Философские проблемы математики (стр. 5 )

Итак, математик имеет дело с символами или знаками-пиктограммами. Суть математики состоит в том, что математик строит правила действия с числами, другими символами, чертежами, т. е. работает в рамках того или иного конструктора, который он сам и создает.

Важным фактором развития математики было осознание математиками того обстоятельства, что математика нуждается в алгоритмах, или правилах (т. е. в конструкторах), а не только в нахождении тех или иных зависимостей. Я имею ввиду, например, факты из истории становления интегрального исчисления, когда Архимед, Кеплер и ряд других математиков стремились найти площади криволинейных фигур, тогда как исчисление было создано, когда осознали, что нужно искать (строить) метод нахождения площадей, максимумов и минимумов, а не только сами максимумы и минимумы. Первый шаг в этом направлении сделал сам Архимед, который понял, что он получил два результата – нашел площадь (объем) криволинейных фигур и – решил эти задачи новым методом, которым, как он провидчески предвидел, возможно, впоследствии можно будет пользоваться и для решения других задач: «Он [этот метод] может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову» (Архимед 1962 С. 299).

Однако когда Лейбниц ввел определение дифференциала, предложил для него обозначение и сообщил без доказательства правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и степени, его работа долго оставалась непонятой. Это тем более удивительно, что правила не были чем-то новым в математике, ими более или менее осознанно пользовались все те, кто занимался тогда проблемами касательных, максимумов и минимумов и т. д. (Медведев 1974 С. 112). Причина этого непонимания была в том, что сформулированные правила были «выставлены Лейбницем в качестве общего исходного пункта для всех инфинитезимальных исследований, … что связь их с символикой делает их основой исчисления, с помощью которого можно производить разнообразные инфинитезимальные исследования таким же образом, как исследования анализа конечной величины с помощью буквенного исчисления» (Цейтен 1933 С. 409). Здесь очень важно обратить внимание на следующее – новаторство Лейбница состоит не в том, что он предложил новые правила, а – в другом осознании этих правил. Правила были не столько средством нахождения определенных геометрических величин (максимумов, минимумов, касательных), сколько самостоятельным результатом, основой исчисления, с помощью которого можно было производить «разнообразные инфинитезимальные исследования», а не только те, которые привели к этим правилам. Осуществление этого рефлексивного преобразования и делает Лейбница одним из авторов дифференциального и интегрального исчисления.

Использование математики при решении задач механики, физики сделало их точными науками и привлекательным образцом для подражания. Во второй половине ХХ века много пишут о математической лингвистике, математической экономике и других подобных дисциплинах, где надеялись средствами математики решить их основные проблемы. Однако надежный способ математизации (или математического моделирования) имеет место только в том случае, когда есть некоторый инверсивный (двойственный) объект, с одной стороны, фиксирующий важные свойства реальности, а, с другой, представляющий собой задачу, которая может быть решена математически. Такова, например, задача фанерного треста о таком раскрое листа фанеры, чтобы отходы были минимальными. В 1938 году консультировал фанерный трест по проблеме эффективного использования лущильных станков. Он понял, что дело сводится к задаче максимизации линейной формы многих переменных при наличии большого числа ограничений в форме линейных равенств и неравенств. Он модифицировал метод разрешающих множителей Лагранжа для её решения и понял, что к такого рода задачам сводится колоссальное количество проблем экономики. В 1939 г. Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства», в которой описал задачи экономики, поддающиеся открытому им математическому методу, и тем самым заложил основы линейного программирования. Формирование новой математической дисциплины в этом случае есть не что иное, как становление нового конструктора в математике, в рамках которого решается класс экстремальных задач с ограничениями. Лист фанеры, который надо раскроить оптимально, – это инверсивный объект: с одной стороны, здесь описывается содержательная практическая задача, с другой – эта ситуация способствует постановке новой математической задачи – максимизации линейной формы многих переменных при наличии большого числа ограничений.

