Методы получения однофакторных математических моделей (стр. 8 )

Затем определяем разницы:

|Δ| = |Yпр – Yu(Xпр)| или |Δ| = |Yпр – Yпр. э(Xпр)|.

Сравнивая величины полученных разниц, замечаем, что для первой модели она наименьшая. Поэтому для описания рассматриваемых данных эксперимента можно условно принять модель № 1 (табл. 8.1), которая после преобразования имеет вид:

(8.5)

или . (8.6)

Установив условный вид математической модели, переходим к определению коэффициентов регрессии. Результаты расчетов сумм, входящих в формулы (8.3) и (8.4), сведены в табл. 8.4.

Таблица 8.4

u	Xu				Yu
1	3	0,4771	– 0,3340	0,111556	920	2,9638	– 0,989909
2	4	0,6021	– 0,2090	0,043681	580	2,7634	–0,577551
3	5	0,6990	–0,1121	0,012566	450	2,6532	– 0,297424
Окончание табл. 8.4
u	Xu				Yu
4	6	0,7782	– 0,0329	0,001082	350	2,5441	–0,083701
5	7	0,8451	0,0340	0,001156	280	2,4472	0,083205
6	8	0,9031	0,0920	0,008465	230	2,3617	0,217275
7	9	0,9542	0,1430	0,020449	190	2,2788	0,325868
8	10	1,0000	0,1889	0,035683	170	2,2304	0,421323
9	11	1,0414	0,2303	0,053038	150	2,1761	0,501156
Σ	–	7,3002	–	0,287676	3320	22,4187	– 0,399757

Средний уровень линеаризованного фактора в эксперименте:

.

Пользуясь данными табл. 8.4 и формулами (8.3) и (8.4), находим:

, .

Линеаризованное искомое уравнение имеет вид:

(8.7)

или .

Тогда искомое уравнение:

. (8.8)

В рассматриваемом эксперименте повторные опыты не проводили и, следовательно, оценку дисперсии воспроизводимости не осуществляли. Поэтому для оценки адекватности полученной модели не представляется возможным использовать критерий Фишера, с помощью которого проводится сравнение дисперсий неадекватности и воспроизводимости.

В этом случае для статистической оценки значимости и точности модели определяют значимость коэффициентов регрессии и доверительные интервалы для истинного среднего значения выходного параметра при любом уровне фактора.

При этом дисперсия неадекватности рассчитывается по формуле:

(8.9)

Она используется как оценка дисперсии воспроизводимости эксперимента или ошибки эксперимента. Такое допущение возможно, если известно, что модель линейная, что может быть установлено при анализе процесса или по расположению точек эксперимента на графике.

Для статистической оценки полученной модели определяют, кроме того, ее «информационную способность», сравнивая дисперсию выходного параметра S2{YL} во всем диапазоне изменения фактора X с дисперсией неадекватности с помощью критерия Фишера, расчетное значение которого:

, (8.10)

Расчеты значений YRuL по формуле (8.7) и суммы, входящей в формулу (8.9), сводим в табл. 8.5.

Таблица 8.5

u			YRuL	YuL	YRuL – YuL	(YRuL – YuL)2
1 2 3 4 5 6 7 8 9	–0,3340 –0,2090 –0,1121 –0,0329 0,0340 0,0920 0,1430 0,1889 0,2303	0,464121 0,290428 0,155775 0,045718 –0,047247 –0,127844 –0,198714 –0,262497 –0,320026	2,955095 2,781394 2,646741 2,536684 2,443719 2,363122 2,292252 2,228469 2,170940	2,9638 2,7634 2,6532 2,5441 2,4472 2,3617 2,2788 2,2304 2,1761	–8705·10-6 17994·10-6 –6459·10-6 –7416·10-6 –3481·10-6 1422 ·10-6 13452·10-6 –1931·10-6 –5160·10-6	7577·10-8 32378·10-8 4171·10-8 5499·10-8 1211·10-8 202·10-8 18095·10-8 372·10-8 2662·10-8
Σ	–	–	–	–	–	72167·10-8

Дисперсия, характеризующая неадекватность линеаризованной модели, по экспериментальным данным равна:

.

Дисперсии коэффициентов регрессии в уравнении (8.7) определяем по следующим формулам и данным табл. 8.5:

.	(8.11)
.	(8.12)

Расчетное значение критерия Стьюдента для этих коэффициентов находим по формуле (5.17):

.

.

Табличное значение критерия Стьюдента определяем по приложению В при условии, что pD = 0,95 и число степеней свободы f{ } = N – N = 9 – 2 = 7, т. е. tT [pD = 0,95; f = 7] = 2,365. Так как расчетные значения критерия Стьюдента значительно превосходят табличные (tR > tT), то гипотеза о значимости коэффициентов регрессии и линейности взаимосвязи между преобразованными переменными YL и XL не отвергается.

Используя формулу (5.25), находим для рассматриваемого случая дисперсию оценки расчетного значения выходного параметра:

(8.13)

Расчеты этой дисперсии для каждого уровня преобразованного фактора XuL приведены в табл. 8.6.

Таблица 8.6

u					YRuL
1	0,111556	39,937·10-6	51,377·10-6	7,1678·10-3	2,9551
2	0,043681	15,638·10-6	27,078·10-6	5,2036·10-3	2,7814
3	0,012566	4,499·10-6	15,939·10-6	3,9923·10-3	2,6467
4	0,001082	0,387·10-6	11,827·10-6	3,4391·10-3	2,5367
5	0,001156	0,414·10-6	11,854·10-6	3,4429·10-3	2,4437
6	0,008464	3,030·10-6	14,470·10-6	3,8040·10-3	2,3631
7	0,02449	7,321·10-6	18,761·10-6	4,3314·10-3	2,2922
8	0,035683	12,775·10-6	24,215·10-6	4,9208·10-3	2,2285
9	0,053038	18,988·10-6	30,428·10-6	5,5161·10-3	2,1709

Доверительные границы для истинного среднего значения выходного параметра определяются неравенством: