Учебно-методический комплекс дисциплины "Математическая экономика" (стр. 12 )

Тема 1. Введение. Экономико-математическое моделирование.

Задание 1. Моделирование экономических задач с помощью электронных таблиц. Компания Bartel Job Shop получила предложение собрать примерно 15 тысяч электронных калькуляторов по цене $26. Компания оценила, что при использовании существующих производственных мощностей переменные затраты на сборку одного калькулятора составят $21. В качестве альтернативного решения компания может заключить субконтракт и поручить некоторые операции по сборке компании Wizard Fabrication Co., сократив тем самым свои удельные затраты на сборку до $18. По контракту компания Bartel Job Shop должна выплатить компании Wizard Fabrication Co фиксированную сумму $42000. Еще один вариант может заключаться в том, чтобы взять в аренду робот-сборщик, что позволит компании Bartel Job Shop снизить удельные переменные расходы на сборку до $11.

1) Создайте модель прогнозирования валовой прибыли для каждого из описанных вариантов.

2) При каком уровне производства калькуляторов компанией Bartel Job Shop достигаются точки безразличия между:

а) использованием существующих мощностей и субконтрактом;

б) между субконтрактом и арендой робота?

3) Подготовьте отчет, содержащий рекомендации по возможным количествам выпускаемых калькуляторов.

Тема 3. Математическая теория потребления

Задание 1. Функция полезности индивида: , где QA , QB - количества двух различных благ, его бюджет M = 64 , а цены благ pA = 1, pB = 1.5. Запишите уравнение кривой безразличия, на которой находится потребитель в момент равновесия.

Задание 2. Функция спроса на газ имеет вид , а функция его предложения , где pn , pg - соответственно цены на нефть и газ. При каких ценах на данные энергоносители объемы спроса и предложения газа будут равны 20 единицам?

Задание 3. В условиях предыдущего задания определить на сколько процентов изменится объем продаж газа при увеличении нефти на 25%.

Задание 4. Пусть целевая функция потребителя зависит от двух благ х1, х2 следующим образом u(x1, x2) = x1x2. Пусть цены благ равны соответственно 10 и 2, а доход потребителя равен 60. Функция спроса имеет вид , где K - доход потребителя, p - цена товара, n - количество рассматриваемых товаров. Предположим, что цена второго товара меняется с 2 до 7. Каков необходимый размер компенсации?

Задание 5. Решите предыдущую задачу в общем виде, запишите основные соотношения и сделайте выводы.

Задание 6. Предположим, что функция спроса на товар x1 зависит от его цены p1 и дохода потребителя К следующим образом: . Используя уравнение Слуцкого, рассчитайте .

Задание 7. Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса при ценах благ p1 = 10, р2 = 2 и доходе К = 60, со следующими функциями предпочтения:

1)

2)

3)

4)

Для каждой задачи изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

Задание 7. Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса при ценах благ p1 = 10, р2 = 2 и доходе К = 60, со следующими функциями предпочтения:

1)

2)

3)

4)

Для каждой задачи изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

Задание 8. В 1976 г. на Бразилию приходилось примерно мирового экспорта кофе. Когда заморозки уничтожили около 75% урожая кофе в Бразилии в гг., цена зеленого кофе выросла на 400%. Какова была эластичность спроса на кофе?

Тема 4. Математическая теория производства

Задание 1. Для производственной функции (ПФ) Кобба-Дугласа найти в явном виде предельную и среднюю производительность труда и капитала.

Задание 2. Рассмотрим ПФ вида: и показатели экономики некоторой страны: валовой продукт возрос с 1960 по 1965 годы в 2,82 раза, основные производственные фонды за этот же период увеличились в 2,88 раза, а число занятых – в 1,93 раза. Вычислить по ней масштаб и эффективность производства.

Задание 3. Для ПФ Кобба-Дугласа найти в явном виде нормы замещения фондов трудовыми ресурсами и трудовых ресурсов фондами.

Задание 4. Для линейной производственной функции вида

, найти в явном виде средние и предельные производительности ресурсов.

Задание 5. Выписать в явном виде для ПФ Кобба-Дугласа эластичности выпуска по факторам производства.

Задание 6. Для линейной ПФ вида , выписать в явном виде эластичности выпуска по факторам производства.

Задание 7. Выписать в явном виде для ПФ Кобба-Дугласа предельные нормы замещения факторов производства.

Задание 8. Для линейной производственной функции вида

, выписать в явном виде предельные нормы замещения факторов производства.

Тема 5. Математическая теория конкурентного равновесия

Задание 1. Производство национального дохода отображается производственной функцией вида . В период t0 в хозяйстве было 10 единиц труда и 640 единиц капитала. Темп прироста трудовых ресурсов равен 3% за период. Предельная склонность к сбережению равно 50%. В каком направлении будет изменяться темп прироста национального дохода в соответствии с моделью экономического роста Солоу?

Задание 2. В условиях предыдущего задания, какой объем капитала обеспечит в исходных условиях равновесный рост с периода t1?

Задание 3. Страна располагает 256 ед. капитала и 16 ед. труда. Технология производства представлена ПФ вида . Предельная склонность к сбережению равна 0,2. Система цен совершенно эластична. Какой темп равновесного роста в описанных условиях не изменил бы исходной производительности труда?

Задание 4. Пусть производственная функция имеет вид . Норма выбытия капитала 0,08. Численность занятых растет на 2% в год. Норма сбережения 25%. Каков устойчивый уровень капиталовооруженности единицы труда с постоянной эффективностью? Каков устойчивый уровень удельного дохода, инвестиций, потребления? Соответствует ли данная норма сбережения «Золотому правилу»?. Если нет, то какой она должна стать для этого? Какой устойчивый уровень удельного дохода, инвестиций, потребления по «Золотому правилу»?

Задание 5. Ответить на вопросы: Каков содержательный смысл конкурентного равновесия в модели Вальраса? Дать экономическую интерпретацию условиям теоремы Эрроу-Дебре.

Задание 6. Проверить, какие из условий теоремы Эрроу-Дебре выполняются в следующей модели.

Имеются два товара и один потребитель, технологическое множество производственного сектора задается в таком виде:

Функция полезности потребителя имеет вид

и определена на множестве

.

Весь доход производственного сектора поступает в распоряжение потребителя.

Тема 6. Линейные модели экономики.

Задание 1. Выяснить, при каких значениях α>0 матрица

будет продуктивной.

Задание 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Задание 3. Дан вектор конечного продукта и матрица межотраслевого баланса. Найти вектор валового выпуска Х.

Задание 4. Составьте самостоятельно балансовую таблицу для системы из двух (трех) экономических объектов. Знание скольких параметров необходимо для однозначного решения такой задачи?

Задание 5. Решите задачи, используя следующие отчетные балансы. Составьте балансы для планируемых периодов:

а)

				Y	X
	160	-	160	140	300
	40	40	80	120	200

б)

				Y	X
	19	31	50	110	160
	20	-	42	58	100

Задание 6. Какие из приведенных ниже матриц могут играть роль матриц коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат некоторой экономической системы?

Ответ обоснуйте.

а) б) в)

г) д) е)

Тема 7. Математические модели экономического роста и благосостояния.

Задание 1. Производство национального дохода отображается производственной функцией вида . В период t0 в хозяйстве было 10 единиц труда и 640 единиц капитала. Темп прироста трудовых ресурсов равен 3% за период. Предельная склонность к сбережению равно 50%. В каком направлении будет изменяться темп прироста национального дохода в соответствии с моделью экономического роста Солоу?

Задание 2. В условиях предыдущего задания, какой объем капитала обеспечит в исходных условиях равновесный рост с периода t1?

Задание 3. Страна располагает 256 ед. капитала и 16 ед. труда. Технология производства представлена ПФ вида . Предельная склонность к сбережению равна 0,2. Система цен совершенно эластична. Какой темп равновесного роста в описанных условиях не изменил бы исходной производительности труда?

Задание 4. Пусть производственная функция имеет вид . Норма выбытия капитала 0,08. Численность занятых растет на 2% в год. Норма сбережения 25%. Каков устойчивый уровень капиталовооруженности единицы труда с постоянной эффективностью? Каков устойчивый уровень удельного дохода, инвестиций, потребления? Соответствует ли данная норма сбережения «Золотому правилу»?. Если нет, то какой она должна стать для этого? Какой устойчивый уровень удельного дохода, инвестиций, потребления по «Золотому правилу»?

Задание 5. Используя модель Солоу с производственной функцией Кобба-Дугласа, у которой А и α заданы в таблице, найти значения фондовооруженности, производительности труда и удельного потребления на стационарной траектории, для которой норма накопления ρ = 0,2, выбытие фондов μ = 0,2 за год, а годовой прирост ресурсов ν = 0,05.

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А	103	102	104	103	102	104	104	105	106	106
α	1/2	1/2	1/2	1/3	1/3	1/3	1/4	1/4	1/4	1/3

Тема 8. Моделирование экономики в условиях несовершенной конкуренции.

Задание 1. ПФ фирмы Y = (KL)0.5 . Найти отношение объемов основных производственных фондов к объему трудовых ресурсов в оптимальном режиме, если цены ресурсов wK, wL.

Задание 2. Технология конкурентной фирмы соответствует ПФ Y = (KL)0.5. Цена на продукцию фирмы равна 10 ед. Выведите уравнение кривой спроса фирмы на труд при К = 10 ед.

Задание 3. Фирма является совершенным конкурентом на рынке благ и на рынке труда. При заданном объеме капитала ее технология определяется производственной функцией 240L – 5L2. Сколько труда наймет фирма при Р = 2 и wL = 120?

Тема 9. Оценка эффективности проектов.

Задание 1. Рассмотрим три вида ценных бумаг, для которых есть данные о доходах за прошедшие 12 лет: это акции компании AT&T, General Motors и USS – холдинга компании US Steel. Показатели дохода от акций приводятся в таблице.

год	AT&T	General Motors	USS
1	30	22,5	14,9
2	10,3	29	26
3	21,6	21,6	41,9
4	-4,6	-27,2	-7,8
5	-7,1	14,4	16,9
6	5,6	10,7	-3,5
7	3,8	32,1	13,3
8	8,9	30,5	73,2
9	9	19,5	2,1
10	8,3	39	13,1
11	3,5	-7,2	0,6
12	17,6	71,5	90,8

Минимизируйте дисперсию дохода инвестиционного портфеля при условии, что ожидаемый доход составит не менее 15% и не более 75% общей суммы средств, которые можно вложить в акции любого одного вида. Для решения используйте Поиск решения табличного процессора EXCEL.