Философские проблемы математики (стр. 14 )

Гильберт, горячо поддерживавший Международный конгресс математиков, произнес на

его втором съезде в 1900 году знаменитую программную речь, в которой наметил ряд

нерешенных проблем для будущих поколений математиков. «Наука полна жизни, когда

она в изобилии предлагает нам нерешенные вопросы, — сказал он. — Отсутствие

вопросов есть признак смерти». Пятью годами позже лидер группы «Бурбаки» Андре

Вейль [Weil] высказал аналогичные мысли по поводу развития математической науки:

Антуан Лоран Лавуазье

«…Существует совсем немного проблем, тесным образом не соотнесенных с другими,

которые, на первый взгляд, кажутся далекими от них. Когда какая-то область

математики начинает интересовать только специалистов, она очень близка к смерти

или, во всяком случае, находится в опасной близости к параличу, от которого ее

может спасти только подключение к живительному источнику науки».

Взгляд на математику как на продолжающую развиваться систему, элементы которой

тесно взаимосвязаны между собой, побуждал математиков подчинить себя коллективу.

Коллективистский подход в математике XX века предопределен структурно.

Математикам, стремящимся удовлетворить свои научные амбиции, поневоле приходится

становиться альтруистами. В силу роста математического сообщества и развития

многочисленных специальных областей независимым математикам становится очень

трудно (если вообще возможно) в одиночку добиться признания своих публикаций.

Чтобы выжить в новых обстоятельствах, ученый уже не может полагаться только на

себя самого при решении всего комплекса стоящих перед ним математических проблем,

как это было во времена Кардано. Невозможно уже и, подобно Лейбницу, разработать

интеллектуальную программу, способную доминировать в математическом мире.

Невозможно также, подобно Коши, лично править математическим миром, опираясь на

собственную фанатичную преданность работе и тотальный контроль над издательской

системой. В XX веке честолюбивый математик должен давать результаты, применимые

во многих разнообразных отраслях математики. Предмет его исследований должен

быть системообразующим на высоком уровне абстракции.

Несмотря на произошедшие структурные изменения, стимулом математического

новаторства продолжает оставаться и дух соревнования. Но только сегодня

агрессивное, соревновательное поведение ученых скрыто за коллективными,

организационными формами. Успешный строитель империи больше не может создавать

личную империю. Он должен действовать политически и создавать организации. В

нынешней ситуации к успеху ведут исключительная вежливость, признание чужих

заслуг, вовлечение в работу коллег и коллективное, организационное сознание. Мы

не хотим сказать, что коллективизм и альтруизм в современном мире не знают

пределов. Адепты одной научной школы могут признавать и поощрять заслуги ученых,

принадлежащих к этой же школе, и жестко критиковать представителей конкурирующих

школ. Это особенно верно в отношении антагонистических школ, таких как

интуитивизм Брауэра [Brouwer], выросший из противостояния систематизаторам[11].

Однако даже анти-системные движения становятся в современной ситуации

конкурирующими системами.

Эра строителей систем поощряет идеалы альтруизма, само-отвержения, преданности

коллективным целям, ориентацию на вечные ценности или, используя выражение

Гильберта и Вейля, деятельность «во славу человеческого духа». Мертонианский

образ науки основан на идеалах XX века. Под этими идеалами покоится структура

коллективного соревнования, внутри которой честолюбивые индивидуумы могут

преуспеть только в качестве бескорыстных представителей научной группы — коротко

говоря, «святых» интеллектуалов-политиков.

Заключение

В рассмотренных нами примерах отразились не только личностные особенности

отдельных людей. Личность частично формируется условиями работы и отражает их:

серьезные интеллектуалы вкладывают в свою работу долю себя, свое время и энергию.

