Философские проблемы математики (стр. 7 )

В тех же тетрадях лекций по геометрии, в которых мы встречаем различные попытки доказательства пятого постулата Евклида, мы находим и различные попытки обоснования геометрии (Васильев 1992 С. Лобачевский пытался дать себе отчёт в тех первичных понятиях, из которых исходит геометрия. Так, в одной из тетрадей геометрия определяется как наука о пространстве: "геометрическое тело есть часть полного пространства, простирающаяся во все стороны, но вместе с тем ограниченная". Поверхность есть граница тела, граница поверхности есть линия, граница линии - точка. Далее Лобачевский делает попытку определить свойства пространства. В другой тетради он уже избегает слова "пространство", но вводит вместо него понятие "протяжение". Именно протяжения, по мнению Лобачевского, составляют предмет геометрии. Соответственно, протяжение одного измерения называется в геометрии линией, а протяжение двух измерений - поверхностью. Связь же между протяжениями различных измерений устанавливается движением. Линия происходит от движения точки, поверхность - от движения линии, а тело - от движения поверхности. Наконец, в третьей тетради Лобачевский вместо понятия "протяжение" вводит, как основное, понятие "прикосновение тел". Через прикосновение двух тел Лобачевский определяет поверхность, линию, точку. И такой подход к основаниям геометрии оказался у Лобачевского окончательным. Его он проводит во всех своих зрелых работах. Этот подход наиболее соответствует тем гносеологическим установкам, которых Лобачевский придерживался в отношении геометрии. Для него геометрия - опытная наука. И он стремится рассматривать её как учёный-эмпирик. Основными понятиями геометрии не могут быть ни пространство, ни протяжение, ни поверхность, ни линия и т. п., потому что они существуют только в воображении. Ясное же понятие, по мнению Лобачевского, может быть соединено только с теми словами, которым можно указать прямые референты в реальном мире. Поэтому в предисловии к "Новым началам геометрии…" (12) он формулирует следующую точку зрения: "В природе нет ни прямых, ни кривых линий, нет плоскостей и кривых поверхностей, в ней находим одни тела, так что всё прочее создано нашим воображением, существует только в теории". Лобачевский считает, что с помощью чувств мы познаём в природе одни только тела. Это факт, от которого нельзя отвернуться, и поэтому он предлагает считать основным объектом геометрии тело, а основными отношениями между телами - их прикосновение. Все остальные понятия должны быть определены через эти основные.

Таким образом, главным злом в основаниях геометрии Лобачевский, в конце концов, стал считать "темноту", "отвлечённость" начальных геометрических абстракций и направил свои усилия на то, чтобы возвратиться от них к тем понятиям, которые "непосредственно соединены с представлениями тел в нашем уме, к которым наше воображение приучено, которые можно поверять в природе прямо, не прибегая наперёд к другим, искусственным и посторонним" (Яновская 1950).

Возвратимся теперь к постулату о параллельных. Вдумываясь всё более и более в начальные понятия геометрии, Лобачевский начал, по-видимому, отчётливо сознавать, что неудачи в доказательстве пятого постулата не случайны. Он пришёл к выводу, что в самих понятиях, с которыми имеет дело геометрия, ещё не заключается той истины, которую хотим доказать (Яновская 1950 С. 147). Поэтому Лобачевский начинает “Пангеометрию” следующими словами: “Понятия, на которых основывают начала геометрии, недостаточны, чтоб отсюда вывести доказательство теоремы: сумма трёх углов прямолинейного треугольника равна двум прямым... Недостаточность начальных понятий для доказательства приведённой теоремы принудила геометров допускать вспомогательные положения, которые как ни просты кажутся, тем не менее произвольны и, следовательно, допущены быть не могут” (Лобачевский 1946 С. 137). Итак, постулат Евклида не обоснован ни логически, ни эмпирически! Возможно, что опыты Лобачевского по тотальному эмпирическому обоснованию геометрии были реакцией русского математика на то странное обстоятельство, что все попытки строго логического доказательства постулата о параллельных терпели неизбежный крах. Но положительного результата, в этом отношении, не дали и они. Постепенно Лобачевский понял ограниченность эмпирического метода в геометрии. Поскольку геометрические свойства пространства зависят от физических свойств тел и могут, следовательно, меняться с изменением этих физических свойств, то ничего не стоит, как стал считать русский математик, и аргументация к тому, что следствия из евклидовой теории параллельных совпадают с результатами самых точных измерений. Ведь “за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений” (12) может быть действительной совсем иная геометрия. Поэтому по-прежнему оставались две возможности – гипотеза прямого и гипотеза острого угла. Хотя, может быть, Лобачевский и более, чем кто-либо, ясно сознавал, что они обе произвольны и необоснованны. Пойти дальше Саккери и Ламберта гениальный русский математик смог лишь после одного неожиданного открытия.

