Философские проблемы математики (стр. 1 )

Философские проблемы математики

Введение 2

Глава 1. Представления о предмете и задачах математики. Обзор точек зрения. 6

1.1. Математика или математики? 6

1.2. Логический формализм и аксиоматический метод 7

1.3. Абстракции в математике 11

1.4. Проблема существования абстрактных объектов математики 13

1.5. Платонистская интерпретация математических объектов 14

1.6. Неономинализм. Неоконцептуализм 17

Глава 2. Философия науки – наука или философия? 26

2.1. Точки произвольного выбора – неотъемлемая особенность философии 28

2.2. Философия науки на пути превращения в науку 32

2.3. Эстафетная модель науки 35

Глава 3. Философия математики как становящаяся научная дисциплина 43

3.1. Способ бытия математических объектов. Математические объекты как куматоиды 44

3.2. Программа «конструктор» как способ задания объектов математики 55

3.3. Новации, традиции, революции в математике 61

3.4. Проявления рефлексии в математическом познании или – утратила ли математика определенность? 92

3.5. «Физическая математика» Архимеда, формирование интегрального исчисления и механизмы новаций в математике 97

Библиографический список 107

Список тем для докладов и рефератов по истории и философии математике 110

Хрестоматия по философии математики 112

К методологии анализа проблемы идеального 112

Розов бытия математических объектов 119

Новиков на пороге XXI века 126

Пираты и политики в математике 155

Сокулер о революциях в истории математики 191

Введение

Философские проблемы математики обсуждаются уже в Древней Греции, когда Платон «помещает» числа, треугольники и т. п. математические объекты, как и идеи вообще, в особый мир. Элементы этого мира – вечны и неизменны, с одной стороны, а с другой – именно идеи обусловливают само существование вещей. Обсуждению подвергаются вопросы о том, где и как существуют числа, какова их природа, чем обусловлен всеобщий характер математического знания, когда в самых разных культурах, возникающих в значительной степени независимо одна от другой, люди складывают и умножают числа одинаково (техника счета различается, а результаты – одинаковы)? Трудности, которые обнаружили уже древние греки, хорошо моделирует «Диалог о сущности математики» венгерского математика Альфреда Реньи:

С о к р а т. … считаешь ли ты, что звезды на небе будут появляться, если никто их не станет наблюдать, а рыбы будут продолжать плавать, если никто не станет ловить их?

Г и п п о к р а т. Конечно. Как могли бы мы говорить о них, если бы их не было?

С о к р а т. Тогда скажи, если бы не было математики, были бы простые числа, и если да, то где?

Г и п п о к р а т. Не знаю, что и ответить. Ясно, что если математики думают о простых числах, значит они существуют в их сознании, но если бы не было математиков, не могло бы быть и простых чисел.

С о к р а т. Значит, ты считаешь, что математики изучают несуществующие понятия?

Г п п о к р а т. Пожалуй, мы должны допустить это.

С о к р а т. Если я скажу, что математики занимаются тем, что или вовсе не существует или существует, но не так, как существуют звезды или рыбы, то буду ли я прав?

Г п п о к р а т. Вполне.

С о к р а т. Теперь рассмотрим этот вопрос с другой точки зрения. Я написал на восковой табличке число 37. Ты видишь его?

Г и п п о к р а т. Да.

С о к р а т. И можешь дотронуться до него рукой?

Г и п п о к р а т. Конечно.

С о к р а т. Значит, числа существуют?

Г и п п о к р а т. Ты смеешься надо мной, Сократ. Послушай! Я нарисовал на такой же табличке дракона с семью головами. Разве это означает, что он существует? …

С о к р а т. Ты прав, Гиппократ, я с тобой согласен. Значит, хотя мы говорим о числах и даже можем написать их, на самом деле они не существуют? (Реньи, 1969. С. 25-26).