Описанные нами случаи не являются и банальным копанием в чужом «грязном белье»,

или побочным продуктом интеллектуальной жизни. Общее решение кубических

уравнений было эпохальным событием. Впервые в истории европейские ученые

разрешили задачу, с которой не в состоянии были справиться древние греки. В этом

смысле можно утверждать, что «Ars Magna» Кардано стала отправной точкой научной

революции. Она также зачинает эру новых алгоритмов в решении задач и открывает

дорогу ко все более и более высоким уровням абстракции. Лейбниц и Ньютон

занимались развитием базисных методов математического анализа. Они открыли

математикам новые горизонты и заложили основы практически всей математики XVIII

века. Коши, Абель и Галуа разрабатывали теорию множеств и ввели в употребление

новые абстрактные методы и строгие доказательства — ключ к великим достижениям

высшей математики XIX века. Обращение Кантора к бесконечно малым ознаменовало

начало периода, в который проблемы оснований стали центральными в математической

работе. Гильберт, Рассел и Бурбаки были величайшими систематизаторами за все

время существования математики начиная с Эвклида и, так же как и их оппоненты

Брауэр и Гедель, создали величайшие школы математики XX века.

Упомянутые конфликты не сводимы также к проблеме параллельных открытий и

вопросам первенства. Если этот мотив и присутствует в случае Ньютона — Лейбница,

то в других случаях мы сталкиваемся также с проблемами нарушения тайны (Кардано

— Тарталья), притеснения конкурирующих идей (Коши – Пуассон – Абель — Галуа),

полного присвоения чужих идей (де Лопиталь, Грегори, Бернулли),

националистической пристрастности (последствия конфликта Ньютона — Лейбница) и

борьбы за контроль над университетскими позициями, журналами и научными

обществами (Кантор — Кронекер). Для объяснения этих эпизодов истории науки не

годится ни мертонианская, ни куновская модель. Ни в одном из этих случаев мы не

встречаемся с переменами в математике, обусловленными борьбой между адептами и

критиками существующих парадигм. Источник изменений — всегда соперничество

новаторов. Более того, основная тенденция, длительное время существующая в

западной математике, развивается не в сторону единичных, доминантных парадигм,

но скорее в сторону конкуренции школ, которые по-своему решают фундаментальные

вопросы о методиках и математическом познании. Если математика — самая «взрослая»

из наук, то в период своей «зрелости» она движется к наибольшему, чем когда-либо

в истории парадигматическому плюрализму. Поэтому она сблизилась с социальными

науками или другими отчетливо «до-парадигматическими» полями гораздо сильнее,

чем это допускает образ науки, предложенный Куном.

Рассмотренные нами скандалы и конфликты и сопутствовавший им интеллектуальный

прогресс следует анализировать в свете изменения организационных форм, стоящих

за этими конфликтами. Ссора Кардано — Тарталья знаменует начало падения

патриархальной организации интеллектуальной собственности и системы состязаний

между математиками: засекреченность общих методов и публикация отдельных задач и

решений уступали место интеллектуальному состязанию вокруг более абстрактных

идей. Конфликт Ньютона — Лейбница вскрывает переход от традиционных форм

патронажа к более стабильному правительственному патронажу, осуществляемому

через академии, и связанный с этим переход от неофициальной коммуникационной

сети, формировавшейся вокруг «центров» обмена научными посланиями, к более «безличной»

арене научных журналов. Скандал с Абелем и Галуа во Французской академии, в свою

очередь, указывает на закат института централизованного патронажа и на подъем

университетов, ориентированных на исследовательскую деятельность. Споры Кантора

— Кронекера происходили в эпоху, когда относительно малая элитарная

университетская сеть преобразовывалась в математическое сообщество в мировом

масштабе.

В каждом случае амбиции интеллектуалов, преследовавших собственные интересы,

такие как слава и богатство, выигрывали от использования организационных

ресурсов, предлагавшихся новой ситуацией. Появление «праведных» ученых-политиков

является одним из источников развития тех идеалов, которые Мертон ошибочно

рассматривает как универсальные нормы науки. Однако даже в XX веке соревнование

ученых, преследующих личный интерес, продолжает оставаться источником

интеллектуального прогресса. Структурные условия лишь вынуждают ученых

изыскивать коллективные, а не индивидуалистические формы интеллектуальной борьбы.

Подобно экономическим «пиратам», интеллектуальные «пираты» не столько исчезли

вовсе, сколько поменяли «окраску». Вульгарное пиратское поведение сошло на нет в

той мере, в какой интеллектуальное сообщество достигло плюрализма. Коллективные

формы научной деятельности до определенной степени маскируют это поведение. «Праведные»

ученые-политики — это цивилизованные «пираты».