Еще пример успешного математического моделирования – решение Эйлером (1736 г.) задачи о Кенигсбергских мостах. Получив решение, Эйлер поставил вопрос, почему такую задачу «обыденной жизни» решает математик, ибо никаких собственно математических действий он, по его словам, не совершал. Однако в наши дни решение задачи о Кенигсбергских мостах считается первым шагом в новой области математики – теории графов. Термин «граф» появился у Денеша Кенига в 1936 году. Перечисляя задачи, приведшие к формированию теории графов, обычно называют кроме задачи о мостах, задачу о четырех красках, задачу коммивояжера, открытие Кирхгофом законов течения электрического тока в разветвленных цепях и т. д. (Эйлеровы пути). Как оказалось, что эти совершенно разные практические задачи лежат в основании новой математической теории – теории графов? Рефлексия исследователей должна была осознать каждую из этих задач как одну и ту же задачу (как задачу на одном и том же объекте и что важно - новом для математики). Для этого, отвлекаясь от конкретного содержания задач, каждый случай представляли чертежом, на котором были нанесены точки и соединяющие их линии – ребра графа. Все практические задачи, названные выше – тоже инверсивные объекты: они и описывают содержательные ситуации, и позволяют представить их, эти ситуации как новый математический объект – граф и создать тем самым новый математический конструктор.

Таким образом, введение в структуру науки такой программы, как конструктор, позволяет отвечать на вопросы – как возникают объекты математики, откуда они берутся. Эти объекты не находятся в природе, как растения, животные, минералы, а конструируются тем или иным образом при осуществлении допустимых действий чертежами, алгебраической символикой и т. п. Конструирование как способ возникновения математических объектов может пролить некоторый свет на дискуссию о научных революциях в математике. Если науки о природе изучают явления и строят модели, объясняющие эти явления, то рано или поздно, как показал Кун, появляются аномальные факты, требующие отказа от одних объяснительных конструкций и замены их другими, более адекватно «отражающими» явления, т. е. происходят научные революции. В математике же не отказываются ни от каких объектов, ибо они конструируются «правильно», «без ошибок»; их конструированием руководят не стремления объяснить те или иные явления, а – руководит только возможность осуществления определенных операций – решения уравнений, геометрические построения и т. д. Иначе говоря, в математике не выполняется одно из условий, важных в модели научной революции Куна – отбрасывание неработающих моделей. В истории математики можно зафиксировать только, что какие-то объекты становятся менее употребительными, их просто не используют, но не отбрасывают. Именно потому, что объекты математики не берутся из природы, а конструируются учеными, оказалась возможна не только геометрия Евклида, но и две других – Лобачевского и Римана. Геометрия Лобачевского долго не принималась многими математиками как раз потому, что полагали, что математика ничем, по сути, не отличается от других наук, которые «отражают» природу, следовательно, наличие двух или более геометрий – это нонсенс. Приняли же неевклидову геометрию тогда, когда были найдены модели, где выполняется эта геометрия – например, псевдосфера (поверхность типа пионерского горна).

Конечно, возникают вопросы – как именно конструируются математические объекты, чем руководствуются ученые при их создании. Но это тема требует самостоятельного рассмотрения. Отметим только, что многие новые математические объекты возникают незапланированно. Таковы отрицательные и комплексные числа, появившиеся в процессе решения уравнений, неевклидова геометрия, которая была невольно построена в ходе попыток доказательства пятого постулата Евклида, группы в работах Галуа, которые возникли как средство решения задачи о том, при каких условиях разрешимы некоторые уравнения выше пятой степени в радикалах. Такие объекты далеко не сразу принимались математиками. Ибо в рамках «модели отражения» было не ясно, что именно отражают отрицательные числа, комплексные и т. д. Принятие этих объектов было обязано приданию им некоторых смыслов (отрицательное число обозначает долг и т. п.). Наряду с такими незапланированными объектами возникают и такие, где их конструктивная природа очевидна – пространства больших (и даже бесконечных) размерностей, уравнения n-ной степени и т. д.

