл. 5.5.

Таблица 5.5

u
1 2 3 4 5	2 4 6 8 10	861,4·10-4 430,6·10-4 287,2·10-4 430,6·10-4 861,4·10-4	8041,4·10-4 7610,6·10-4 7467,2·10-4 7610,6·10-4 8041,4·10-4	0,897 0,872 0,864 0,872 0,897	14 22 30 38 46	1,86 1,81 1,79 1,81 1,86	12,14 20,19 28,21 36,19 44,14	15,86 23,81 31,79 39,81 47,86

По данным табл. 5.5 строим графики функций и (рис. 5.1), которые являются доверительными границами зоны индивидуальных значений выходного параметра. Вероятность попадания точек, соответствующих индивидуальным значениям выходного параметра, равна 0,95, т. е. из ста измерений выходного параметра при любом уровне варьирования фактора 95 измерений попадают в эту зону и только пять не попадают.

Анализируя индивидуальные значения (табл. 5.1) и границы зоны для каждого (табл. 5.5), замечаем, что все индивидуальные измерения попали в доверительную зону, т. е. располагаются между и . На этом заканчивается статистическая обработка данных рассматриваемого однофакторного эксперимента.

6. КВАДРАТИЧНАЯ ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ОДНОФАКТОРНАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ (МОДЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА)

Параболические однофакторные регрессионные модели, имеющие вид (рис. 6.1,а)

, (6.1)

описывают многие явления и процессы текстильной промышленности.

а) б)

в) г) д)

Рис. 6.1. Парабола как геометрический образ однофакторной модели второго порядка при натуральных (а) и кодированных (б–д) значениях фактора

Приведем примеры:

1) зависимость неровноты продукта, выходящего из вытяжного прибора, от вытяжки Е:

;

2) зависимость неровноты продукта, выходящего из двухцилиндрового вытяжного прибора, от разводки между цилиндрами R:

;

3) зависимость неровноты продукта, выходящего из трехцилиндрового вытяжного прибора, от соотношения вытяжек во второй Е2 и в первой Е1 зонах вытягивания при постоянной общей вытяжке Е = Е1·Е2:

;

4) зависимость натяжения нити при зевообразовании от высоты зева h:

;

5) зависимость прочности пряжи от крутки К:

.

При определении параболической модели матрица планирования однофакторного эксперимента и условия проведения его одинаковы, как и при получении линейной регрессионной модели. Число уровней фактора, или число опытов в матрице планирования обычно принимают N = 5…12.

Рассмотрим основные операции, которые необходимо провести при обработке данных этого эксперимента, на примере, в котором определялось влияние частоты вращения дискретизирующего валика пневмомеханического прядильного устройства на относительную прочность пряжи линейной плотности 25 текс при производстве ее из вискозных волокон. В табл. 6.1 приведены значения (тыс. об/мин), (сН/текс) и дисперсии прочности пряжи , полученные по данным пяти повторных опытов (m = 5) при каждом уровне фактора .

Таблица 6.1

	v
u
1	2	3	4	5
6 6,5 7 7,5 8	1 2 3 4 5	12,92 13,55 13,99 13,35 12,49	13,41 14,10 14,32 13,55 11,90	12,76 13,70 14,05 13,19 12,18	13,15 13,96 14,41 13,83 12,49	12,95 13,89 14,17 13,57 12,57	65,19 69,2 70,94 67,49 61,63	13,05 13,83 14,21 13,51 12,35	0,0625 0,0476 0,0311 0,0584 0,0799	3,80 3,90 3,78 3,90 3,42

Первая операция – исключение резко выделяющихся данных.

Проверку будем проводить с помощью критерия Смирнова-Грабса. Результаты расчётов приведены в табл. 6.1. Проверка показала, что в данном эксперименте резковыделяющиеся данные отсутствуют.

Вторая операция – проверка гипотезы о нормальном распределении случайных величин Yuv. Проверка этой гипотезы также проводится для каждого опыта матрицы с помощью критерия WR, рассчитываемого по формуле (5.1). Результаты расчётов сведены в табл. 6.1.

Все расчётные значения WR превышают табличные WТ, и поэтому первое условие о возможности применения регрессионного анализа удовлетворяется и случайные величины прочности пряжи для каждого уровня скорости валика Xu распределены нормально.

Третья операция – проверка гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы.