Эра «праведных политиков» не лишена своих скандалов. Крупнейшие скандалы

последнего времени произошли не в математике, а в биомедицинских науках. Одни

разгорелись вокруг фабрикации экспериментальных данных, другие — вокруг

воровства идей из работ, отданных на рецензию в научный журнал. Пользуясь

большим числом публикаций, некоторые ученые стали издавать чужие исследования

под другим названием. Учитывая, что степень фрагментации и специализации в

математике крайне высока и что количество читателей той или иной математической

статьи весьма ограниченно, можно предположить, что подобные случаи происходят и

в математике: фрагментация этой науки так велика, что этого просто никто не

замечает. Однако интеллектуальный прогресс в науке не может остаться

незамеченным. Отсутствие крупных скандалов или острых конфликтов позволяет

предположить, что ныне математическое сообщество не переживает серьезных

организационных перемен. По крайней мере, перемен, затрагивающих основания

организационной системы этой науки.

Математика и другие науки совсем не обязательно проходят все описанные нами

организационные стадии. Математические поединки в Ренессансной Италии, академии

XVII и XVIII веков, реформы в германских университетах начала XIX века — все это

имело особые исторические причины, накладывавшие свой отпечаток на

интеллектуальную жизнь. Другая констелляция условий могла привести к иным

последствиям. Несмотря на то, что засекреченность методов решения задач

характерна для математики в относительно ранние периоды ее развития в разных

культурах, а также на то, что со временем эта засекреченность уступила место

открытому соревнованию, нет оснований считать, что секретность не станет «нормой»

в будущем. В наше время на такую возможность намекает нам стремление многих

правительств превратить релевантные для криптографии математические достижения в

«информацию с грифом секретности».

Организационную структуру математики может изменить также природа и доступность

организационных и материальных ресурсов. Если математики будут становиться все

более зависимыми от военного финансирования или дорогостоящих компьютеров, они

могут стать свидетелями именно такой организационной перестройки. Согласно

предположению Поля ди Маджо [DiMaggio], старая патриархальная организация

интеллектуальной собственности вполне может обрести новую жизнь, если большая

часть математиков будет работать в коммерческих лабораториях, где открытия

считаются скорее собственностью компании, чем индивидуальной собственностью.

Нельзя ожидать, что организационное развитие науки пойдет по пути простой

линейной эволюции. Более того, мы полагаем, что развитие математического знания,

которое коренится в организационных формах науки, следует этим формам, а не

является отражением простой линейной эволюции, наделенной некой «внутренней

логикой».

Задача социологической теории науки состоит в том, чтобы вывести общие

закономерности из анализа единичных происшествий, подобных рассмотренным выше.

Ни теория Мертона, ни теория Куна не могут предсказать изменений в

интеллектуальной сфере. Куновская модель предполагает только, что доминирующие

парадигмы в конце концов разрушаются вследствие накопления эмпирических аномалий.

Модель Мертона выглядит еще более слабой, потому что она описывает статичный

набор норм и не учитывает переменные предпосылки, которые могут оказать влияние

на продуктивность интеллектуальных процессов. Единственная модель, которая, как

нам кажется, согласуется с нашими данными, — это модель теоретических групп,

предложенная Гриффитом и Маллинзом [Griffith and Mullins, 1972; 1973].

Основателем такой теоретической группы был Лейбниц, являвшийся как

интеллектуальным, так и организационным лидером. Бернулли и де Лопиталь

обеспечили организацию центров теоретической подготовки в Базеле и Париже и

стандартный текст. Все это создает, по выражению Гриффита и Маллинза, «сетевую

стадию». Атаки англичан на школу Лейбница и контратаки лейбницианцев вкупе с

нарастающим догматизмом периода годов хорошо укладываются в

описываемую этой моделью «стадию объединений». Хронологические рамки этих стадий

приблизительно согласуются с данными Маллинза для теоретических групп в

социальной науке XX века и других областях. Предлагаемая Гриффитом и Маллинзом

модель могла бы быть интегрирована в более общую картину научных инноваций, если

бы включала также структуру соперничающих теоретических групп и длинной

последовательности стадий, через которые они проходят.

