1.Решить систему по правилу Крамера
2. Вычислить определитель
.
3. Дана точка 
, найти расстояние от точки 
до прямой 
, составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной прямой.
4. Вычислить предел
.
5. Вычислить производную функции
.
6. Прямая линия на плоскости: через одну точку; через две точки; в отрезках; с угловым коэффициентом.
7. Изменить порядок интегрирования
.
8. Изменить порядок интегрирования
.
9. Вычислить двойной интеграл по области 
, 
10. Вычислить двойной интеграл по области
, 
11. Вычислить площадь плоской фигуры
12. Найти площадь области
13. Найти массу плоской пластинки , с поверхностной плотностью 
, 
14. Построить область 
и вычислить по ней тройной интеграл
, 
15. Построив область , вычислить тройной интеграл по области в цилиндрической системе координат
. 
16. Вычислить тройной интеграл в сферических координатах
, 
17. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла. Построить тело.
18. Тело задано ограничивающими его поверхностями с плотностью . Найти массу тела.
, 
19. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье в действительной форме. Найти значения ряда Фурье в точках разрыва функции и на границах промежутка. Построить график функции и ряда Фурье
, 
.
20. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье в действительной форме. Найти значения ряда Фурье в точках разрыва функции и на границах промежутка. Построить график функции и ряда Фурье
21. Продолжить функцию 
на 
четным образом и разложить ее в тригонометрический ряд Фурье в действительной форме, если
на 
.
22. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье по синусам
на .
23. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме. Построить Фурье спектр.
24. Дана кусочно-непрерывная функция, определяющая периодически повторяющийся импульс периодом 
и длительностью 
. Построить график импульса, его тригонометрического ряда Фурье в комплексной форме и Фурье спектр при 
.
25. Дана поверхность 
. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке 
.
26. К поверхности 
провести касательные плоскости, параллельные плоскости 
.
27. Найти экстремум функции
.
28. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
, 
29. Найти производную неявно заданной функции
, 
.
30. Найти производную функции 
в точке 
в направлении вектора 
, 
. Определить наибольшее значение производной по направлению в этой точке.
31. Найти угол между градиентами скалярных полей 
и 
в точке 
, 
, 
.
32. Найти частные производные второго порядка сложной функции
, 
33. Найти область сходимости степенного ряда: найти интервал сходимости и проверить сходимость этого ряда на границах интервала.
, 
.
34. Исследовать на сходимость знакопеременные числовые ряды
, 
.
35. Разложить функцию в ряд Тейлора (по степеням 
или в окрестности точки 
)
, 
.
36. Исследовать числовой ряд на сходимость.
, 
.
37. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой 
– первый виток конической винтовой линии
, 
.
38. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой
, 
от точки 
до точки 
.
39. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой
, 
– окружность.
40. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой
, 
.
41. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой
, от точки до точки 
.
42. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой
, 
от точки 
до точки 
.
43. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
, 
, 
, если 
44. Вычислить работу электромагнитного поля 
по перемещению заряженной частицы по кривой ,
.
45. Вычислить поверхностный интеграл первого рода в ДПСК
, 
46. Вычислить поверхностный интеграл первого рода в цилиндрических координатах
, 
47. Вычислить поверхностный интеграл второго рода в ДПСК
, 
по внешней нормали.
48. Найти векторные линии векторных полей
; 
.
49*. Найти поток векторного поля через поверхность
, 
.
– острый.
50. Найти поток векторного поля через поверхность
, 
. – острый.
51. Найти модуль циркуляции векторного поля по границе 
области в задаче 49*
.
52. Найти угол между градиентами скалярных полей в точке
, 
, 
.
53. В аудитории 6 ламп накаливания. Вероятность, что лампа останется исправной в течение года равна 
. Найти: а) вероятность того, что в течение года придется заменить две лампы; б) наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать в течение года.
54. Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна 
. Найти вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят: а) 
раза; б) не менее раз. Составить закон распределения количества принятых сигналов – 
, представить таблицей.
55. Прибор состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов элементов за время 
различны и составляют соответственно 
, 
, 
. Найти вероятность того что за время откажут: а) все элементы; б) два элемента; в) один элемент; г) ни один элемент не откажет.
56. Вероятность пробоя изоляции при подаче напряжения составляет 
. Осуществляется 
подач напряжения. Определить вероятность 
пробоев изоляции.
57. Завод изготовитель электроламповый завод» произвел для торговой марки «Космос» 12000 ламп накаливания. Число ламп поврежденных при транспортировке составляет в среднем 
. Найти вероятность того, что после транспортировки ламп накаливания окажется: а) не более трех поврежденных; б) хотя бы две поврежденные.
58. Вероятность того, что при автоматической штамповке микросхем, отдельная микросхема окажется бракованной (с отклонением от стандарта), постоянна и равна 
. Определить вероятность того, что среди штампованных микросхем ровно 
окажется бракованных.
59. В задаче 22 выяснить, сколько набракованных микросхем следует ожидать с вероятностью 
.
60. Представить таблицей и точечной диаграммой закон распределения ДСВ 
– число правильных ответов, если вероятность правильного ответа составляет 
, а количество вопросов . Найти вероятность события – дано правильных ответов не менее 3-х.
20. Примеры расчетно-графических работ
20.1. РГР № 1 «Исследование функции и построение ее графика»
Теоретические вопросы:
– условия возрастания функции на отрезке;
– условия убывания функции на отрезке;
– точки острого и гладкого экстремума. Необходимое условие экстремума;
– достаточные условия экстремума функции;
– выпуклость и вогнутость графика функции;
– точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условия точек перегиба;
– асимптоты графика функции.