К числу философских проблем математики относится широкий круг проблем, достаточно разнородных. Обсуждается, как мы видели, прежде всего, вопрос о сущности и статусе математических объектов, где и как они существуют. «Отражают» ли эти объекты какие-то реалии внешнего мира, или эти объекты - чистые творения разума? Кронекер писал, что «целые числа создал господь Бог, а все остальное – творение человека». Существенно, что начиная с 19 века, споры о природе чисел и множеств не ограничиваются областью философии, а философские установки отдельных школ и направлений обоснования математики оказывают существенное влияние на решение специальных логико-математических вопросов.

Тесно связан с вопросом о статусе математических объектов и вопрос о математике как науке. Н. Бурбаки спрашивает – существует ли одна математика, или – много? Имеет место очень большой разброс мнений о том, что такое математика – от слов Канта о том, что только та область является наукой, которая использует математику, до слов Фейнмана о том, что математика – не наука: «Математика, с нашей точки зрения, не наука в том смысле, что она не относится к естественным наукам. Ведь мерило ее справедливости отнюдь не опыт. Кстати, не все то, что не наука, уж обязательно плохо. Любовь, например, тоже не наука. Словом, когда какую-то вещь называют не наукой, это не значит, что с нею что-то неладно: просто не наука она, и всё» (Фейнман 1965. С.55). Сюда же примыкают такие метафоры для описания математики и ее места среди других наук, как вопрос – математика и физика – сестры или – мать и дочь? Широко известны слова Гиббса о том, что математика – это не наука, а язык, с этими словами солидаризируются одни математики и активно не согласны другие. О причинах разногласий пишет, например, Р. Курант: «На вопрос, что такое математика?» невозможно дать обстоятельный ответ на основе одних лишь только философских обобщений, семантических определений или с помощью обтекаемого газетно-журнального многословия. Так же нельзя дать общее определение музыке или живописи: никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи. Для понимания же сути математики еще в большей степени необходимо подлинное проникновение в составляющие ее элементы» (Курант 1967. С. 16).

Чем обусловлен всепроникающий характер математического знания? Возникнув из простого счета и чертежей, математика распространилась в самые разные сферы природы и социальной жизни людей, без нее не могут обойтись не только механика и другие разделы физики, но и астрономия, экономика, электронно-счетные машины и многие другие области науки и жизни.

Спорными являются буквально все вопросы, касающиеся того, что такое математика, как она возникает и развивается. Так, с появлением книги Т. Куна «Структура научных революций» разгорелся спор о том, имеют ли место научные революции в математике. Многие авторы пришли к выводу, как М. Кроу, автор статьи о законах в математике, что «революции никогда не встречаются в математике» (закон 10). Идут споры о том, что такое чистая и прикладная математика, каковы между ними отношения, чему надо уделять больше внимания как в ходе научных исследований, так и в процессе преподавании.

Появление многотомного курса Н. Бурбаки одними оценивается как значительное явление в математике, другие же видят существенные негативные последствия «бурбакизма» математики (Новиков 2002).

Не внесло единства в обсуждение философских проблем математики и развитие исследований по ее основаниям, где в начале 20 века сложились школы логицизма, интуиционизма, формализма. Теперь многие соглашаются с Х. Патнэмом, опубликовавшем статью «Почему ничего из этого не работает» (имея в виду традиционно главные направления в философии математики) (См.: Целищев, 2007. С. 29). Однако, рассматривая философские проблемы математики, нельзя обойти вопросы формирования этих школ, а также причины, в силу которых в каждой из школ обнаружились узкие места, настолько, что У. Харт стал говорить об эпистемологическом повороте в философии математики: «Платонизм кажется ясным, когда вы думаете о математической истине, но невозможным, когда вы думаете о математическом познании. И конечно, эпистемология не умерла в нашем веке; она просто изменилась. Причинность, холизм и натурализация вытеснили чувственные данные и аналитичность. Так что надо приветствовать переформулировку основных положений эпистемологии математики. Интеллектуальным долгом является не только прогресс в области математической логики, но прогресс в эпистемологии математики» (Цит. По Целищев 2007. С. 46-47).

Относятся к философии математики и вопросы о том, под влиянием каких факторов развивается математика. Даже если признать, что в математике нет научных революций, никто не сомневается, что в этой науке все время появляются новые разделы, возникают новые понятия и теории. Что этому способствует? Внешние факторы – потребности других наук, потребности практики, или – только внутренние факторы? Иначе говоря, спорят, какой идеологии следовать – идеологии интернализма (математика развивается благодаря внутренним причинам), или – идеологии экстернализма – на развитие математики существенное влияние оказывают внешние факторы – развитие материального производства, которое «направляет» свои запросы математике, социальная структура общества, традиции и т. п. Последнее важно, в частности, при ответе на вопрос – почему доказательство и вообще «чистая» математика сложилась только в Греции (в древности), а затем – в Европе, и уже оттуда распространялась в другие географические (и культурные) регионы?

Является ли математика наукой о природе? Если нет, то могут спросить – зачем же она тогда существует? Благодаря тесной взаимосвязи математики, природы и общества, формируются программно-предметные комплексы (Розов 2006-1). Математика – наука о природе и обществе, если единицей исследования считать не отдельную математическую науку (теория вероятностей, теория графов и т. п.), а программно-предметные комплексы.

Для данной работы важно, что многие вопросы из названных выше можно решить, если обратиться к одной из современных концепций научного знания – теории социальных эстафет (Розов 2006-1). Эта теория возникла в рамках решения важнейшей задачи эпистемологии – что такое знание. Отсутствие ответа именно на этот вопрос тормозит анализ математики как науки, ибо ее объекты действительно, заключают в себе тайну – в рамках традиционных представлений невозможно ответить на вопрос – что такое число, в чем причина всеобщности и необходимости математического знания и т. д.

Задачи работы вытекают из сказанного выше. Книга имеет три раздела. 1. Как понимают предмет и задачи математики в традиции. 2. Средства исследования – теория социальных эстафет, основные положения – эстафетная модель науки, идея куматоида как волноподобной структуры. Будет показано, что философия математики находится на пути превращения в эмпирическую науку. 3. Анализ выделенных в 1 части проблем в рамках теории социальных эстафет. Построение философии математики как эмпирической науки основывается на том, что: а) числа и другие математические объекты – это куматоиды, т. е. относительно постоянные программы и постоянно изменяющийся материал; б) математические объекты не находятся в природе, а конструируются человеком; в) ответ на вопрос о существовании научных революций в математике зависит от определения научной революции. При понимании научной революции как существенного изменения в развитии конкретной науки, революции есть и в математике – прежде всего – появление нового конструктора. г) Математические дисциплины, при всей их разнородности, тесно связаны друг с другом, а также с физическими науками, астрономией, биологией, географией, экономикой и многими другими. Связи фиксируются идеей программно-предметных комплексов, суть которых состоит в том, что научные дисциплины нерационально изучать как изолированные «образования», ибо, как правило, предметные науки ставят задачи, а математические – дифференциальное и интегральное исчисление, теория дифференциальных уравнений, математическая статистика, теория вероятностей, линейное программирование и т. д. – разрабатывают средства. Можно даже вообще сформулировать тезис – говоря о развитии науки, следует изучать не изолированные дисциплины, а их комплексы. В этом случае и не будет вопросов – какую реальность изучает математика. Она разрабатывает средства для предметных наук. Вероятно, все математические дисциплины входят в какие-либо комплексы. д) в математике, как совершенно справедливо считает , далеко не все определяется и доказывается, или выводится из аксиом. В математике, как и в других науках, действуют по образцам, прибегают в аналогиям, используют не строго введенные, но работающие понятия (такие, как бесконечно малые в анализе).

Глава 1.
Представления о предмете и задачах математики. Обзор точек зрения

1.1. Математика или математики?

Рассмотрим подробнее, какие проблемы обсуждаются в рамках философии математики. В статье «Архитектура математики» Н. Бурбаки пишет, что дать в настоящее время общее представление о математической науке – значит заняться делом, которое наталкивается на почти непреодолимые трудности. Материал исследований по математике – обширен и разнообразен. Статьи по чистой математике, публикуемые во всем мире в среднем в течение одного года, охватывают многие тысячи страниц. Не все они имеют одинаковую ценность. Тем не менее, после очистки оказывается, что каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает все более разнообразное содержание и постоянно дает ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить это развитие во всех подробностях. Однако можно спросить себя, продолжает Бурбаки, «является ли это обширное разрастание развитием крепко сложенного организма, который с каждым днем приобретает все больше и больше согласованности и единства между своими вновь возникающими частями, или, напротив, оно является только внешним признаком тенденции к идущему все дальше и дальше распаду, обусловленному самой природой математики; не находится ли эта последняя на пути превращения в Вавилонскую башню, в скопление автономных дисциплин, изолированных друг от друга как по своим методам, так и по своим целям и даже по языку? Одним словом, существуют в настоящее время одна математика или несколько математик?» (Бурбаки 1963. С. 246).

1.2. Логический формализм и аксиоматический метод

Вот ответ Бурбаки: «…внутренняя эволюция математической науки вопреки видимости … упрочила единство ее различных частей и создала своего рода центральное ядро, которое является гораздо более связным целым, чем когда бы то ни было. Существенное в этой эволюции заключается в систематизации отношений, существующих между различными математическими теориями; ее итогом явилось направление, которое обычно называют «аксиоматическим методом» (Бурбаки, 1963. С. 247).

То, что аксиоматика ставит перед собой в качестве основной цели – уразумение существа математики, именно этого не может дать логический формализм, взятый сам по себе. Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внешнему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнаружению совершенно «неожиданной помощи», которую одна из них может оказать другой, там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия, находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию» (Бурбаки. 1963. С. 248)

Для того, чтобы показать, что математика – это нечто целостное, Бурбаки вводит понятие структуры и говорит, что «построить аксиоматическую теорию данной структуры – это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности, от всяких гипотез относительно их «природы»)» (Бурбаки 1963. С. 251). Разъясняя свой ответ, он пишет, что становится здесь на «наивную» точку зрения и не касается щекотливых вопросов, полуфилософских, полуматематических, возникших в связи с проблемой «природы» математических «объектов». Ограничивается замечанием, что первоначальный плюрализм в наших представлениях этих «объектов», мыслимых сначала как идеализированные «абстракции» чувственного опыта и сохраняющих всю разнородность этих последних, в результате аксиоматических исследований XIX - XX вв. был заменен единой концепцией, посредством последовательного сведения всех математических понятий сначала к понятию целого числа, затем на втором этапе к понятию множества. Последнее, рассматриваемое долгое время как «первоначальное» и «неопределимое», было объектом многочисленных споров, вызванных характером его исключительной общности и весьма туманной природой представлений, которую оно у нас вызывает. Трудности исчезли только тогда, когда исчезло само понятие множества (и с ним все метафизические псевдопроблемы относительно математических «объектов») в результате недавних исследований о логическом формализме. С точки зрения этой концепции единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры. Бурбаки описывает следующие типы математических структур: алгебраические (это такое отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых), структуры, определенные отношением порядка (отношение между двумя элементами x, y, которое чаще всего мы выражаем словами «меньше» или «равно»), топологические (в них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности, к которым нас приводит наше представление о пространстве).

Он формулирует тезис, что структуры являются орудиями математика и показывает, как они «работают»: каждый раз, когда он замечает, что между изучаемыми им элементами имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы» (Бурбаки 1963 С. 253).

Но это сравнение - недостаточное. … Каждая структура сохраняет в своем языке интуитивные отзвуки той специфической теории, откуда ее извлек аксиоматический анализ. И когда исследователь неожиданно открывает эту структуру в изученных им явлениях, это для него является как бы толчком, который сразу направляет интуитивный поток его мыслей в неожиданном направлении, и в результате этого математический ландшафт, по которому он движется, получает новое освещение. Чтобы ограничиться старым примером, вспомним прогресс, осуществленный в начале XIX в. благодаря геометрической интерпретации мнимых величин; с нашей точки зрения это было обнаружение в множестве комплексных чисел хорошо известной топологической структуры – структуры евклидовой плоскости - … открытие, которое в руках Гаусса, Абеля, Коши и Римана менее чем за одно столетие обновило весь анализ. (Бурбаки 1963 С. 253-254).

Это говорит о том, что в настоящее время математика менее, чем когда-либо, сводится к чисто механической игре с изолированными формулами, более чем когда-либо интуиция безраздельно господствует в генезисе открытий; но теперь и в дальнейшем в ее распоряжении находятся могущественные рычаги, предоставленные ей теорией наиболее важных структур, и она окидывает единым взглядом унифицированные аксиоматикой огромные области, в которых некогда, как казалось, царил самый бесформенный хаос. (Там же).

«Что касается возражений со стороны философов, то они относятся к области, где мы не решаемся всерьез выступать из-за отсутствия компетентности; основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-либо смысл) и, быть может, мы их никогда и не узнаем» (Бурбаки 1963. С. 258).

Бурбаки отмечает, что при создании квантовой физики, оказалось, что работают такие математические структуры, которые были изобретены вовсе не для описания явлений микромира. Он делает вывод: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм – математических структур, и оказывается, (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм. Конечно, нельзя отрицать, что большинство этих форм имело при своем возникновении имело вполне определенное интуитивное содержание; но как раз сознательно лишая их этого содержания, им сумели придать всю их действенность, которая и составляет их силу, и сделали для них возможным приобрести новые интерпретации и полностью выполнить свою роль в обработке данных» (Там же)..

Если Бурбаки видит специфику математики в аксиоматическом методе, в формализмах, то подходит к осознанию математики практически с «противоположной» стороны (Успенский 2010). Он спрашивает – действительно ли в математике все определяется и доказывается? Можно ли определить понятие натурального числа и т. д. Он пишет: «Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке – причем не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знания. И с этой исключительностью согласны и нематематики. … В самом деле, считается общепризнанным, что математика имеет, по крайней мере, три присущие только ей черты. Во-первых, в математике, в отличие от других наук, все понятия строго определяются. Во-вторых, в математике – опять-таки в отличие от других наук – все строго доказывается из аксиом. В-третьих, математика непонятна» (Успенский 2010. С. 391). Поставив эти вопросы, Успенский говорит, что определить все математические понятия невозможно, ибо одно определяется через другое, другое – через третье и т. д. И где-то мы должны остановиться. Действительно, слов в любом языке конечное число, поэтому при определении одних слов через другие неизбежно возникает круг (т. е. ситуация, в которой слово определяется в конечном случае через само себя). Избежать такого круга можно лишь одним способом: оставить некоторые слова без определения. На вопрос – как же могут быть усвоены эти понятия, дается ответ: из непосредственного наблюдения, из опыта, из интуиции. Успенский обращает наше внимание на то, что «формирование общих, абстрактных понятий в мозгу человека – сложный процесс, принадлежащий более психологии, чем логике. Эти понятия, усваиваемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно называть первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа» (Успенский 2010. С. 393).