Интенсивность научного творчества наиболее высока в период наиболее серьезных

прорывов к новым организационным формам, структурирующим научную деятельность и

коммуникацию. Организационные прорывы оказываются также главной причиной научных

скандалов, из чего следует, что в эпоху, свободную от научных скандалов,

снижается и вероятность интеллектуальных прорывов. Влияние различных видов

научного соревнования и частных институциональных учреждений на содержание

интеллектуального творчества еще предстоит яснее определить, уточнить и

формализовать в ходе дальнейшего анализа. Такая теория могла бы быть приложима

не только к математике, но и, в соответствующей модификации, ко всем

теоретическим наукам.

Библиография

Ball, W. W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics. [1908] New York: Dover, 1960.

Barber, Bernard. Science and the Social Order. New York: Free Press, 1952

Barkill J. C. ”Hardy, G. G.” In Dictionary of Scientific Biography, 6: 113-114. New York: Scribners, 1972.

Barnes, B. T. S. Kuhn and Social Science. London: Macmillan, 1982.

Bell, E. T. Men of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1937.

Ben-David, J. The Scientist's Role in Society. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1971.

Bloor, D. Knowledge and Social Imagery. London: Routledge and Kegan Paul, 1976.

Boas, R. P., Jr. “Bourbaki.” In Dictionary of Scientific Biography. 2: 351-352. New York: Scribners', 1970.

Bos, HJ. M. and H. Mehrtens “The interaction of mathematics and society in history: some explanatory remarks.” Historia Mathematica 4: 7-30, 1977.

Bourbaki, N. “The architecture of mathematics.” In Great Currents in Mathematical Thought, Vol. 1, pp. 23-36. [1947] New York: Dover, 1971.

Broad, C. D. Leibniz. New York: Cambridge University Press, 1975.

Broad, W. and N. Wade Betrayers of the Truth. New York: Simon and Schuster, 1983.

Cajori, F. A History of Mathematical Notation. [1928] LaSalle, Illinois: Open Court, 1962.

Cajori, F. A History of Mathematics. Second edition. [1919] New York: Macmillan, 1974.

Cardan, J. The Book of My Life. [ 1570] New York: Dover, 1962.

Clark, T. N. Prophets and Patrons: The French University and the Emergence of the Social Sciences. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1973.

Cohen, I. B. “Newton.” In Dictionary of Scientific Biography. 10: 42-103. New York: Scribners', 1974.

Cole, S. and J. Cole. Social Stratification in Science. Chicago: University of Chicago Press, 1973.

Collins, R. Conflict Sociology. New York: Academic Press, 1975.

Collins, R. “Crises and declines in credential systems.” In Sociology Since Midcentury, by R. Collins, pp. 191-215. New York: Academic Press, 1981.

Costabel, P. “Poisson,” in Dictionary of Scientific Biography, supplement. 15:480-491. New York: Scribners', 1978.

Dauben, J. W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1979.

Freudenthal, H. “Cauchy.” In Dictionary of Scientific Biography. 3: 131-148. New York: Scribners', 1971.

Freudenthal, H. “Hilbert.” In Dictionary of Scientific Biography. 6: 388-395. New York: Scribners', 1972.

Gliozzi, M, “Cardano.” In Dictionary of Scientific Biography. 3: 64-67. New York: Scribners', 1971.

Grabinger, J. The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus. Cambridge, Mass.: The MIT Press, 1981.

Griffith, B. C. and N. C. Mullins. “Coherent social groups in scientific change.” Science 77:959-964, 1972.

Guerlac, H. “Lavoisier.” In Dictionary of Scientific Biography. 8: 66-91. New York: Scribners', 1973.

Hagstrom, W. O. ”Anomie in scientific communities.” Social Problems: 186-195.

Hagstrom, W. O. The Scientific Community. New York: Basic Books, 1965.

Hall, A. R. Philosophers at War: The Quarrel between Newton and Leibniz. New York: Cambridge University Press, 1980.

Hargens, L. Patterns of Scientific Research: A Comparative Analysis of Research in Three Fields. Washington, D. C.: American Sociological Association, 1975.

Hofmann, J. E. Leibniz in Paris: 1671-76. Cambridge: Cambridge University Press, 1972.

