Философские проблемы математики (стр. 9 )

Бурбаки, Н. (1963) Очерки по истории математики. Москва.

Вандер ван дер наука. М., 1959.

Веркутис нового знания в математике: рефлексивные преобразования и рациональные переходы. Новосибирск, Сибирский хронограф, 2004.

Вернадский мысли натуралиста. М., 1988.

Вилейтнер, Г. (1960) История математики от Декарта до середины XIX столетия. Москва.

Вопрос о революциях в истории математики // Зарубежные исследования по философским проблемам математики 90-х гг. Научно-аналитический обзор. М., 1995. Серия «философия».

Гессен -экономические корни механики Ньютона.

Основания геометрии. М.-Л., ОГИЗ, 1948.

Грязнов . Рациональность. Творчество. – М., Наука, 1982.

Каган и его геометрия. М., 1955

Каган по геометрии. М., Мгу, 1963.

Карпенко идей и категорий математической статистики. М., 1979.

Социальная реальность объектов математики и естествознания // Философские проблемы математики. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск. НГУ, 2007.

Структура научных революций. М. Прогресс, 1977.

Математика в современном мире // Математика в современном мире. М., Мир, 1967.

Медведев, Ф. А. (1974) Развитие понятия интеграла. Москва.

Никифоровский, В. А. (1985) Путь к интегралу. Москва.

Новиков истории экологии животных. 1980.

Новиков на пороге XXI века. http://aspirant. *****/article. html? id=50768

Перминов представлений о надежности математического доказательства. М., МГУ, 1986.

Платон. Государство. Собр. соч. в 3 тт. Т

Пойа, Д. (1975) Математика и правдоподобные рассуждения. Москва.

Наука и метод. М.,

Пушкарев интегрального исчисления как новой реальности в математике // Гносеологический анализ представлений о реальности в науке. Новосибирск, НГУ. 2004.

Мудрость Запада. М., 1988.

История западной философии. Новосибирск, изд-во НГУ, 1997.

Рашевский к книге: Основания геометрии. М.-Л., ОГИЗ, 1948.

Диалоги о математике. М., Мир. 1969.

К методологии анализа феномена идеального // Философия. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск. НГУ, 2006-1.

Розов бытия математических объектов // Философские проблемы математики. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск. НГУ, 2007.

Розов к перестройке теории познания // На пути к неклассической эпистемологии. М., 2009.

Розов и инженерное конструирование // На теневой стороне. Новосибирск. Сибирский хронограф. 2004.

Розов социальных эстафет и проблемы эпистемологии. Смоленск, 2006-2.

Розов и проблема свободы человека // Философия. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск. НГУ, 2006.

Розов, М. А. Теория и инженерное конструирование, На теневой стороне. Материалы к истории семинара М. А. Розова по эпистемологии и философии науки в Новосибирском Академгородке. Новосибирск. 2006-1

Рузавин проблемы оснований математики. М., Наука, 1983.

, Горохов науки и техники. М., 1995.

Сухотин в математическом познании. Томск, 1977.

Сычева процессы формирования наук. Опыт эмпирического исследования. Новосибирск, 1984.

«Физическая математика» Архимеда, формирование интегрального исчисления и механизмы новаций в математике // SCOLH. Философское антиковедение и классическая традиция. 2012. Т. 6. Вып. 2. С. 350-365.

Успенский математики. СПб. Амфора 2010.

Фейнмановские лекции по физике. Т. 1. М., Мир.

Философские проблемы математики. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск, НГУ, 2007.

Бар- Философские замечания // Философские проблемы математики. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск, 2007

Цейтен, Г. История математики в XVI и XVII веках. Москва – Ленинград. 1933

Целищев новой философии математики // Философские проблемы математики. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск. 2007.

Целищев математики. Новосибирск, 2002.

Шереметевский, В. П. Очерки по истории математики. Москва. 2010

NetzR., NoelW. (2007) TheArchimedesCodex.DaCapoPress.

Список тем для докладов и рефератов по истории и философии математике

1. Природа методологической деятельности.

2. Специфика математического знания. Способ бытия математических объектов.

3. Отношение математики к действительности.

4. Математика как феномен человеческой культуры. Математика и философия. Математика и религия. Математика и техника. Математика и искусство.

5. Математика как наука, ее отношения с другими науками.

6. Философия математики, ее возникновение и этапы эволюции.

7. Доказательство – фундаментальная характеристика математического познания. Развитие представлений о надежности математического доказательства.

8. Причины и истоки возникновения математических знаний. Математика в догреческих цивилизациях.

9. Возникновение математики как теоретической науки в Древней Греции.

10. Аксиоматическое построение математики в «Началах» Евклида и его философские предпосылки.

11. Теория множеств как основание математики: Г. Кантор и создание «наивной» теории множеств. Открытие парадоксов теории множеств и их философское осмысление.

12. Математическая логика как инструмент обоснования математики и как основание математики. Фреге на природу математического мышления. Программа логической унификации математики.

13. «Основания геометрии» Д. Гильберта и становление геометрии как формальной аксиоматической дисциплины.

14. Внутренние и внешние факторы развития математической теории.

15. Концепция научных революций Т. Куна и проблемы ее применения к анализу развития математики. Специфика научных революций в математике.

16. Типы научных новаций в математике.

17. Поппера и концепция научных исследовательских программ И. Лакатоса. Возможность их применения к изучению развития математики.

18. Рефлексивные преобразования как механизм новаций в условиях неведения.

19. Пифагореизм как первая философия математики. Пифагореизм в сочинениях Платона. Критика пифагореизма Аристотелем.

20. Современные концепции эмпиризма в философии математики.

21. Платонизм (априоризм) в философии математики.

22. Взаимосвязь философии и математики в их историческом развитии.

23. Реализм как тезис об онтологической основе математики.

24. Социологические и социокультурные концепции природы математики.

25. Проблема обоснования математического знания на различных стадиях его развития.

26. Логицизм. Достижения и методологические изъяны.

27. Интуиционизм и конструктивизм как программы обоснования математики.

28. Программа абсолютного обоснования математических теорий Д. Гильберта. Геделя и программа Гильберта.

29. Прикладная математика, ее особенности.

30. Наука и ценности. Ценности науки и ценности ученого.

31. Наука и власть.

Хрестоматия по философии математики

К методологии анализа феномена идеального

(Методологические проблемы науки. Новосибирск, НГУ, 1981)

До нас дошла старая легенда, повествующая о соревновании двух живописцев. Оба выставили свои полотна на суд авторитетного жюри. Когда первый отдернул занавес, все увидели, что на картине изображены гроздья винограда, и птицы сразу стали слетаться, что­бы клевать ягоды. Судьи были восхищены мастерством художника, достигшего такого сходства с реальностью. «Теперь вы откройте свою картину», – попросили они второго мастера. «А она откры­та!» – ответил тот, и сразу стало ясно, что на картине изобра­жен занавес. Согласно легенде, победу одержал второй художник, ибо если первый ввел в заблуждение птиц, то второй – самих су­дей.

Легенда интересна, ибо наталкивает нас на следующий вопрос: а действительно ли картина должна обманывать зрителя? Вероятно, нет. Пока судьи видели занавес, они просто не видели картины, ее для них не существовало. А когда они увидели картину, исчез занавес. Исчез ли? Говорят, что он исчез как некоторая матери­альная реальность, но остался идеально в пространстве картины. Этот занавес нельзя пощупать, нельзя отдернуть, с ним нельзя оперировать как с реальным занавесом, но в то же время мы его видим и любуемся его тяжелыми складками. Легенда позволяет выде­лить три разных позиции, которые можно занимать по отношению к картине. Во-первых, можно отождествлять изображение с реальным объектом. В этом случае для нас не существует никакой картины. Во-вторых, можно не видеть изображение, но видеть холст, покры­тый пятнами краски. Картина в этом случае тоже отсутствует. Она возникает только в рамках третьей позиции, когда зритель соеди­няет, казалось бы, несоединимое. Он понимает, что перед ним раз­малеванный холст, но любуется гроздьями винограда или складками занавеса. Рассмотрим более детально эту третью позицию, ибо здесь как раз и возникает феномен идеального.

Итак, мы понимаем, что перед нами холст и краски, но видим нечто другое, чего на самом деле нет. Имея перед собой опреде­лённый предмет с конкретными свойствами, мы относимся к нему так, точно у него есть и совсем другие, отсутствующие на самом деле свойства. Как это возможно? За счет чего возникает столь парадоксальная ситуация? Для большей общности приведем еще один пример, который к тому же в интересующем нас плане является и более прозрачным. Представим себе фигуры на шахматной доске. С одной стороны, это самые обыкновенные деревяшки причудливой формы, но с другой, вдруг оказывается, что они должны занимать на доске строго определенное положение и перемещаться строго опре­деленным образом. Мы при этом хорошо понимаем, что имеем дело с деревянными фигурками и что перемещать их можно многими про­извольными способами. Их можно, например, катать по доске, мож­но встряхивать и бросать, как игральные кости... Но тогда это уже не будут шахматные фигуры. Подбрасывать можно деревяшку, но не ферзя. В такой же степени можно свернуть в трубку картину с изображением горного озера, но мы сворачиваем при этом холст, но не озеро. Ферзь на шахматной доске и озеро на картине очень напоминают друг друга. Но ферзь задан правилами игры, и именно эти условные правила делают обыкновенную деревяшку важным участ­ником шахматного сражения. Спрашивается, а не существует ли ана­логичных «правил», определяющих наше восприятие картины?

Прежде всего, что считать «правилом»? В шахматах – это сло­весные предписания, четко сформулированные и записанные в соот­ветствующих учебниках. Разумеется, воспринимая картину, мы не опираемся на правила такого типа. Но нельзя ли посмотреть на происходящее с более общей точки зрения? Правилом принято назы­вать такое предписание, которое выражено в языковой форме. Мы должны, следовательно, владеть языком. А где записаны «правила» использования слов? В конечном счете, нигде, но это не мешает человеку, знающему язык, использовать слова по назначению. Сло­ва очень напоминают шахматные фигурки, но никаких сформулирован­ных правил здесь в большинстве случаев нет. На что же мы опира­емся? Вероятно, на образцы. Осваивая язык, человек говорит так, как говорят окружающие его люди, он копирует речь других. И это имеет место не только в речи, но и в процессе освоения огромно­го количества других норм поведения и деятельности. Явление под­ражания хорошо известно у животных, оно лежит в основе так назы­ваемого опосредованного обучения... Но намного более глобаль­ную роль оно начинает играть в жизни общества, являясь исходным кирпичиком социальной наследственности и определяя в конечном итоге процессы воспроизводства социальной жизни.

Раз возникнув, те или иные элементарные формы поведения или деятельности сразу становятся образцами (нормативами) для дру­гих людей и начинают распространяться, подобно волне, образуя то, что мы называем социальными нормативными системами... При­мерами таких систем могут быть практика словоупотребления, традиционные формы приветствия, древние обычаи, сохранившиеся до наших дней, мимика и жесты, сказки и легенды, которые трансли­руются от поколения к поколению на протяжении многих столетий... Человек живет как бы в силовом поле многих нормативных систем, являясь их участником, они определяют его отношение к миру. Ло­гично предположить, что и отношение к картине, ее восприятие существенно детерминировано нормативными системами той культу­ры, к которой принадлежит зритель.

Можно сформулировать общий принцип, согласно которому любое отношение человека к окружающим объектам всегда опосредовано его отношением к другому человеку. За отношением «человек – вещь» всегда скрывается отношение «человек – человек» в качестве ис­ходного и определяющего. Назовем это утверждение принципом пер­сонификации. Каждый из нас живет в окружении многих привычных вещей, которые он использует строго определенным образом. Может показаться, что способ употребления, способ действия прежде все­го определяется свойствами самой вещи, что с ней просто нельзя обходиться иначе. Но это не так. Запустите в свою квартиру стадо обезьян и вы убедитесь, что знакомые вам предметы гораздо более полифункциональны, чем вы думали раньше. И если вы не перевора­чиваете свой письменный стол, не раскачиваетесь на люстре и не используете книжный стеллаж в качестве шведской стенки, то это вовсе не потому, что названные предметы сами не допускают столь безобразный способ их употребления. Они допускают, но это не при­нято. Иными словами, ограничивают нас не вещи, а нормативные сис­темы, в рамках которых мы живем, т. е. другие люди. Способ дейст­вия с предметом не вытекает непосредственно из его физических, химических и прочих свойств. Эти свойства, конечно, ограничива­ют круг возможных действий, но оставляют его всегда практически бесконечным. И в этом плане нет никакой существенной разницы меж­ду письменным столом и фигурой на шахматной доске. В обоих случа­ях мы имеем дело с определенным материалом, но письменный стол и ферзь – это не материал сам по себе, а функция, которая закреп­лена за этим материалом и «записана» в нормативной системе общест­ва.