Теоретические упражнения:
1. Доказать, что функция 
монотонно возрастает на отрезке 
. Следует ли из монотонности дифференцируемой функции монотонность ее производной?
2. Исследовать функцию 
на экстремум и выяснить условия, при которых уравнение 
имеет
а) три различных действительных корня;
б) один действительный корень.
3. Определить «отклонение от нуля» многочлена
на отрезке 
, т. е. найти на этом отрезке наибольшее значение функции 
.
4. Установить условие существования асимптот у графика рациональной функции
.
Задания:
1. Исследовать на непрерывность и построить график функции
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
а) 
;
б) 
.
20.2. РГР № 2 «Неопределенные и определенные интегралы»
Теоретические вопросы:
– неопределенный интеграл, его основные свойства;
– понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных;
– понятие определенного интеграла, его основные свойства и геометрический смысл;
– замена переменной в неопределенном и определенном интегралах;
– интегрирование по частям в неопределенном и определенном интегралах;
– интегрирование рациональных функций;
– интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции;
– интегрирование иррациональных выражений;
– вычисление площадей плоских фигур;
– вычисление длины кривой, объемов тел вращения;
– теорема о среднем, оценка определенного интеграла.
Теоретические упражнения:
1. Доказать, что если 
– четная функция, то
.
2. Доказать, что для нечетной функции справедливы равенства
и 
.
3. Какой из интегралов больше
или 
?
4. При каких целых значениях 
интеграл 
выражается в элементарных функциях?
5. Оценить интеграл 
.
6. Найти точки экстремума функции
.
Задания:
1. Найти интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е)
.
2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси 
фигуры, ограниченной 
, 
. Сделать чертеж.
3. Найти длину одной арки кривой 
, 
. Сделать чертеж.
4. Найти среднее значение функции 
на 
.
5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 
.
20.3. РГР № 3 «Дифференциальные уравнения высших порядков»
Теоретические вопросы:
– сформулировать теорему о существовании и единственности решения ДУ второго порядка;
– изложить метод решения ДУ вида 
, 
и 
;
– основные свойства частных решений ЛОДУ;
– теорема об общем решении ЛОДУ второго порядка;
– линейно зависимые и линейно независимые функции. Определитель Вронского;
– теорема об общем решении ЛНДУ второго порядка;
– задача Коши и краевая задача для ДУ второго порядка;
– системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами.
Теоретические упражнения:
1. Доказать, что сумма частных решений уравнений 
и 
является решением уравнения 
.
2. Проверить, является ли функция 
решением дифференциального уравнения 
.
Задания:
1. 
, 
, 
, 
;
2. 
, , 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
20.4. РГР № 4 «Нахождение законов распределения на основе опытных данных»
Теоретические вопросы:
– что называют выборкой?
– что называют вариационным рядом?
– как строятся дискретный и интервальный вариационные ряды?
– как строятся гистограмма и полигон? Каково их назначение?
– что называют эмпирической функцией распределения? Какова ее связь с функцией распределения изучаемой случайной величины?
– что называют точечной оценкой параметра?
– какая оценка называется состоятельной, несмещенной, асимптотически несмещенной?
– назовите оценки для математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии и экцесса. Обладают ли эти оценки свойствами состоятельности и несмещенности?
– поясните смысл коэффициентов асимметрии и эксцесса.
– что называют доверительным интервалом? Что называют надежностью, уровнем значимости, точностью оценки?
Задания:
1. По результатам наблюдений над случайной величиной 
требуется:
– построить интервальный и дискретный вариационные ряды;
– построить полигон или гистограмму, в зависимости от того, дискретна или непрерывна изучаемая случайная величина;
– найти эмпирическую функцию и построить ее график;
– найти точные оценки параметров закона распределения случайной величины;
– с помощью выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса определить, существуют ли основание для гипотезы о нормальности распределения;
– сделать предварительный выбор закона распределения, используя точечные оценки параметров, записать плотность вероятности и функцию распределения;
– в случае нормальности распределения построить доверительные интервалы с надежностью 0,95:
а) для математического ожидания, считая известным, равным 
;
б) для математического ожидания, считая дисперсию неизвестной;
в) для среднего квадратического отклонения;
– проверить с помощью критерия согласия 
, согласуется ли гипотеза о виде закона распределения с опытными данными, уровень значимости 
;
– для непрерывной случайной величины построить график функции плотности вероятности и сравнить его с гистограммой, для дискретной случайной величины построить многоугольник распределения и сравнить его с полигоном.
21. Примеры контрольных работ
21.1. КР №1 «Линейная алгебра»
1. Вычислить определитель разложением по строке или столбцу
.
2. Решить систему линейных уравнений матричным способом
3. Найти ранг матрицы
.
4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
.
21.2. КР №2 «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»
1. Даны координаты вершин пирамиды 
, 
, 
, 
.
Найти:
1.1. длину ребра 
;
1.2. угол между ребрами и 
;
1.3. площадь грани 
;
1.4. объем пирамиды,
, 
, 
, 
2. Сила 
приложена к точке 
. Определить момент 
этой силы относительно точки 
. Показать на чертеже.
, 
, 
.
3. Найти координаты проекции точки на плоскость
, 
.
4. Даны точки 
, , и прямая 
. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно 
. Определить угол между и прямой .
, , , 
21.3. КР №3 «Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