Hofmann, J. E. “Leibniz.” In Dictionary of Scientific Biography. 8: 149-168. New York: Scribners', 1973.

Hooper, A. Makers of Mathematics. New York: Random House, 1948.

Jayawardine, S. A. “Ferrari.” In Dictionary of Scientific Biography. 4: 586-588. New York: Scribners', 1971.

Kramer, E. E. The Nature and Growth of Modern Mathematics. Volume 2. New York: Fawcett, 1970.

Kuhn, T. S. The Structure of Scientific Revolutions. Chicago: University of Chicago Press, 1962.

Kuhn, T. S. “Postscript.” In The Structure of Scientific Revolutions, by T. S. Kuhn, second edition, pp. 174-210. Chicago: University of Chicago Press, 1970.

MacKenzie, D. Statistics in Britain, . Edinburgh: University of Edinburgh Press, 1981.

Masotti, A. “Ferro.” In Dictionary of Scientific Biography. 4: 595-596. New York: Scribners', 1971.

Masotti, A. “Tartaglia.” in Dictionary of Scientific Biography. 8: 258-262. New York: Scribners', 1976.

Merchant, C. The Death of Nature. New York: Harper and Row, 1980.

Merton, R. K. Social Theory and Social Structure. New York: Free Press, 1957.

Merton, R. K. The Sociology of Science. Chicago: University of Chicago Press, 1973.

“An episodic memoir.” In The Sociology of Science in Europe, edited by R. K. Merton and J. Gaston, pp. 3-141. Carbondale, Illinois: Southern Illinois University Press, 1977.

Mullins, N. Theories and Theory Groups in American Sociology. New York: Harper and Row, 1972.

Ore, O. “Abel.” In Dictionary of Scientific Biography. 1: 12-17. New York: Scribners', 1970.

Parpart, U. “The concept of the transfmite.” The Campaigner 9: 6-66, 1976.

Parsons, T. The Social System. New York: Free Press, 1949.

Price, D. Science since Babylon. Enlarged edition. New Haven: Yale University Press, 1975.

Ravetz, J. and I. Gratten-Guiness. “Fourier.” In Dictionary of Scientific Biography. 5: 93-99. New York: Scribners', 1972.

Reid, C. Hilbert. New York: Springer-Verlag, 1970.

Restivo. S. “Mathematics and the limits of the sociology of knowledge.” Social Science Information 20: 679-701, 198la.

Restivo. S. “A materialist account of mathematics in ancient Greece and pre-modern Europe.” Draft manuscript, 1981b.

Restivo. S. “Mathematics and the sociology of knowledge.” Knowledge 4: 127-144, 1982.

Restivo. S. “The myth of the Kuhnian revolution in the sociology of science.” In Sociological Theory, vol. 1, pp. 293-305. San Francisco: Jossey-Bass, 1983.

Russell, B. The Principles of Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 1903.

Russell, B. “Introduction to the second edition.” in The Principles of Mathematics, by *****ssell, pp. v-xiv, second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 138.

Shapin, S. “Licking Leibniz.” History of Science. 19: 293-305, 1981.

Smith, D. E. History of Mathematics. Vol. 1. [1923] New York: Dover, 1958.

Stone, L. “The size and composition of the Oxford student body, .” In The University in Society, edited by L. Stone, pp. 3-110. Princeton: Princeton University Press, 1974.

Taton, R. “Galois.” In Dictionary of Scientific Biography. 5:259-265. New York: Scribners', 1972.

Thackray, A. “The business of experimental philosophy': the early Newtonian group at the Royal Society.” Actes du XJle congres international d'histoire des sciences, Paris IIIB: 155-159, 1970-71.

van Heijenoort, J., ed. From Frege to Godel: A Sourcebook in Mathematical Logic, . Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967.

Wavre, R. “The international congress of mathematics.” In Great Currents in Mathematical Thought, vol. 1, edited by F. LeLionnais, pp. 312-320. New York: Dover, 1971.

Weil. A. “The future of mathematics.” In Great Currents in Mathematical Thought, vol. 1, edited by F. LeLionnais, pp. 321-336. New York: Dover, 1971.

Westfall, R. S., “Newton's marvelous years of discovery and their aftermath.” Isis 71: 109-121, 1980.

Westfall, R. S. Never at Rest: A Biography of Isaac Newton. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.