3.3. Новации, традиции, революции в математике

Т. Кун: «Научные революции рассматривается здесь как такие некумулятивные эпизоды развития науки, во время которых старая парадигма замещается целиком или частично новой парадигмой, несовместимой со старой» (Кун 1977 С. 128). Эти слова Кун дополняет еще двумя признаками – 1) научные революции, как и политические, начинаются с роста сознания, что существующие институты перестали адекватно реагировать на проблемы, поставленные средой, которую они же отчасти создали. И в политическом и в научном развитии осознание нарушения функции, которое может привести к кризису, составляет предпосылку революции. 2) Подобно выбору между конкурирующими политическими институтами, выбор между конкурирующими парадигмами оказывается выбором между несовместимыми моделями жизни сообщества (Кун 1977 С. 130). Чтобы раскрыть, как происходят научные революции, Кун рассматривает не только влияние природы и логики, но и эффективность техники убеждения в соответствующей группе, которую образует сообщество ученых.

В разделе IX Кун показывает необходимость научных революций. Он подчеркивает, что есть только три типа явлений, которые может охватывать вновь созданная теория. Первый состоит из явлений, хорошо объяснимых уже с точки зрения существующих парадигм; такие явления редко требуют новой теории. Второй вид явлений представлен теми, природа которых указана существующими парадигмами, но их детали могут быть поняты только при дальнейшей разработке теории. Исследования ученого в таких случаях направлены на разработку существующей парадигмы, а не на создание новой. Только когда эти попытки в разработке парадигмы потерпят неудачу, ученые переходят к изучению третьего типа явлений, к осознанным аномалиям, характерной чертой которых является упорное сопротивление объяснению их существующими парадигмами (Кун 1977 С. 134). Только этот тип явлений и дает основание для возникновения новой теории. Парадигмы определяют для всех явлений, исключая аномалии, соответствующее место в теоретических построениях исследовательской области ученого. Различия между следующими друг за другом парадигмами необходимы и принципиальны. Следующие друг за другом парадигмы по-разному характеризуют элементы универсума и поведение этих элементов, их отличие касается таких вопросов, как существование внутриатомных частиц, материальность света, сохранение теплоты или энергии. Эти различия являются субстанциональными различиями между последовательными парадигмами, и они не требуют дальней иллюстрации. «Но парадигмы отличаются более, чем содержанием, они направлены не только на природу, но выражают также и особенности науки, которая создала их. Они являются источником методов, проблемных ситуаций и стандартов решения, принятых неким развитым научным сообществом в данное время. В результате восприятие новой парадигмы часто вынуждает к переопределению основ соответствующей науки. Некоторые старые проблемы могут быть переданы в ведение другой науки или объявлены совершенно «ненаучными». Другие проблемы, которые были прежде несущественными или тривиальными, могут с помощью новой парадигмы сами стать прототипами значительных научных достижений. И поскольку меняются проблемы, постольку обычно изменяется и стандарт, который отличает действительное научное решение от чисто метафизических спекуляций, игры слов или математических забав. Традиция нормальной науки, которая возникает после научной революции, не только несовместима, но часто фактически и несоизмерима с традицией, существовавшей до нее (Кун 1977 С. 141-142).

Функции парадигмы в науке разнообразны. Одна из них – парадигма выступает в качестве средства выражения и распространения научной теории. В этой функции ее роль состоит в том, чтобы сообщать ученому, какие сущности есть в природе, а какие отсутствуют, и указывать, в каких формах они проявляются. Информация такого рода позволяет составить план, детали которого освещаются зрелым научным исследованием. План для длительного развития науки так же существенен, как наблюдение и эксперимент. «Через теории, которые они воплощают, парадигмы выступают важнейшим моментом научной деятельности» (Кун 1977 С. 149).