Впервые новая теория параллельных была публично изложена Лобачевским 11 февраля 1826 года в докладе, прочитанном на заседании физико-математического отделения Казанского университета. Текст доклада до нас не дошёл, но известно, что все его основные идеи вошли в первое сочинение Лобачевского по геометрии, напечатанное при его жизни - “О началах геометрии” (1830). В этой работе, как Саккери и Ламберт, Лобачевский рассматривает следствия гипотезы острого угла. Но в основном лишь постольку, поскольку это необходимо ему для обоснования удивительного открытия: геометрия, возникающая при принятии гипотезы острого угла, заключает в себя собственно евклидову геометрию как частный случай! “Другое предположение и одно, которое до сих пор допускали Геометры, - пишет Лобачевский, - заключается также в этом общем (гипотезе острого угла – М. В.), с тем ограничением, что линии должно рассматривать бесконечно малыми...” (Лобачевский 1956 С. 199). Поэтому геометрия Евклида является предельным случаем новой геометрической системы. Итак, работа в рамках обоснования евклидовой геометрии привела к результату, который прямо показывает на то, что мы вышли за рамки этой геометрии. Мы работаем уже в какой-то иной математической программе. Таким образом, существовала некоторая поворотная точка, после которой стало абсолютно ясно, что, развивая гипотезу острого, угла мы имеем дело уже не со странными разрозненными фактами, а с фрагментами иной геометрии. После этого почти с необходимостью должно было произойти, говоря языком психологии, переключение гештальта. Должен был сработать механизм рефлексивно-симметричных преобразований.

Для того, чтобы рассмотреть этот вопрос подробнее, обратимся ещё к одной работе Лобачевского. Речь идёт о небольшой работе “Геометрические исследования по теории параллельных линий” (1840). В ней в наиболее ясной и логически совершенной форме гениальным русским математиком были изложены идеи новой геометрии. По выражению , она является “одним из наиболее блестящих перлов математической литературы” (Каган 1949 С. 277). Именно по ней Гаусс, а вслед за ним и другие западные математики познакомились с творчеством Лобачевского.

По содержанию “Геометрические исследования...” можно разбить на три основные части. В первой части (главы I-V) Лобачевский даёт перечень некоторых положений абсолютной геометрии, которые он будет в дальнейшем использовать. После этого он встаёт на точку зрения гипотезы острого угла и выводит из неё ряд следствий. Во второй части (главы VI-VIII) он после необходимых подготовительных предложений вводит понятия о предельной линии и предельной поверхности и доказывает теорему, что геометрия предельной поверхности формально совпадает с евклидовой планиметрией. Наконец, в третьей части (главы IX-XI) Лобачевский излагает неевклидову тригонометрию. Неевклидова тригонометрия завершает синтетическое развёртывание новой геометрической системы. “После этого, - пишет Лобачевский, - всё прочее в геометрии будет уже аналитикой” (Лобачевский 1956 С. 260). Таким образом, переход от первой части, развивающей новую геометрию до уровня Саккери и Ламберта, к третьей части, в которой выводятся ключевые формулы неевклидовой тригонометрии, предполагает вторую часть, в которой впервые появляются геометрические образы, которых не существует в евклидовой геометрии – предельные линии и поверхности. Именно с этими образами связано то “возрождение евклидовой планиметрии в недрах неевклидовой геометрии, к которому с различных точек зрения пришли все (курсив мой – М. В.) творцы неевклидовой геометрии” и которое “составляет наиболее важный момент в её развитии” (Каган 1963 с.405).