Вернемся теперь к исходному пункту нашего рассуждения. Рассма­тривая картину, человек должен как бы объединить две позиции: он должен понимать, что перед ним холст, и в то же время относиться к нему как к предмету совсем иной природы, например как к гор­ному озеру. Абсолютизация любой из этих позиций уничтожает кар­тину. Но разве не то же самое мы имеем в случае с шахматной фи­гурой или письменным столом? Человек должен понимать, что стол – это деревянный предмет, который можно резать ножом, жечь, ис­пользовать в качестве плота... Но в то же время он должен видеть в нем нечто такое, с чем совершенно невозможно поступать таким образом. Абсолютизация первой позиции ведет к уничтожению фено­мена стола, абсолютизация второй – это иллюзия совпадения фено­мена с материалом. В случае с картиной, например, мы можем нас­только впасть в иллюзию, что захотим выкупаться в горном озере, в случае со столом мы можем уверовать, что он на самом деле не горит и не режется ножом. Ясно теперь, что мы имеем здесь дело с общей закономерностью, характерной для отношения человека к любым объектам, включенным в его деятельность. Ясен и механизм возникновения подобного рода ситуаций – это отсутствие однознач­ного соответствия объективных свойств вещи и способов ее исполь­зования. Первые изначально присуши материалу вещи, вторые обус­ловлены социальными нормативными системами, традициями, истори­ческим опытом.

В свете сказанного можно перейти к основному вопросу, который подлежит обсуждению: что собой представляет феномен идеального, с которым обычно связывают восприятие картины? Зритель, понимая, что он имеет дело только с размалеванным холстом, утверждает, что и горное озеро и виноград все же существуют, но существуют не материально, а идеально. Каков смысл этого утверждения и как оно возникает? Заметим, что нам пока при описании ситуации вовсе не требовалось вводить понятие идеального, мы обходились вполне материальными объектами и процессами. Вещи, включаемые в челове­ческую деятельность, – это материальные вещи. Но в такой же сте­пени материальны и нормативные системы, задающие способы упот­ребления этих вещей, – это вполне материальные процессы воспроиз­водства деятельности, основанные на способности к подражанию. Восприятие картины требует понимания языка живописи, который, кстати, может быть и очень условным, а усвоение языка – это воспроизведе­ние существующих вокруг нас образцов поведения других людей. Ни­чего «идеального» здесь нет, оно ускользает от нашего анализа, как некая бесплотная тень. Крестьянин старой русской деревни верил, что у него в хате живет домовой. Что значит верил? Он об­щался с ним, разговаривал, вел себя соответствующим образом... Казалось бы, вот типичный случай: домового в действительности нет, но он существует идеально, иначе как объяснить поведение крестьянина? Ничуть не бывало! Перед нами обычное явление рас­смотренного типа, когда поведение человека не может быть одноз­начно выведено из ситуации, но определяется социальной наследст­венностью, традицией, т. е. в конечном итоге нормативными систе­мами общества

И все же именно здесь возникает этот загадочный феномен идеального. Платон пишет о геометрах: «Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится и к произведениям ваяния и живописи: от них падает тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленный взором» (Платон. Соч. Т. 3(1). С. 318). Что же та­кое этот платоновский «четырехугольник сам по себе», как он по­является? Ведь ситуация очень напоминает ситуацию с шахматным ферзем или с домовым. Работая с чертежом и строя свои утвержде­ния, геометр не обращает внимания на неровности линий, на то, что диагональ проведена не до конца, и на многие другие небреж­ности исполнения. Этих небрежностей для него как бы не существу­ет. Иначе говоря, поведение геометра и его утверждения не могут быть выведены из особенностей того объекта, с которым он непосредственно действует, он действует как бы с чем-то других. И Платон вводит представление об особых идеальных объектах.