Однако парадигмы дают не только план деятельности, но указывают и некоторые направления, существенные для реализации плана. «Осваивая парадигму, ученый овладевает сразу теорией, методами и стандартами, которые обычно самым теснейшим образом переплетаются между собой. Поэтому, когда парадигма изменяется, обычно происходят значительные изменения в критериях, определяющих правильность как выбора проблем, так и предлагаемых решений» (Там же). Итак, парадигмы существенны для науки. Рассмотрим их существенность для самой природы. Кун рассматривает революции как изменение взгляда на мир (раздел X). В период революций ученые видят новое и получают иные результаты даже в тех случаях, когда используют обычные инструменты в областях, которые они исследовали до этого. Это выглядит так, как если бы профессиональное сообщество было перенесено в один момент на другую планету, где многие объекты им незнакомы, да и знакомые объекты видны в ином свете. Конечно, в действительности нет никакого переселения в географическом смысле; вне стен лаборатории повседневная жизнь идет своим чередом.

Ученый после революции оказывается в новом мире. Кун поясняет это, обращаясь к феномену переключения зрительного гештальта в работах психологов – то, что казалось ученому уткой до революции, после революции оказывалось кроликом. В итоге мир исследования будет казаться ученому несовместимым с миром, в котором он «жил» до сих пор. Школы, исповедующие различные парадигмы, всегда действуют, таким образом, как бы наперекор друг другу (Кун 1977 С. 151).

Таким образом, накопление аномальных фактов приводит к необходимости следовать новой парадигме, т. е. к научной революции. Новая парадигма несоизмерима со старой, от которой научное сообщество отказывается.

Есть ли в математике научные революции?

Вопрос о том, имеют ли место научные революции в математике, важен как сам по себе, так и в силу того, что он заставляет уточнить представления о математике как науке и о философии математики. На западе в 1992 г. вышел сборник «Революции в математике» (Revolution in mathematics 1992). В этом сборнике была напечатана статья М. Кроу (написана в 1975 году), где автор сформулировал 10 законов «развития» математики, которые мы уже приводили.

Как видим, Кроу говорит, что новые математические понятия зачастую возникают не в результате, но вопреки настойчивым усилиям их создателей, всеми силами пытавшимися избежать введения этих новых понятий. Новые понятия часто встречаются поначалу с упорным сопротивлением и признаются математическим сообществом только по истечению значительного времени. Математические теории достигают требующейся логической строгости лишь с течением времени, иногда длительного, но никак не сразу. Математики сохраняют некоторые понятия вследствие их удобства, даже если это не отвечает требованиям логики, Математические теории имеют свою метафизику. Признание сообществом нового математического понятия зависит от научной репутации его создателя. Математики владеют обширным запасом технических средств, позволяющих им избавляться от противоречий и затруднений в своих теориях. На основе всех предыдущих "законов" Кроу формулирует десятый "закон", гласящий, что "в математике не бывает революций", т. е. в ней не случается отбрасывания принятых понятий и теорий. Развитие математики чисто кумулятивно, утверждает Кроу, не тратя, впрочем, много времени и усилий на обоснование этого "закона", ибо он представлялся ему очевидным.

Мне представляется, что со всеми законами, кроме десятого (о том, что в математике не бывает научных революций), можно согласиться и впоследствии мы это увидим. Действительно, история науки предоставляет факты, которые демонстрируют правоту первых девяти законов.