Нам сложно по изданным геометрическим работам Лобачевского в точности судить о том, как он пришёл к открытию предельных поверхностей. А каких-либо набросков его геометрической системы, могущих осветить интересующий нас вопрос, по-видимому, не сохранилось. Зато до нас дошли многочисленные рукописные тетради Бойяи (см. Васильев 1992 С. Из них видно, что ещё в 1820 году он пришел к мысли рассматривать круг с бесконечно большим радиусом и поставил теорию параллельных линий в связь с вопросом, является ли этот круг (т. е. предел, к которому стремятся круги при увеличении радиуса до бесконечности) прямой или же иной линией. Видимо он считал, что какая-то из этих альтернатив ведёт к опровержению гипотезы острого угла. Должно было пройти три года, прежде чем эта гениальная мысль позволила ему начать обработку “неевклидовой геометрии” и ещё два года для того, чтобы закончить её. Как и Бойяи, Лобачевский, по всей видимости, пришёл к идее предельной линии и предельной поверхности, пытаясь отыскать те следствия гипотезы острого угла, которые могли бы её опровергнуть. Попробуем на интуитивном уровне реконструировать возможный ход рассуждений.

Возьмём некоторую совокупность параллельных прямых линий собственно евклидовой геометрии. Проведём линию, к которой все эти параллельные будут расположены под прямым углом (ортогонально). Эта линия будет называться ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Очевидно, что ортогональной траекторией пучка параллельных прямых в евклидовой плоскости является прямая линия. Это логическое следствие пятого постулата Евклида. Действительно, проведём прямую линию ортогонально одной из линий пучка параллельных, тогда, в силу пятого постулата, она будет ортогональна всем этим линиям. А так как к одной точке нельзя опустить два различных перпендикуляра, то прямая линия будет единственной ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Если П – постулат о параллельных, а А – утверждение об ортогональности прямой линии пучку параллельных прямых, то в собственно евклидовой геометрии истинна следующая формула: П > А. Но что будет ортогональной траекторией пучка параллельных прямых при принятии гипотезы острого угла (т. е. при П )? В этом случае параллельные прямые неограниченно сближаются. Поэтому их можно представить, как сходящиеся в бесконечно удалённой точке. Тогда пучок таких параллельных можно рассматривать как радиусы окружности с бесконечно удалённым центром. Несомненно этот образ посещал Бойяи в 1820 году. Но обратимся снова к собственно евклидовой геометрии. Рассмотрим в ней окружность и пучок прямых линий, проходящих через её центр. Эти прямые будут ортогональны окружности. Она будет для них ортогональной траекторией. Будем теперь рассматривать окружность всё большего и большего радиуса. При радиусе окружности, стремящемся к бесконечности, любая конечная её дуга будет сколь угодно близко приближаться к соответствующему отрезку прямой линии, т. е. дуги как бы “выпрямляются”, их кривизна может быть сделана меньше любой заданной величины. В этом смысле говорят, что в евклидовой плоскости с увеличением радиуса окружность неограниченно приближается к прямой линии. Такая прямая будет называться предельной линией. Поэтому предельной линией называют и ортогональную траекторию пучка параллельных прямых неевклидовой геометрии. Но будет ли она прямой линией и здесь? Положительный ответ на этот вопрос приводит к опровержению гипотезы острого угла. Действительно, в этом случае было бы справедливо, что П > А. Но из А следует П. Если пучок параллельных линий в евклидовой плоскости ортогонален некоторой прямой, то любая прямая, которая не была бы ей ортогональна, в то же время не будет параллельна ни одной линии из этого пучка. Она пересечёт его, что эквивалентно пятому постулату Евклида. Тогда получается, что П > А > П. И цель многовековых усилий достигнута.

Если это и был замысел Бойяи, то он потерпел крушение. Предельной линией пучка параллельных прямых в случае принятия гипотезы острого угла является не прямая линия, но некоторая кривая – орицикл, как её называет Лобачевский. Но здесь основателей неевклидовой геометрии и ждало неожиданное открытие. Если предельную линию – орицикл вращать вокруг одной из её осей, то получается своеобразная поверхность, которую Лобачевский называет предельной сферой или просто предельной поверхностью. Оказалось, что в пространстве Лобачевского предельная поверхность несёт на себе двумерную евклидову геометрию! Когда мы отказываемся от евклидовой геометрии на плоскости, она не прекращает своего существования. И хотя она не выполняется на гиперболической плоскости (плоскости пространства Лобачевского), но она переходит на другую поверхность – на предельную поверхность. Сумма углов треугольника на предельной поверхности всегда равна двум прямым. На ней будет справедливо каждое предложение евклидовой планиметрии, если под прямой разуметь предельную линию.