Пора высказать основной тезис, ради которого пишется эта ста­тья. Идеальное – это феномен определенной точки зрения, определенной позиции, точнее, это феномен неполноты выделения исследуемой системы. Стоит нам ограничить себя анализом отношения «человек –предмет», «человек – вещь», стоит забыть принцип персонификации, и сразу оказывается, что поведение человека не выводимо из объ­ективной ситуации, а иногда прямо ей противоречит. Оперируя не­посредственно с конкретным, чувственно данным предметом, человек в то же время действует как бы с чем-то другим. Видимый предмет точно одевается невидимыми гранями, которые определяют поведе­ние человека. Это другое и есть идеальное, ибо в рамках выде­ленной системы его никак нельзя определить, кроме как через про­тивопоставление материальной вещи. Но стоит расширить систему, раздвинуть ее рамки, и станет ясно, что человеческое поведение детерминировано другими людьми, обществом в целом, что оно глу­боко социально по своей природе, и что феномен идеального – это только эхо или тени, подлинные причины которых не попали в поле нашего зрения.

Значит ли это, что понятие идеального не имеет смысла? Нет, конечно. Далеко не всегда рационально рассматривать ту или иную систему в целом, учитывая все многообразие взаимосвязей. Но за неполноту выделения всегда приходится платить и, в частности, понятиями, подобными понятию идеального. Идеальное в этом плане очень напоминает силы инерции. Представим себе закрытый вагон, который движется равномерно и прямолинейно. На полу вагона лежит биллиардный шар. Допустим теперь, что мы начинаем тормозить, при­кладывая каким-либо образом к вагону силу, например, прижимая к колесам тормозные колодки. Вагон замедляет свое движение, а бил­лиардный шар, продолжая двигаться равномерно и прямолинейно, при­обретает ускорение относительно стенок вагона. Так выглядит все с точки зрения внешнего наблюдателя, выделяющего всю систему вза­имодействий. Ему, в частности, очевидно, что на шар не действу­ет никакая сила, сила действует на вагон.

Совсем иная ситуация складывается для наблюдателя внутри ва­гона. Он вообще не знает, движется вагон или покоится, но вдруг начинает замечать, что все вещи в вагоне приобретают ускорение. Ускорение можно объяснить только наличием силы, но окружающие его вещи ни с чем не взаимодействуют, что явно противоречит третьему закону Ньютона. И тогда внутренний наблюдатель вводит представле­ние об особых силах, о силах инерции, которые являются фиктивными, но позволяют ему понимать происходящее, не выходя за пределы ваго­на. Фиктивные силы – это плата за неполноту выделения системы.

Также и понятие идеального. Ограничив себя рассмотрением отно­шения «человек – вещь» или «объект – субъект», мы как бы попадаем в закрытый вагон, но сразу обнаруживаем, что в рамках выделен­ного таким образом мира мы далеко не все можем объяснить. И тогда ми вводим особые «идеальные силы», которые в действительности есть лишь проявление реальных социальных сил. Специальный детальный анализ этих последних далеко не всегда оправдан, ибо предста­вляет собой особую и чаще всего достаточно сложную задачу. Не всегда поэтому рационально выходить из «вагона». Утверждая, например, что обыкновенная деревянная фигурка идеально является ферзем и поэтому обладает неизмеримо большей ценностью и силой, чем фигурка-пешка, мы, с одной стороны, объясняем, что надо исходить не из материальной природы этих предметов, а с другой, избавля­ем себя от громоздкого и ненужного в данном случае анализа исто­рического формирования нормативных систем шахматной игры.

Итак, феномен идеального обусловлен нашей позицией, нашей точ­кой зрения при описании человеческой деятельности. Единство мира в его материальности. Однако любое отношение человека к объекту определяется не только его индивидуальными свойствами или свой­ствами объекта, но и сложной совокупностью социальных сил, имеющих свои особые законы развития. Упрощая эту картину и замыкаясь в рамках отношения «объект – человек», мы вынуждены взамен реальных сил вводить фиктивные идеальные «силы» в качестве своеобразной платы за неполноту выделения системы. Это нужно для объяснения тех явлений, которые никак не вытекают из материальных харак­теристик взаимодействующих сторон. В такой же степени и силы инер­ции в нашем примере предназначены для объяснения ускорений, не связанных с взаимодействием тел внутри вагона.