Утверждая, что в математике нет научных революций, формально Кроу прав, ибо Кун связывает наличие революции в естественных науках с наличием аномальных фактов, появлением новой парадигмы и с отбрасыванием принятых ранее понятий и теорий. Новые парадигмы в математике, конечно, есть, но их формирование не приводит к тому, что какие-то предыдущие теории отбрасываются – «формирование аналитической геометрии не приводит к отказу от теории конических сечений и т. д.». Почему появление новых математических теорий не приводит к отбрасыванию уже имеющихся? Можно сказать, что Кроу и все те математики, которые считают, что в математике нет научных революций, рассуждают тоже формально. Да, никакие теории в математике не отбрасываются. Но разве с появлением новых теорий старые не «отходят в тень» и ими уже, в общем, не пользуются – т. е. ставятся другие задачи, которые решаются другими методами и т. п. (например, задачи на вычисление площадей и объемов после возникновения дифференциального и интегрального исчисления). Кроме того, в математике нет аномальных фактов (Лакатос в работе «Доказательства и опровержения» нашел, казалось бы, массу аномальных фактов, для которых не выполнялась теорема Эйлера о соотношении вершин, граней и ребер многогранников. Однако ни один из этих фактов не опроверг эту теорему, скорее, наоборот, - целый ряд многогранников был сочтен монстрами, и не мог посягнуть на эту теорему). Это происходит потому, что математика не является естественной наукой, наукой о природе, как физика, химия или биология. Иногда выделяют класс формальных наук, куда кроме математики входит логика, некоторые другие дисциплины. Математика конструирует свои объекты. И изучает все те объекты, которые она может сконструировать, независимо от того, отражают они действительность, или – нет. Действительно, если жизнь требует решения уравнений первой степени, второй, иногда – третьей, то нормальным для математики становится в конце концов решение уравнений n-ной степени, независимо от того, нужно ли это для каких-то практических задач, или – нет. Если физика хочет познать природу и в силу этого она строит теории так, чтобы объяснить эмпирический материал, объяснить факты природы, то математика конструирует свои объекты так, как это позволяют те средства, которыми она при этом пользуется. Например, геометрия имеет дело с теми фигурами, которые ей позволяют построить циркуль и линейка. При своем возникновении математика тесно связана с реальной жизнью. Она решает те задачи, которые от нее требует жизнь – задачи на проценты, задачи, связанные со сбором налогов и т. д.

Таким образом, не во всем правы те математики, которые говорят, что в их науке нет научных революций на основании формальных признаков (нет аномальных фактов и не отбрасываются прежние теории). Кроме того, эта группа математиков не учитывает, что есть математические теории, которые не просто в силу кумулятивности добавляются к уже имеющимся теориям, но существенно перестраивают многие имеющиеся теории и в силу этого – саму деятельность математиков. Речь идет о дифференциальном и интегральном исчислении, о теории множеств, логике.

В обзоре рассматриваются и взгляды Герберта Мертенса, который высказывает несколько важных мыслей. Рассмотрим три из них. Первая связана с понятием эпистемологического разрыва, вторая – с уточнением вопроса о том, что значит, что революции происходят «в» математике. Третья – семиотическая трактовка математики приводит к тезису о том, что математика высказывается не о мире, а только о самой себе.

Первая идея - термин "научная революция" близок к используемому Г, Башляром и М. Фуко понятию эпистемологического разрыва. Такой «разрыв» может не иметь точной даты или временных рамок. Так, например, неевклидова геометрия была создана в 1830-х

гг., а признана в 1860-х., хотя противодействие ей продолжалось до начала XX в. Препятствием на пути неевклидовой геометрии было убеждение, что геометрическая теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности. Преодоление этого представления и может быть реконструировано как революция в истории математики. Я совершенно согласна, что появление неевклидовой (и вообще трех) геометрии – может быть осознано как революция в математике. И эта ситуация тесно связана со второй темой – что значит, что революция произошла «в» математике в этом случае. Скорее – это революция в понимании статуса математики – отражает ли она действительность (описывает ли она независимую от нее реальность) или «делает» что-то другое? Можно поставить вопрос так – подобна ли математика естественным наукам, описывающим независимую от них реальность, или – суть математики следует осознать иначе? Как именно? Рассмотрим такой ответ. Математика конструирует свои объекты. Объекты ее – это знаки, или системы знаков. Однако сказанное отнюдь не следует трактовать, что математика – это некая «игра в бисер». Конструируя знаковую реальность, математика отвечает на запросы практики – по крайней мере – и в древности, и в 17-19 веках (см. . Социально-экономические корни механики Ньютона»). Конечно, сами семиотические системы, созданные математиками, вносят свои проблемы, о которых не подозревали создатели (обнаружение несоизмеримости стороны квадрата и ее диагонали, отрицательных чисел, комплексных и т. д.), и, тем не менее, обусловленность математических систем знаков (арифметики, геометрии, символики дифференциального и интегрального исчисления и т. д.) практическими ситуациями во многом позволяет снять вопрос о непостижимой эффективности математики, который ставит Е. Вигнер. Один из вариантов рассуждений здесь такой: математика «растет» из практических задач, потребностей, и эта связь с материальной практической деятельностью человека некоторым образом «впечатана» и в арифметику, и в дифференциальное и интегральное исчисление, и в дифференциальные уравнения. Если считать, что одни разделы математики надстраиваются над другими (например, математический анализ надстраивается над арифметикой и геометрией, над ним – теория рядов, теория категорий и т. д.), то связь с практикой пронизывает высшие разделы, которые сами могут и не быть обусловлены практическими нуждами человеческой культуры. Идея надстройки одних разделов математики и мысль о том, что практическая обусловленность низших разделов как некая эманация пронизывает и высшие, передается им - это не более, чем метафоры. И, тем не менее – это значимые метафоры, мне кажется.