Whitehead, A. N., and *****ssell. Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press, 1910.

Whitehead, A. N., and *****ssell. Principia Mathematica. Second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1927.

* Randall Collins and Sal Restivo, “Robber Barons and Politicians in Mathematics:

A Conflict Model of Science,” The Canadian Journal of Sociology 8 (1983): 199-227.

[1] Эти взгляды Куна подробно проанализированы Рестиво (Restivo, 1983). Рестиво

опровергает точку зрения, защищаемую Барнсом (Barnes, 1982), будто бы Кун внес «фундаментальный

вклад в социологию знания», а его книга является важнейшей отправной точкой для

социолога науки.

[2] Мы хотели бы подчеркнуть, что в этой статье наше внимание прежде всего

обращено на скандалы и склоки, служившие водоразделами исторических периодов в

организации математики. Мы останавливаемся перед полной конструктивистской

интерпретацией математического знания из практических, а не исследовательских

соображений. Мы хотели бы отметить, что исследования и теория социальной истории

математической науки переживает в последние годы подъем (см. в частности: (Bloor,

1976); (Bos and Mehrtens, 1977); (MacKenzie, 1981). Введение в историографию,

обзор современных исследований и теорию социологии математики, а также

соотношения математики и социологии науки см. Рестиво (Restivo, 1981а; 1982).

[3] Например, задача, заданная Коллой Кардано в 1540 году: «Разделить 10 на 3

пропорциональные части так, чтобы произведение первой и второй было равно 6».

Задачи формулировались в словесной форме, алгебраические формулы тогда еще не

существовали. В современных терминах, если определить значение трех выражений,

решение принимает форму уравнения x4 + 6x2 + 36 = 60x.

[4] По иронии судьбы Сципион дель Ферро, наиболее вероятный первооткрыватель (хотя

он мог почерпнуть решение в каком-то неизвестном источнике), совсем не

пользовался посмертной славой, хотя Кардано прямо сослался на него в «Ars Magna».

Скорее всего цель Кардано заключалась в том, чтобы подорвать авторитет Тартальи

— своего главного соперника. На самом деле это можно сформулировать в виде

общего правила: интеллектуалы обычно склонны предоставлять первенство третьей

стороне, чтобы оспорить претензии близкого и современного соперника. В своей

исповедальной автобиографии, опубликованной через двадцать пять лет, Кардано (Cardan,

1962: 225-226) говорит, что получил первую часть «Ars magnum» от Тартальи, и ни

словом не упоминает вклад Ферро или Феррари.

[5] Главной целью Кардано было укрепление собственной репутации, и математика

значила для него гораздо меньше, чем успех в медицине, азартных играх и

астрономии. В автобиографии, написанной в 1570 году (Cardano, 1962), он

утверждает, что получил за свою жизнь более похвал, чем Аристотель или Гален, и

выказывает полное презрение к интеллектуальным способностям тех (например,

Тартальи), кого он считал своими врагами. По современным понятиям это

поразительно самовлюбленная позиция.

[6] См. Thackray, .

[7] Мы не можем здесь углубляться в рассмотрение связей между математикой,

теологией, экономикой, политикой и социальными вопросами, затронутыми в этом

абзаце. Проницательные замечания относительно этих связей см., например, у

Мерчанта (Merchant, 1980: 275 и след.) и Рестиво (Restivo, 1981b). Следует

отметить, что утверждение, будто Ньютон и Лейбниц «изобрели» исчисление,

нуждается в двух уточнениях. Во-первых, что более очевидно, их труды

основывались на столетиях работы и шли параллельно трудам многих их

современников (например, Барроу) и были продолжены последующими трудами, что

гораздо правильнее рассматривать как развитие математической идеи или системы,

нежели как статическое понятие, которое может быть открыто или изобретено «раз и

навсегда» в определенной точке исторического и культурного времени и

пространства. Во-вторых, и это гораздо более существенно, не существовало

никакого единого исчисления. Системы Ньютона и Лейбница опирались на различную

философию природы и диаметрально различные представления о мире (см.: Hall, 1980;

Shapin, 1981).