Вопросы

1. Какие три позиции может занимать человек, рассматривая произведения живописи?

2. В какой из них отсутствует и в какой из них присутствует феномен идеального?

3. Что именно люди имеют в виду, когда употребляют слово «идеальное» в данном случае?

4. Что общего между шахматной фигурой и художественным изображением (изображенным на холсте горным озером)?

5. В каких двух формах передается опыт деятельности от человека к человеку? Как они связаны друг с другом?

6. Что такое социальная нормативная система? Чем она напоминает волну? Как понять утверждение, что человек живет в силовом поле многих нормативных систем?

7. В чем состоит принцип персонификации? Как помогает его выявить поведение стада обезьян, запущенных в нашу квартиру?

8. Что общего между письменным столом и шахматной фигурой?

9. Какую общую закономерность можно выявить в отношении человека к любым объектам, включенным в его деятельность?

10. Материальная природа социальных нормативных систем и источник возникновения загадочного феномена идеального, когда поведение человека не может быть однозначно выведено из ситуации, в частности, из материала вещей, с которыми он оперирует.

11. Идеальное как феномен определенной точки зрения при описании человеческой деятельности:

– феномен неполноты выделения системы;

– феномен невыводимости поведения человека из объективной ситуации;

– феномен идеального как тень или эхо, подлинные причины которых не попали в поле нашего зрения;

– идеальные силы как проявление (материальных) реальных социальных сил.

Способ бытия математических объектов

(Методологические проблемы развития и применения математики. М., 1985)

Онтологический статус математических объектов или, что то же самое, способ их бытия – это одна из проблем философии математики, которая, начиная еще с Платона, породила огром­ную литературу. Мы не претендуем в этой маленькой заметке на анализ существующих здесь дискуссий и точек зрения, а огра­ничимся рядом соображений, цель которых показать тесную связь названной проблемы с аналогичными фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук. Впрочем, на наличие такой связи в принципе уже указывали и сами математики (1).

В качестве отправного пункта для рассуждения возьмем точку зрения на природу натуральных чисел. Гудстейн сопоставляет арифметику с шахматами и пишет: «...шахматный король – это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной партии, – роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли, которые цифры играют в языке, это и есть числа. Арифметические правила, аналогично шахмат­ным правилам, формулируются в терминах дозволенных пре­образований числовых знаков» (2). Шахматные фигуры можно сделать из дерева или из пластмассы, цифры можно писать каран­дашом на бумаге или вырезать на камне... Материал не имеет значения, все определяют правила «ходов», которые и задают роли. Приведенную точку зрения не трудно обобщить, ибо боль­шинство окружающих нас предметов тоже выполняют опреде­ленные роли в нашей жизни и практической деятельности, роли, которые отнюдь не заданы однозначно самим материалом этих вещей, но предполагают наличие некоторых правил, обычаев, традиций... Да и сами мы постоянно играем определенные со­циальные роли.

Мы сталкиваемся здесь с двумя разными подходами к одно­му и тому же явлению. Можно играть в шахматы, углубляясь в анализ позиций, и совершенно не интересоваться тем привыч­ным, но, вообще-то говоря, удивительным фактом, что обыкновенные деревяшки вступают друг с другом на доске в многообраз­ные отношения, напоминая чем-то актеров на сцене. Мы как бы попадаем в этом случае во власть некоего «гипноза» шахматной игры и «грезим» наяву, наблюдая, как борются друг с другом деревянные фигурки. Но можно посмотреть на все и с другой точки зрения, поставив вопрос о механизмах этого «гипнотиче­ского» воздействия, о причинах возникновения самой шахматной иллюзии. Это другой подход, неинтересный для шахматиста, но принципиально важный для философа, для гносеолога.