Второй миф – о том, что в математике все доказывается из аксиом, Успенский разрушает путем обращения к учебникам по арифметике или к любому втузовскому учебнику математического анализа, или к университетскому учебнику по теории чисел. В этих учебниках доказываются теоремы, но вряд ли мы найдем там какие-либо аксиомы. Отвечая на вопрос, на основе чего происходит, например, доказательство теорем теории чисел, Успенский говорит – на основе здравого смысла и неких представлений об основных свойствах натурального ряда, которые не сформулированы явно в виде списка аксиом. Необходима честная констатация того наблюдения, что в реальной математике сплошь и рядом встречаются теоремы, доказываемые без опоры на какие бы то ни было аксиомы. Успенский здесь указывает на то, что в математике, как и вообще в познании и реальной жизни человек знает основные понятия и действия не из определений, письменных инструкций и тому подобных источников, а знает из образцов, знает на базе действий, которые происходят в поле его восприятия, что подробно будет рассмотрено дальше, в теории социальных эстафет.

1.3. Абстракции в математике

Наряду с вопросами о том, что такое математика как наука, в книгах и статьях по философии математики рассматривается такая особенность математического знания, как достижение высшей степени абстрактности, поскольку математик работает не с предметами природы, а с их мысленными идеализациями (в реальном мире нет идеальных окружностей, треугольников, квадратов). Так, , например, пишет: «Математическая наука непосредственно не изучает самое действительность, она ее исследует опосредованно, через призму абстрактных объектов». Последние являются «идеальными моделями, образами реальных объектов». Поэтому «любая математическая теория непосредственно соотносится с абстрактными объектами, изучаемыми в ней», а не с самой действительностью. «В этом, - заключает Нысанбаев, - состоит специфика математического познания» ( 1973 С.222).

говорит, что это правильно, но это еще не вся правда о математике, ибо сказанное характерно не только для математики. Каждая наука, если она желает быть теоретическим обобщением, оперирует не непосредственно с чувственно данными предметами, а с их абстрактными отображениями, добытыми логической реконструкцией действительности и составляющими особый надприродный мир (систему мысленных образований). Так, в классической механике материальные тела были представлены идеализированными образами материальных точек и абсолютно твердых тел. Специфика математики не в том, что она имеет дело с абстракциями, а в характере абстракции, не в степени отвлеченности, но в самой природе отвлечения (Сухотин. 1977 С. 25). Математические объекты представляют абстракцию от абстракции, или – «обобщающую абстракцию». Так, конкретное число есть определенное свойство класса. Но сам этот класс уже есть свойство. Это означает, что количественная характеристика фиксирует свойство свойства, т. е. конкретное число есть предикат от предиката. А число вообще дает абстракцию еще более высокого порядка – свойство свойства свойств.

Абстракция от абстракции имеет место и в других науках. Но это не означает, что у математики нет никакой специфики. В случае с числами математик не анализирует свойства объектов, составляющих совокупности (числа). И, тем не менее, математика все же что-то оставляет своим объектам, в противном случае она не могла бы описывать реальность. Пуанкаре писал: «Математик изучает не предметы, но лишь отношения между предметами, следовательно, для него вполне безразлично, будут ли данные предметы замещены какими-нибудь другими, лишь бы только не изменились при этом их отношения» (Цит. по: Сухотин 1977 С. 28). Природа объектов, таким образом, не существенна для математики, ей важны лишь отношения между ними. Этой точки зрения придерживаются С. Клини, Н. Бурбаки, Р. Фейнман.

Рассмотрим, как математик познает свои объекты. Сухотин пишет, что «физик, химик и т. д., создавая свои абстракции, подсматривает их у природы, «прослушивая» и «прощупывая» ее. Математик идет отличным от других наук путем. На высших этажах современной науки математики уже не обращаются каждый раз за советами к реальности, соотнося с нею свои утверждения. Часто ситуация такова, что необходимо отвлечься от наличных данных, которые способны помешать, как например, при создании неэвклидовых геометрий, когда земной опыт «восстанавливал» против новых концепций пространства.