Итак, математика как наука возникает в рамках иных методологических установок, чем науки о природе. Однако тот факт, что установки ее другие, обнаруживается достаточно поздно – и именно в ситуации открытия неевклидовой геометрии.

Может быть, более правильно сказать так: математика формируется в рамках двух методологических установок – 1) ответ на запросы практики (арифметика, геометрия в древности, алгебра в 15 веке, матанализ в 17-19 веках) 2) для решения практических задач творцы математики создали семиотические системы – числовой ряд, операции с числами, геометрию, циркуль и линейку и фигуры, которые можно сконструировать с их помощью. Именно практические запросы – точнее, тот факт, что арифметика и геометрия отвечали запросам практики – практике сбора налогов, практике строительства, решению астрономических задач и т. д. – прочно закрепили в сознании людей методологическую установку – математика дает истинное описание независимой от нее реальности. Возникновение же геометрии Лобачевского, тоже истинной, потрясло эту методологическую установку (что и явилось революцией) и потребовало другого осознания сущности математики (что и является революцией – или предпосылкой к революции). Другое осознание математики, которое ученые вынуждены были искать, а затем принять найденное – что математическая теория изучает «правильно» сконструированные объекты, что математические теории имеют «право на жизнь» не только тогда, когда они являются истинным описанием независимой от нее реальности, но когда эти теории сконструированы без противоречий. Оказалось, что без противоречий сконструированы три геометрии (Евклида, Лобачевского и Римана). И, несмотря на то, что истинным описанием независимой от них реальности может быть только одна из этих геометрий, как математические объекты следует признать все три, а вопрос о том, какая из этих геометрий реализована в нашем физическом пространстве, должна решать не математика, а физика (астрономия). Здесь следует учесть два обстоятельства. Первое – методологическая установка (о том, что математическая теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности) должна быть отброшена и заменена другой (например, достаточно, чтобы математическая теория была сконструирована без противоречий). Второе – геометрия Лобачевского была признана математиками тогда, когда построили ее интерпретации, т. е. когда нашли математические объекты, для которых справедлива эта геометрия. Так может быть в принципе слова о том, что «математическая теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности» справедливы, но под «независимой реальностью» не обязательно понимать физический мир, не созданный людьми и в этом смысле – независимый от человека? Ведь поверхность типа пионерского горна, на которой выполняются все теоремы неевклидовой геометрии, тоже можно трактовать как независимую реальность. Но даже если это принять, все равно революционность открытия неевклидовой геометрии не исчезает, не снимается.

Итак, еще раз,– именно ситуация с открытием (и признанием – непризнанием) неевклидовой геометрии способствует тому, чтобы вместо методологической установки, справедливой для естествознания (что теория должна быть истинным описанием реальности), появилась другая установка. На традиционном языке эта установка выглядит так – математическая теория должна быть непротиворечивой. Я бы сформулировала эту установку так – в случае неевклидовой геометрии явно проявляется то обстоятельство, что математические объекты – это семиотические объекты, конструируемые математиками, и они должны быть сконструированы «правильно», т. е. непротиворечиво.