Итак, на некотором частном фрагменте геометрии, возникающей при принятии гипотезы острого угла, справедлив пятый постулат Евклида! Отсюда и вытекает, что новая геометрическая система является более общей, по сравнению с собственно евклидовой геометрией, и включает её в себя, как частный случай. Так впервые был осуществлён радикальный выход из евклидовой программы развития геометрии. До этого тень александрийского математика неотступно висела почти над каждым творческим усилием европейских геометров. После этого стало почти неизбежным переосмысление всего геометрического материала, полученного с помощью вывода следствий из гипотезы острого угла. Стало почти неизбежным переключение гештальта и рефлексивно-симметричные преобразования. Но замечательно и то, что открытие предельных поверхностей придало не только психологическую уверенность первооткрывателям новой геометрии, но и ключ к её дальнейшему развитию.

Вместе с восстановлением евклидовой геометрии в неевклидовом пространстве сохраняются и все средства евклидовой планиметрии и прежде всего её тригонометрия. С древности существовал известный приём для построения тригонометрии сферы. В евклидовом пространстве мы, исходя от плоскости, надлежащей проекцией её на сферу, получаем сферическую тригонометрию. Подобным образом действует в нашем случае и Лобачевский. Проектируя “предельные треугольники” на плоскость, он приходит к тригонометрии прямолинейного треугольника в гиперболической плоскости. Именно после этого “всё прочее в геометрии стало уже аналитикой”. Располагая тригонометрией гиперболической плоскости, Лобачевский получил возможность построить в своей “воображаемой геометрии” аналитическую геометрию, дифференциальную геометрию, вести интегральные вычисления – довести созданную им геометрию до тех высот, до которых в течении трёх тысячелетий поднималась классическая геометрия Евклида (2, с.

Если учесть, что Гаусс в его письме отцу Иоанна Бойяи Вольфангу Бойяи от 6 марта 1832 года прямо пишет о том, что он уже давно не просто пришёл к тем же результатам, что и его сын, но и тем же самым путём (Васильев 1992 С. 121), то можно со всей ответственностью утверждать, что существовала вполне однозначная, жёсткая логика открытия гиперболической геометрии, хотя это и не была логика математического вывода.

Вопросы

1.  Прочитайте законы развития математики Майкла Кроу. Приведите примеры действия законов 1 -9.

2.  На основании чего Кроу сформулировал 10ый закон? Согласны ли Вы с этим законом7

3.  Как Мертенс описывает появление неевклидовой геометрии? Что именно он считает революционным в этом случае?

4.  Как Мертенс описывает то, что происходит «в» математике? «о чем математика? Что он включает в математику, а что – нет?

5.  Являются ли позиции Мертенс и Кроу относительно революций в математике несовместимыми?

6.  Как трактует революцию в математике Д. Даубен?

7.  Как связаны революционные работы по обоснованию математического анализа Коши с преподаванием математики, с реформой системы образования?

8.  Является ли развитие математики кумулятивным процессом? Каково мнение Даубена?

9.  Грошольц описывает математические новации Лейбница?

10.  Данморе включает в метауровень математики? Как она трактует революции в математике?

11.  Является ли создание математического анализа революцией? Приведите аргументы за и против.

12.  Э. Кении о революционных и трансформационных событиях в истории математики.

13.  Составьте единую типологию взглядов на факторы изменений математики, выявленные при обсуждении понятия научной революции в математике.

1.  Назовите особенности «нового мира», которым является неевклидова геометрия.

2.  Что такое незнание и неведение?

3.  Что называет поризмом?

4.  Назовите 10 «законов» развития математики (Веркутис нового знания в математике: рефлексивные преобразования и рациональные переходы. Новосибирск, 2004. стр. 87-88)

5.  Каким должна быть деятельность ученых для обнаружения новых, неведомых явлений?