Аналогичным образом можно впадать в иллюзию искусства, сопереживая героям художественного произведения, а можно ставить вопрос о способе бытия этого мира, который удивитель­ным образом вырастает со страниц книги. Мы подходим здесь к традиционной проблеме литературоведения: что такое литера­турное произведение, каков его онтологический статус? (3). Приме­нительно к математике эту проблему достаточно четко поставил еще Платон. Ему было ясно, что геометр, рисуя на песке четы­рехугольник и проводя диагональ, говорит при этом о каком-то другом четырехугольнике и о другой диагонали. Что же собой представляют эти идеальные геометрические объекты? (4). Речь при этом идет не о свойствах этих объектов, не о способах их по­строения, а о способе их бытия.

Разницу выделенных подходов можно проиллюстрировать с помощью следующей аналогии. В калейдоскопе мы наблюдаем смену различных узоров, но ничего не узнаем при этом о строе­нии калейдоскопа. Иными словами, нам не ясен при этом спо­соб бытия или механизм существования этих узоров. Напротив, разобрав калейдоскоп, мы получаем возможность описать его устройство, но не наблюдаем при этом никаких узоров. Выяс­нение способа бытия математических объектов, как и другие указанные нами аналогичные проблемы, требуют разборки «ка­лейдоскопа».

Но вернемся к ролевой концепции натуральных чисел. С шахматами дело обстоит, казалось бы, просто, ибо роли фигур заданы здесь достаточно четкими правилами ходов, и трудно представить себе шахматы без этих правил. Но так ли в слу­чае арифметики? Натуральные числа и навыки счета появились в практике человека много тысячелетий тому назад, чуть ли не на заре развития человечества (5), а аксиоматизация арифметики – это дело второй половины XIX века. «До XIX века, – пи­шет Н. Бурбаки, – ученые, по-видимому, не пытались определить сложение и умножение натуральных чисел иначе, чем путем пря­мого обращения к интуиции» (6). Но тогда возникает принципиаль­ный вопрос: чем задана роль числовых знаков в языке в усло­виях отсутствия явно сформулированных правил?

Вопрос этот не новый, и прежде всего он уводит нас в линг­вистику, в проблему выяснения механизмов существования самого языка. Очевидно, что носитель языка может и не знать правил грамматики. Как же он говорит? Можно ли считать, что те правила, которые формулирует грамматика, до этого как бы существуют имплицитно, т. е. в скрытом виде, в сознании говорящего? Как он приобрел эти правила, если они не являют­ся врожденными? Все эти вопросы породили немало дискуссий и точек зрения (7). Мы сформулируем здесь одно из возможных ре­шений, которое будет иметь принципиальное значение для все­го дальнейшего обсуждения.

Ребенок заимствует язык непосредственно из той языковой среды, в которой он развивается. Но это значит, что у него нет никаких иных путей усвоения языка, кроме как воспроизведения образцов речевого поведения, которые демонстрируют ему взрослые. Мы можем отвлечься от конкретных физиологических или психологических механизмов такого воспроизведения. Важ­но следующее: так называемые имплицитные правила граммати­ки существуют для ребенка только в виде конкретных образ­цов, ребенок усваивает язык, подражая взрослым. Речевое по­ведение воспроизводится и передается от поколения к поколе­нию как своеобразная эстафета, и подражание – это механизм передачи эстафетной палочки.

Системы, которые воспроизводят себя на уровне подражания, на уровне процессов-эстафет, мы будет называть нормативными системами (8). К их числу относится не только язык, не только речь, но в конечном итоге и все остальные виды человеческой деятельности, включая и деятельность в рамках науки. Шахма­ты – это тоже нормативная система. Во-первых, правила игры не могут быть сформулированы без языка, а во-вторых, далеко не весь шахматный опыт вербализуется в виде правил. Социаль­ные процессы-эстафеты напоминают волну, которая бежит по поверхности водоема, вовлекая в движение все но­вые частицы жидкости. Обычаи и традиции, научные школы, литературные направления – это частные случаи такого рода «волн». Они давно стали объектом специального исследования в гуманитарных науках, но в основном в плане диахронии, а не синхронии, в плане анализа исторической преемственности, а не при выяснении способа бытия отдельных социальных явлений.