Вероятно, все эти рассуждения уже содержат и ответ на вопрос о том, осуществляются ли революции внутри математики, или влияют и внешние факторы? «Но как должна быть описана эта революция? Какой контекст требуется для ее адекватной реконструкции? Должен ли он, например, включать историю модернизма в живописи с его экспериментами в области изображения пространства?». Вопрос – «что значит, что революция произошла «в» математике», я бы переформулировала так – происходит ли революция в самом математическом конструкторе? Или – это революция в методологических установках математиков? Ответы такие – с одной стороны, в случае с открытием неевклидовой геометрии произошла мощная методологическая революция, а именно – стихийно принимаемый тезис о том, что «математическая теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности» был заменен на другой – от математических теорий требуется не отражение действительности, а непротиворечивость при конструировании ее объектов (теорий). Это означает, что математика – иная наука, чем естествознание, она не находит свои объекты в природе, а конструирует их в соответствии с некоторыми принципами, в частности, с принципом непротиворечивости.

Третья идея Мертенса о том, что математика высказывается не о мире, а только о самой себе. Понятно, почему такая мысль возникла. Мы только что «отсекли» математику от задачи давать истинное описание реальности. Казалось бы, вывод о том. что математика высказывается не о мире, а о самой себе (т. е. о другом мире - мире чисел, групп, множеств, интегралов и т. д.) справедлив. Однако практическое происхождение математики (которое и породило методологическую установку о том, что математика дает истинное знание о мире) с самого начала истории этой науки «вдохнуло» в нее, в ее объекты (числа, треугольники, интегралы) «практическую полезность», которая затем передается новым разделам математики, надстраивающимся над арифметикой. Поэтому, высказываясь о самой себе, т. е. о своих объектах – числах, интегралах и т. п., математика высказывается и о мире, где числа обозначают совокупности каких-то объектов, интегралы обозначают площади или объемы и т. д. хорошо показывает практическую обусловленность математики 17-19 века. Конечно, нельзя утверждать, что любой раздел математики имеет практическое содержание, как арифметика, геометрия и вообще классическая математика.

«Если в ней и есть истины, то - это истины о ней самой, ибо математика говорит только о своих собственных знаковых конструкциях. Различные математические теории работают с определенными типами знаковых конструкций, обозначающих правила для их «собственного» использования. Семиотический подход, как признает Мертенс, вызывает много гносеологических вопросов, но имеет то бесспорное достоинство, что позволяет избавиться от вопросов типа: "О чем математика? Что лежит внутри математики?"» (Сокулер, 1995). Рассмотрим это. Уже было показано выше, что даже и в тех случаях, когда возникает новая математическая теория, не отвечающая явно никакому практическому запросу (или запросу другой науки), все равно через опосредованную связь с исходными разделами математики, эта новая теория что-то может говорить о мире. Но примем тезис – математика говорит не о мире, а о своих знаковых конструкциях. В этом нет ничего «порочного». Просто математика – другая наука, она изучает не то, что существует в природе (атомы, химические вещества, растения и т. п.), а объекты, сконструированные ей самой. Почему мы бы хотели, чтобы все науки были однотипны? Почему группы наук не могут подчиняться разным методологическим нормативам? Математика возникла раньше наук о природе и тем более, раньше наук об обществе. Она возникла естественным путем. Наша задача – принять то, что возникло, тем более, что говоря о своих собственных знаковых конструкциях, математика говорит и о природе, что прекрасно демонстрируют арифметика и геометрия.

Рефлексивные преобразования как механизм новаций в условиях неведения

«Так есть ли противоречие между утверждениями Кроу и Мертенса, и в чем оно состоит? Думаю, что в следующем: для Мертенса, в отличие от Кроу, то, что «в математике, не существует как самостоятельная реальность, которую следует изучать в абстракции от того, что происходит в сообществе математиков (которое само является частью более широкого человеческого сообщества)».

Научные революции могут пониматься по-разному. Так, и выделяют четыре типа революций в науке. В учебнике (Степин, Горохов, Розов 1995) они называют то, что названо революциями, не революциями, а новациями. Представления о типах новаций тесно связаны с эстафетной моделью науки, которую строит . Типы новаций он связывает с типами программ и выделает 4 типа новаций (революций): 1) появление новых парадигм, 2) формирование или заимствование новых методов (например, связанных с открытием микроскопа, телескопа, других приборов), 3) открытие новых миров (группа в математике, ген, вирус в биологии и т. д.) 4) появление новых методологических программ.