Так, выясняя, какая геометрия истинна в окружающем нас пространстве, К. Гаусс измеряет сумму углов в треугольнике, образованном вершинами гор Большой Гаген, Брокен и Инзельберг в окрестностях Геттингена, а предпринимает «выход» в космос – измеряет углы в звездном треугольнике. Не обнаружив отступлений от эвклидовой геометрии, Лобачевский вначале даже делает вывод, что положения эвклидовой геометрии надо почитать как строго доказанные. Сухотин делает вывод, что собственно математическим является открытие, сделанное на кончике пера ученого, т. е. независимо от имеющегося опыта.

В итоге Сухотин называет следующие особенности математического знания – отвлеченность математических понятий от вещественной природы объектов; независимость операций с абстракциями от наличного опыта; возможность предвосхищать физическую реальность.

Однако сколь бы абстрактным ни было математическое знание, корнями оно уходит в практическую деятельность. Кроме того, математическое построение, будучи законченным, тоже рано или поздно находит (если оно обладает достоинством истинности) путь к реальности. Это достигается через интерпретации, приложения, благодаря выявлению прикладных аспектов и т. д. «Вместе с тем, - пишет Сухотин, - хотя математическая теория детерминирована – рядом переходов и опосредований – реальной действительностью, в известных границах, на определенном отрезке творчество математика протекает независимо от внешнего мира. Именно здесь берет начало «принцип свободы» как эвристический прием, широко используемый в математическом исследовании» (Сухотин 1977 С. 30).

1.4. Проблема существования абстрактных объектов математики

Во многих работах по философии математики обсуждается вопрос о существования объектов математики. Эти вопросы рассматривают Б. Рассел, А. Френкель и И. Бар-Хиллел, , , и многие другие. Так или иначе, они выделяют, прежде всего, три пути решения этого вопроса – платонизм, номинализм, концептуализм. Рассмотрим, как этот вопрос обсуждается в работе . Сам этот вопрос о том, где и как существуют математические объекты (число, множество и т. п.), обусловлен тем, что объекты, которые возникают «в процессе абстрагирования и идеализации в математике, весьма сильно отличаются их прообразов. Точно так же утверждения, которые относятся к абстрактным объектам, нельзя непосредственно проверить на опыте. … Такое резкое расхождение между абстрактными и эмпирическими объектами и соответствующими истинами заставило уже античных ученых задуматься над проблемой существования математических объектов» (Рузавин 1983 С. 44).

Мы уже говорили, что в античной Греции существовало два основных подхода к решению проблемы существования математических объектов. Платон и его сторонники рассматривали эти объекты как особые сущности, принадлежащие к сверхчувственному миру, а математическое познание – как воспоминание тех идей, которые душа некогда созерцала в трансцендентном мире. Аристотель же считал, что математические объекты возникают в результате абстрагирования от всех чувственно воспринимаемых свойств вещей и сохранения только их «количественной определенности и непрерывности». Концепция Аристотеля подчеркивала, во-первых, специфический характер существования математических объектов. Она не уподобляла эти объекты предметам реального мира, но в то же время не приписывала им отдельного существования, как это делал Платон. Во-вторых, рассматривая математические объекты как абстракции от реальных предметов, концепция Аристотеля давала возможность в принципе объяснить, почему математика применяется для изучения окружающего нас мира.

Противостоящие друг другу подходы к проблеме существования математических объектов, представленные концепциями Платона и Аристотеля, можно проследить и в современных дискуссиях по философии математики. Платонизм обычно характеризуется при этом как концепция, приписывающая некоторую общность существования как реальным предметам, так и абстрактным объектам. Подход, восходящий к Аристотелю, отрицает какую бы то ни было общность бытия для реальных и абстрактных объектов. Поэтому о существовании абстрактных объектов с этой точки зрения можно говорить только «по сходству и аналогии» с реальным бытием. Вторая отличительная черта современных дискуссий о существовании абстрактных объектов состоит в том, что сейчас споры не ограничиваются областью философии. Философские установки отдельных школ и направлений обоснования математики оказывают существенное влияние на решение специальных логико-математических вопросов.