6.  Какую традиционную для геометрии задачу решали Лобачевский и Бойяи, когда они «натолкнулись» на новый неведомый мир неевклидовой геометрии?

7.  Чего не сделали их предшественники, многие из которых реально доказали ряд теорем новой геометрии, но справедливо не считающиеся ее творцами?

8.  Как устроены «Начала» Евклида? Назовите аксиомы и постулаты Евклида. Что такое абсолютная геометрия?

9.  В чем специфика V постулата Евклида? Почему его стремились доказать еще в Древней Греции?

10.  Что такое гипотеза острого угла? Тупого?

11.  Возникла ли геометрия Лобачевского «путем простого удлинения доказательных рассуждений» от противного?

12.  Как понимает рефлексию ? Что такое системы с рефлексией? Рефлексивно-симметричные преобразования деятельности?

13.  Как можно объяснить открытие Галуа (введение понятия группы), используя представления о рефлексивной симметрии?

14.  Как связаны опровержение гипотезы острого угла и построение совершенно новой геометрии, существование которой невозможно было предположить в рамках традиционных математических программ?

15.  Расскажите об исследованиях Саккери, Ламберта, Швейкарта. Почему они не открыли неевклидову геометрию?

16.  Что такое переключение гештальта в модели научных революций Т. Куна?

17.  Как связаны научная и педагогическая деятельность Лобачевского?

18.  Какую роль в открытии новой геометрии Лобачевским играл его интерес к основным понятиям геометрии?

19.  Какой математический факт, установленный Лобачевским, сыграл решающую роль в осознании им того, что открыта новая геометрия?

3.4. Проявления рефлексии в математическом познании или –
утратила ли математика определенность?

Тезис об утрате определенности вынесен в заглавие книги М. Клайна – Математика и утрата определенности. М., Мир, 1984. Редактор перевода этой книги , высоко оценивая книгу Клайна, пишет, что книга ставит своей целью ответить на такие вопросы, как «Что такое математика? Каковы ее происхождение и история? В чем отличие математики от других наук? Чем занимаются математики сегодня и каков, по их мнению, ныне статус науки, которая составляет предмет их интересов и профессиональной деятельности?» (Клайн 1984 С. 5). Во Введении Клайн формулирует основной тезис: «Нам надлежит выяснить, почему, несмотря на шаткие основания и взаимоисключающие теории, математика оказалась столь непостижимо эффективной» (Клайн 1984 С. 17). Во Введении же Клайн рисует довольно безрадостную картину математики XIX - XX веков, которая и приводит его к тезису об утрате математикой определенности. Перечислим тезисы автора и на их базе сформулируем задачу статьи. Основной тезис статьи состоит в следующем – суждения Клайна – это суждения рефлексии. Но развитие не обязательно идет тем путем, на который нацеливает (прямо или косвенно) рефлексия, ибо в познании действует закон Страхова. Рефлексия может ошибаться и тезис о том, что математика утратила определенность обязан ошибочной картине математики.

Первый тезис - математика для получения своих мощных результатов использовала особый метод – метод дедуктивных выводов из небольшого числа самоочевидных принципов, называемых аксиомами. «Очевидная, безотказная и безупречная логика дедуктивного вывода позволила математикам извлечь из аксиом многочисленные неоспоримые и неопровержимые заключения». (Клайн 1984 С. 13)

Следующий тезис – «Созданные в начале XIX в. необычные геометрии и столь же необычные алгебры вынудили математиков исподволь – и крайне неохотно – осознать, что и сама математика, и математические законы в других науках не есть абсолютные истины. Например, математики с досадой обнаружили, что несколько различных геометрий одинаково хорошо согласуются с наблюдательными данными о структуре пространства. Но эти геометрии противоречили одна другой – следовательно, все они не могли быть одновременно истинными. Отсюда напрашивается вывод, что природа построена не на чисто математической основе, а если такая первооснова и существует, то созданная человеком математика не обязательно соответствует ей. Ключ к реальности был утерян». Осознание этой потери было первым из бедствий, обрушившихся на математику». (Клайн 1984 С. 13-14).