Рассмотрим, как эти новации проявляются в математике. Второй тип рассматривать не будем. Но – при формировании каждой новой теории всегда появляются и новые методы. Например, начиная с Архимеда, математики стремились найти методы вычисления площадей криволинейных фигур. В итоге это выросло в дифференциальное и интегральное исчисление, которое является не только новой математической теорией, существенно перестроившей имевшуюся тогда математику, но и дало простые методы вычисления площадей и объемов и массу других методов.

Можно ли сказать, что с новой математической теорией всегда связаны новые методы? Да, наверно. Ибо новая теория – это новый конструктор, а значит и новые задачи, и новые методы их решения. Но вряд ли надо сливать воедино два типа новаций – появление новой теории и новых методов. Хотя специфика математики, в частности, конструирование ее объектов, ведет к тому, что все три типа новаций тесно связаны и практически одновременны – новая теория, новые методы и новые объекты. Все это происходит потому, что в математике нет различия между экспериментальным исследованием и теоретическим – нет экспериментального, а объект не найден в природе, а сконструирован теорией. Новая теория – это всегда теория какого-то объекта. Это относится и к математике – теория множеств, теория групп – их объекты как-то должны быть заданы. Т. е. если в физике методы, как правило, связаны с приборами, то в математике нет двух источников новаций.

И, тем не менее, временной лаг есть. Рассмотрим открытие групп – а) Галуа сконструировал группу как средство, чтобы решить традиционную задачу – найти – после Абеля – условия, при которых уравнения выше 4 степени разрешимы в радикалах, б) Была осуществлена рефлексивная симметрия – поняли, что Галуа сделал два открытия – решил ту задачу, которую ставил, и – сконструировал новый объект – группу, в) стали изучать этот новый объект группу; на этом пути открыли новые виды групп, установили, что теория групп может быть полезна в кристаллографии и других естественных науках.

2) Дифференциальное и интегральное исчисление. В истоках его тоже лежало решение традиционной задачи – найти формулы для вычисления площадей и объемов криволинейных фигур. История растянулась на много столетий. а) Архимед нашел такие формулы для нескольких фигур и создал при этом метод – традиционными методами задача не могла быть решена (не решалась) б) Кеплер, Ферма и другие нашли формулы для большего числа фигур, «совершенствуя» при этом метод, в) была еще одна традиционная задача – построение касательной к кривой – в случаях а и б важно, что задачи поступали «извне» - из других наук (астрономия, например), г) Барроу понял, что задачи нахождения площадей и объемов (фигур и тел) и задача нахождения касательной к кривой связаны – и взаимно обратны, д) Лейбниц представил составил формулы для нахождения производных для суммы, произведения, степени и т. д. как самостоятельный продукт исследования. Однако на его результат не обратили внимания, его не поняли – т. к. он осуществил рефлексивное преобразование – и в качестве результата своей работы предложил не формулы для вычисления площадей и объемов, а исчисление (формулы уже были известны).

3) Теория множеств Кантора. Здесь истоки несколько иные. Хотя рефлексивная симметрия и здесь есть. Кантор заметил, что многие разделы математики (теория чисел, проективная геометрия и т. п.) имеют дело с бесконечными множествами – множеством особых точек, множеством вычетов и т. д. И сделал такие бесконечные множества самостоятельным объектом исследования. Чтобы «подтвердить» правомерность изучения бесконечных множеств, он сформулировал задачу (послав эту задачу Дедекинду, который ответил, что эту задачу решать не нужно) и решил ее – получил нетривиальный результат, который свидетельствовал о том, что такой объект исследования «правомерен». Здесь нет исходного конструирования нового объекта. Не Кантор конструировал бесконечное множество, да и никто этого не делал. Но Кантор показал, что изучение актуально бесконечных множеств – дает новые, интересные, нетривиальные результаты. Кронекер – выступал против изучения актуально бесконечных множеств.