1.5. Платонистская интерпретация математических объектов

Рузавин пишет, что попытка Платона представить математические объекты существующими в особом трансцендентном мире, который впоследствии стали называть миром универсалий, была первой наивной попыткой объяснить, почему абстрактные объекты так сильно отличаются от эмпирических. Для Платона мир идей предшествует миру вещей и определяет последний. Вещи возникают, изменяются и уничтожаются, тогда как идеи остаются неизменными, определенными и совершенными. Чувственно воспринимаемые предметы являются лишь отблеском, тенью, несовершенным воплощением вечных идей. Математические объекты принадлежат к особому сверхчувственному миру. Хотя математик и пользуется чувственно воспринимаемыми фигурами, но доказываемые им истины относятся к идеям, но не к фигурам, которые начерчены человеком.

В современной версии платонизма спор идет о том, приписать ли самостоятельное бытие таким объектам, как число, функция, множество и т. п., или же эти слова служат в качестве терминов языка, употребляемых в собирательном значении. (Рузавин 1983 С. 46-47). Если раньше дискуссии по этому поводу ограничивались рамками философии, то теперь выбор той или иной позиции влияет на построение оснований математики. Кантор, например, считал, что множество – это любое объединение в одно целое объектов нашего восприятия и мысли. Он считал, что любому множеству можно соотнести некий объект, или идеальную сущность, которая придает единство элементам множества.

Общепризнанно, что само понятие множества онтологически может быть истолковано в трех различных смыслах: во-первых, его можно рассматривать как общий термин для обозначения некоторой совокупности конкретных объектов. Во-вторых, его можно трактовать как концепцию, создаваемую исключительно нашей мыслью. В - третьих, множество можно связать с абстрактным объектом, или идеальной субстанцией, как это делает Кантор и его последователи. Сторонников первой точки зрения называют номиналистами – они считают общие термины простыми именами, которые не обозначают какой-либо идеальной субстанции или абстрактного объекта. В противовес этому платонисты наделяют универсалии самостоятельным существованием. Общие понятия для них – не просто термины языка, общие понятия обозначают особые объекты идеальной природы. Платонизм в математике может принимать различные формы. Например, известный специалист по основаниям математики П. Бернайс связывает с платонизмом такой подход к математическим объектам, при котором они рассматриваются независимо от какой-либо связи с мыслящим субъектом. (Цит по Рузавин, 1983. С.48). Эта независимость, по его мнению, выражается в том, что числа, фигуры, функции, множества и т. п. математические объекты постулируются существующими до их построения, вычисления и определения.

Такая позиция, постулирующая существование математических объектов, в частности, таких, как бесконечные множества различной мощности, приводит в теории множеств Кантора к парадоксам, ибо она (теория) в неявном виде предполагает использование принципа свертывания, суть которого состоит в следующем: (1) математические объекты, обладающие некоторым общим свойством, составляют множество; (2) это множество, в свою очередь, может рассматриваться как новый математический объект и, следовательно, может выступать в качестве элемента другого, более обширного множества; (3) множества, содержащие одни и те же элементы, считаются тождественными (Цит. по Рузавин 1983 С. 50). Процесс образования все более обширных множеств и «свертывания» множеств в элемент ничем не ограничивается. Это приводит к парадоксу Рассела-Цермело, в котором речь идет о множестве всех множеств, которые не содержат себя в качестве собственных элементов. Таким образом, принцип свертывания при неограниченном его использовании может привести к парадоксам. Поэтому большинство попыток устранения парадоксов теории множеств связано с отказом от платонистской ее интерпретации. Это выражается в том, что либо ограничивают объем вновь образованных множеств определенными рамками, либо отказываются от экзистенциальной точки зрения целиком, и занимают позицию интуиционизма и конструктивизма.