Так как число повторных опытов (m = 5) одинаково для всех опытов матрицы, то для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кочрена, расчетное значение которого определяется по формуле (5.3):

Расчетное значение сравнивается с табличным значением, которое определяют по приложению Б в зависимости от числа опытов в матрице N и числа степеней свободы дисперсии для заданной доверительной вероятности. В рассматриваемом примере

GT [pD = 0.95; N = 5; f = 5 – 1 = 4] = 0.544. Так как <, то гипотеза об однородности дисперсий, т. е. равноточности и воспроизводимости опытов, не отвергается.

Четвертая операция – определение средней дисперсии выходного параметра и дисперсии среднего значения.

Среднюю дисперсию выходного параметра находим по формуле (5.4):

.

Дисперсия среднего значения:

.

После осуществления указанных выше операций определяем подходящий вид регрессионной модели, пользуясь методом тождественности неразделённых разностей.

Пятая операция – определение подходящего вида регрессионной модели.

Вычислив неразделенные разности первого порядка по формуле (5.6):

|Δ/н1| = 13,83 – 13,05 = 0,78; |Δ/н3| = 13,51 – 14,21 = 0,7;

|Δ/н2 | = 14,21 – 13,83 = 0,38; |Δ/н4| = 12,35 – 13,51 = 1,16;

делаем вывод, что ввиду различия неразделенных разностей первого порядка выходного параметра, превышающего удвоенную величину среднеквадратической ошибки эксперимента (), можно считать, что они не тождественны и экспериментальные данные не могут быть описаны линейным уравнением (5.7). Поэтому определяем неразделенные разности второго порядка по формулам:

; (6.2)

|Δ//н1| = 0,38 – 0,78 = 0,4; |Δ//н2 | = 0,7 – 0,38 = 0,32;

|Δ//н3| = 1,16 – 0,7 = 0,46.

Полученные значения неразделенных разностей второго порядка можно считать тождественными, так как разница между ними меньше удвоенной среднеквадратической ошибки: . Поэтому для описания экспериментальных данных условно можно принять полином второй степени или квадратичную параболическую однофакторную модель (6.1): .

Шестая операция – определение коэффициентов регрессии.

Коэффициенты регрессии в модели (6.1) можно вычислить двумя способами:

1)  с помощью метода наименьших квадратов;

2)  с помощью введения кодированных значений факторов.

При условии, что дисперсии в опытах матрицы однородны, коэффициенты регрессии можно рассчитать по методу наименьших квадратов.

Для рассматриваемой модели составляются уравнения, которые были получены при условии :

(6.3)

;

где N – общее число опытов в матрице планирования эксперимента.

Величины и т. д., а также и т. д., входящие в уравнения (6.3), могут быть определены по данным эксперимента и для рассматриваемого примера сведены в табл. 6.2.

Подставляя эти значения в систему (6.3), получаем систему уравнений:

которые можно решить относительно методом последовательного исключения неизвестных или с помощью матричного метода.

Таблица 6.2

u
1 2 3 4 5	6,0 6,5 7,0 7,5 8,0	36,00 42,25 49,00 56,25 64,00	216,000 274,625 343,000 421,875 512,000	1296,0000 1785,0625 2401,0000 3164,0625 4096,0000	13,05 13,83 14,21 13,51 12,35	78,300 89,805 99,470 101,325 98,800	469,800 584,3175 696,2900 759,9375 790,4000
Σ	35,0	247,50	1767,500	12742,1250	66,95	467,790	3300,7450

Определение коэффициентов регрессии в уравнении значительно упрощается, если в матрице планирования эксперимента используются кодированные значения факторов и опыты располагаются симметрично относительно основного уровня фактора. Эти условия удовлетворяются в рассматриваемом примере. Матрица планирования для кодированных значений фактора Х представлена в табл. 6.3.

При указанных выше условиях натуральное значение основного уровня фактора будет равно:

(6.4)

а интервал варьирования фактора

(6.5)

Кодированные значения уровней фактора определяют по формуле (4.1):

,

и т. д. (табл. 6.3).

Таблица 6.3

u
1 2 3 4 5	6,0 6,5 7,0 7,5 8,0	-2 -1 0 1 2	13,05 13,83 14,21 13,51 12,35	4 1 0 1 4	-26,10 -13,83 0 13,51 24,70	52,20 13,83 0 13,51 49,40	16 1 0 1 16
Σ	35,0	0	66,95	10	-1,72	128,94	34

Матрица планирования эксперимента (табл. 6.3) обладает свойством ортогональности, поэтому решение системы уравнений (6.3) исключается и расчет кодированных коэффициентов регрессии полинома второго порядка

(6.6)

ведется по следующим формулам:

(6.7)

(6.8)