[8] У этой работы было два референта. Второй, Лежандр, очевидно, не видал ее до

того как Коши потерял рукопись. Из письма немецкого математика Якоби (Jacobi) он

узнал о существовании работы и взял на себя инициативу посмертного признания

заслуг Абеля (Ore, 1970: 12-17). Тот факт, что Лежандр и Коши совместно сделали

официальное предложение присудить премию Абелю в 1829 году некоторые историки

толкуют как свидетельство добросовестности Коши (Freudenthal, 1971: 134), однако

очевидно, что Коши дейстововал под давлением, когда с таким запозданием исправил

свою ошибку.

[9] Грабинжер (Grabinger, 1981) считает Лагранжа ключевой переходной фигурой,

отделяющей эру Ньютона (Newton), Маклорена (Maclaurin), Эйлера и Д’Аламбера (d’Alembert)

от эры Коши, Абеля, Больцано (Bolzano), Вейерштрасса (Weierstrass) и Дедекинда (Dedekind).

Хотя риторика Грабинжер относительно революционных перемен затемняет важные

постоянно сохраняющиеся элементы, ее выводы относительно взаимоотношения

обучения и высоты критериев заслуживают внимания и совпадают с нашими

наблюдениями.

[10] Кантор обвинил Дюбуа-Реймона в том, что тот использует теорию бесконечно

малых величин «для насыщения своего непомерного честолюбия и тщеславия». Кантор

рассматривал математическую проблему не как бескорыстный поиск истины, но как «вопрос

власти, а такого рода вопросы никогда не решаются путем убеждения, вопрос

заключается в том, чьи идеи более сильны, всеобъемлющи и плодотворны, Кронекера

или мои; только успех со временем разрешит наш спор» (Parpart, 1976: 56).

[11] Программа интуитивистов требовала отбросить значительные разделы математики,

которые представлялось невозможным обосновать. Лидер группы «Бурбаки» выразил

презрение к позиции интуитивистов: «Только немногие отсталые сознания могут все

еще защищать точку зрения, будто математики должны по-прежнему полагаться на

свою “интуицию” в качестве нового, внелогического, или “дологического” элемента

доказательства. Если некоторые области математики еще не получили своей

аксиоматики, то <…> только потому, что на это недостало времени» (Weil, 1971:

324; Bourbaki, 1971: 29).

Вопрос о революциях в истории математики

(Зарубежные исследования по философским проблемам математики 90-х гг.
Научно-аналитический обзор. М.: ИНИОН, 1995. С.

Тема научных революций (HP) обсуждается в философии матемaатики недавно, всего

лет двадцать. Она пришла в философию математики из постпозитивистской философии

науки и еще не вполне завоевала себе права гражданства (23). Сборник "Революции в

математике (25) складывался, как рассказывает его издатель Дональд Джиллис (преподаватель

истории и философии науки в Королевском коллежде, Лондон, Великобритания), в

результате многочисленных дискуссий и был продиктован желанием их участников

разобраться в том, как выглядит в свете современного состояния истории и

философии математики начатая 20 лет тому назад полемика о наличии HP в истории

математики.

В 1975 г. Майкл Кроу (Университет Нотр-Дам, Нотр-Дам, США) выступил со статьей (ее

перепечаткой открывается данный сборник, см. (2)), в которой сформулировал 10 "законов"

развития математики. Ими утверждается, что новые математические понятия зачастую

возникают не в результате, но вопреки настойчивым усилиям их создателей, всеми

силами пытавшимися избежать введения этих новых понятий. Новые понятия часто

встречаются поначалу с упорным сопротивлением и признаются математическим

сообществом только по истечению значительного времени. Математические теории

достигают требующейся логической строгости лишь с течением времени, иногда

длительного, но никак не сразу. Математики сохраняют некоторые понятия

вследствие их удобства, даже если это не отвечает требованиям логики,

Математические теории имеют свою метафизику. Признание сообществом нового

математического понятия зависит от научной репутации его создателя. Математики

владеют обширным запасом технических средств, позволяющих им избавляться от

противоречий и затруднений в своих теориях. На основе всех предыдущих "законов"

Кроу формулирует десятый "закон", гласящий, что "в математике не бывает

революций" (2 ,с.19): т. е. в ней не случается отбрасывания принятых понятий и

теорий. Развитие математики чисто кумулятивно, утверждает Кроу, не тратя,

впрочем, много времени и усилий на обоснование этого "закона", ибо он представлялся

ему очевидным.