Мы возвращаемся к двум способам описания, о которых уже говорилось выше. Можно описывать шахматы путем формули­ровки правил ходов, а можно говорить о традиции комбинацион­ной игры или о традициях советской шахматной школы. Это два, казалось бы, совершенно разных типа подхода, два разных предмета исследования. Но мы забываем при этом, что сами шахматы как таковые с их правилами ходов воспроизводят се­бя только как нормативная система, т. е. существуют только в рамках определенных процессов-эстафет. Эти процессы есть механизм существования шахмат, способ их бытия. Возвращаясь к основной теме нашей статьи, можно сказать, что эстафеты – это способ бытия и математических объектов. А два вида описа­ния, если продолжить аналогию с волной, напоминают следую­щее: можно описать распространение круговых волн на воде от упавшего камня, а можно выделить отдельную частицу жидко­сти и описать ее траекторию. Фиксируя правила шахматных хо­дов или правила оперирования с числовыми знаками, мы описы­ваем не социальную «волну», а только то «возмущение», которое она вызывает в нашей деятельности, перекатываясь от поколе­ния к поколению.

Соотношение двух видов описания имеет принципиальное значение для гуманитарных наук. Начнем с примера. Допустим, что историк математики изучает «Начала» Евклида и хочет описать способы рассуждения древнегреческого геометра. Он легко обнаружит, что Евклид в своих доказательствах исходит из некоторых допущений, которые нигде в явной форме не сфор­мулированы. Как он должен поступить? Первый путь – сформу­лировать эти допущения, т. е. те правила, по которым действо­вал Евклид. Но сделав так, историк получит новую аксиоматику, может быть, аналогичную аксиоматике Гильберта, и не столько опишет работу Евклида, сколько продвинет геометрию вперед. Второй путь – предположить, что Евклид действовал вовсе не по правилам, а просто воспроизводил существующие в его время образцы математических рассуждений. Но каково содержание этих образцов? Описать их – это значит сформулировать не­которые правила или допущения, которых у Евклида не было, а простое указание делает описание почти бессодержательным. Вопрос упирается в следующее: можно ли объединить два типа описания, насколько правила, которые мы формулируем, адекватно передают содержание образцов?

Ответ предполагает уточнение того, что мы понимаем под воспроизведением социальных образцов. Известно, что акты по­дражания имеют место уже у животных, было бы, однако, боль­шой ошибкой рассматривать человеческую способность действо­вать по образцам как чисто биологическое подражание. Живот­ные за редким исключением сильно ограничены в своем выборе как способов действия, так и объектов оперирования. Что ка­сается человека, то он, вообще говоря, имеет здесь огромное ко­личество степеней свободы. Проиллюстрируем возникающие в связи с этим трудности на примере так называемых остенсивных определений. Представьте себе, что вам указали на предмет, имеющий форму раковины, и сказали: «Это пепельница». Что обозначает введенное таким образом слово и как вы должны его в дальнейшем употреблять, следуя образцу? Вероятно, словом «пепельница» вы должны обозначать все то, что похоже на про­демонстрированный предмет, но в том-то и дело, что на него в том или в другом отношении похоже почти все. Слово может обозначать предмет, стоящий на столе, определенный цвет или материал, форму раковины, функциональное назначение и мно­гое, многое другое. Это значит, что отдельно взятый образец не задает четкого множества возможных реализаций или, что то же самое, соответствующая нормативная система не является стационарной.

Чем же тогда объяснить, что в обществе мы сталкиваемся с достаточно устойчивыми традициями, что шахматисты не нару­шают правила игры, что, используя язык, мы в основном пони­маем друг друга? Объяснить это можно социальным контекстом, тем, что человек имеет дело не с изолированными образцами, а с множеством взаимосвязанных образцов. Именно социальный контекст и ограничивает наши степени свободы. В приведенном примере с пепельницей мы не будем, скажем, использовать новое слово для обозначения цвета, ибо соответствующее обозначение уже есть, не будем обозначать предмет, стоящий на столе, ибо уже имеем для этого другие языковые средства... Сказанное означает, что стационарность нормативных систем – это со­циальный, а не биологический феномен. Впрочем, если быть точ­ным, то можно говорить только об относительной стационар­ности.