В 1976 г. появилась статья Герберта Мертенса (19), в которой обсуждалась

применимость куновской модели развития науки к истории математики. При этом

Мертенс считал методологически очень полезными понятия "аномалия* и "научное

сообщество", но сдержанно отнесся к применимости понятий HP и "кризиса парадигмы".

В написанном в 1992 г, для сборника (25) добавлении (20) Мертенс отмечает, что

понятие "революция** имеет столь сильные политические ассоциации, что в

применении к науке может выглядеть только как метафора. Но в этом последнем

качестве она вполне может использоваться в реконструкциях истории математики,

она будет указывать на смену доминирующих традиций. Эта смена может и не

выглядеть такой уж "революционной", если историк сконцентрировался исключительно

на "внутренних» фактах истории науки. Дело в том, что в представление о

революциях в истории математики заложена идея связи математики с обществом,

культурой, экономикой, естественными науками, технологией и т. п.

Сам термин "революция" является, конечно, ценностно-нагруженным. Описать событие

как революцию - значит выделить и подчеркнуть определенные его аспекты, прежде

всего структуры власти, до и после исследуемого события. При этом подходе термин

"научная революция" оказывается близок к используемому Г, Башляром и М. Фуко

понятию эпистемологического разрыва. Такой "разрыв* может не иметь точной даты

или временных рамок. Так, например, неевклидова геометрия была создана в 1830-х

гг., а признана в 1860-х., хотя противодействие ей продолжалось до начала XX в.

Препятствием на пути неевклидовой геометрии было убеждение, что геометрическая

теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности. Преодоление этого представления и может быть реконструировано как революция в истории математики.

Но как должна быть описана эта революция? Какой контекст требуется для ее

адекватной реконструкции? Должен ли он, например, включать историю модернизма в живописи с его экспериментами в области

изображения пространства? Или это несущественно, а существенна, скажем, история

алгебры? Тут, отвечает Мертенс, не может быть единственного определенного ответа.

"Интерпретации обусловлены не историей, а историком, и зависят от их решения

писать о том-то, для такой-то аудитории и с такой-то целью" (20, с.44). В

частности, может быть написана хорошая история "революции в геометрии XIX в.",

оставляющая в стороне и алгебру, и философию, и искусство. Лишь бы историк науки

отдавал себе отчет в том, что такой характер его работы обусловлен его личным

выбором, а не сущностью геометрии самой по себе; историк науки должен понимать

также, что выбор аспекта рассмотрения и материала к теме в значительной мере

предопределяет получающиеся выводы. Поэтому история науки, как заключает Мертенс,

есть и искусство, и наука.

Такое понимание характера историко-научных исследований само является, как

отмечает Мертенс, выражением "эпистемологического разрыва" с прежними способами

понимания науки и ее истории. Данный разрыв, переживаемый историографией науки,

неотделим от эпистемологического разрыва, произошедшего в самой науке. Например,

историография математики может описывать как "эпистемологическое препятствие"

идею единственной истинной геометрии или представление о математической теории

как истинном описании какой-то реальности только потому, что в самой математике

произошел эпистемологический разрыв с подобными представлениями. Историк науки,

таким образом, зависит от современных способов рефлексии математиков над своей

практикой. Требуется, чтобы он осознавал и учитывал эту зависимость: "Ведь мы-то

находимся по эту сторону эпистемологического разрыва, утвердившего неевклидову

геометрию как законную и важную часть математики. Мы не можем вернуться в

состояние неведения" (20, с.44).

Прежде чем спорить о том, имеются ли в математике HP, говорит Мертенс, следует

определиться в понимании того, что значит "в математике"? Что находится в математике, а что является лишь "внешним

фактором"? Предлагая собственный ответ, Мертенс недвусмысленно демонстрирует

зависимость от современного способа рефлексии математиков, сложившегося в

результате споров вокруг неевклидовых геометрий. Одним из классических выражений

этой рефлексии было утверждение Д. Гильберта, что в математике истина и

существование эквивалентны непротиворечивости, Мертенс ссылается на "семиотическую"