К началу XX в. в математике обнаружились парадоксы. При их разрешении возникло четыре различных подхода к математике. Все четыре направления математики стремились не только разрешить известные противоречия, но и гарантировать, что в будущем не появятся новые противоречия, т. е. старались доказать непротиворечивость математики. Однако Курт Гедель показал, что «непротиворечивость математики невозможно доказать, не затрагивая самих логических принципов, замкнутость которых весьма сомнительна». (Клайн 1984 С. 15) стало ясно, пишет Клайн, что представление о том, что математика - свод общепринятых, незыблемых истин, что математика - величественная наука и гордость человека – не более, чем заблуждение. (это картина, нарисованная рефлексией, она и оказалась неработающей). «Нынешнее состояние математики – не более чем жалкая пародия на математику прошлого с ее глубоко укоренившейся и широко известной репутацией безупречного идеала истинности и логического совершенства» Рухнула картина математики, нарисованная рефлексией, а не сама математика. Задача статьи – проанализировать то противоречие, о котором пишет Клайн – математика, с одной стороны, имеет шаткие основания и взаимоисключающие теории, а, с другой – математика необычайно эффективна. Причина противоречия – утверждения о шатких основаниях и взаимоисключающих теориях – это суждения рефлексии, но системы с рефлексией далеко не всегда следуют в своем развитии тому, что им предлагает рефлексия.

Под системами с рефлексией понимает «такие социальные образования, которые, осуществляя определенное поведение, способны это поведение описывать в виде последовательности целенаправленных действий и использовать полученные описания для дальнейшего воспроизведения этих действий» (Розов 2006-2 С. 180). Речевое общение людей, наука, производство, литература и т. п. – все это системы с рефлексией. Описания действий могут выступить как программы новой деятельности, однако, это происходит далеко не всегда, ибо осуществлять деятельность можно не только по программе (по описанию), но и по непосредственным образцам предшествующей деятельности. Более того, , развивший идею систем с рефлексией, сформулировал «закон» Страхова – если программу не выполняет (реализует) тот, кто ее создал, то ее не выполняет никто. Имеется ввиду ситуация, когда описание деятельности и непосредственные образцы противоречат друг другу. Очень важно, что рефлексия фиксирует цель, ради которой осуществляется поведение. Т. е. именно рефлексия превращает поведение в деятельность, фиксируя цель. В рефлексии есть, таким образом, описательная компонента и целеполагающая. Описательная компонента всегда представлена в языковой форме, но этого нельзя сказать о целеполагании (Розов 2006-2 С. 179). Рефлексия тем не менее – это некоторая целостность и акт целеполагания играет в ее составе ведущую роль, ибо не сформулировав цель, мы не сможем описать деятельность.

Наука познает мир и одновременно строит рефлексивную картину деятельности ученых. При изучении систем с рефлексией существенную роль играет вопрос о том, как соотносятся рефлексивная картина деятельности ученого и сама эта деятельность, управляет ли рефлексия деятельностью ученых, или они руководствуются чем-то другим. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим, как Розов анализирует разговор Сократа с Евфидемом из «Воспоминаний» Ксенофонта. На вопрос Сократа, куда отнести ложь, Евфидем отвечает – к делам несправедливым, туда же относит обман, воровство и т. п. На вопрос Сократа – справедлив ли грабеж неприятельского города, Евфидем отвечает – такой грабеж справедлив. Однако обманом данное больному ребенку лекарство Евфидем считает справедливым. Сократ здесь требует от Евфидема рефлексивного осознания того, что тот понимает под несправедливостью, требует осознания или вербализации образцов словоупотребления. Евфидем формулирует несколько «правил», утверждая, что несправедливым следует считать ложь, грабеж, продажу в рабство. Любая попытка уточнения или определения такого рода понятий, которые до того использовались только в рамках непосредственных эстафет словоупотребления, представляет собой типичный акт рефлексии.

Но Евфидем не только рефлексирует в этом разговоре, т. е. формулирует правила, но и тут же отказывается от результатов своей рефлексии. На вопрос о том, справедливо ли обманывать врага, Евфидем должен был бы ответить, что он уже сказал, что ложь несправедлива. Однако Евфидем дает совсем другой ответ. Его заставляют дать этот ответ образцы словоупотребления, и эти образцы оказываются «сильнее» сформулированных в рефлексии правил словоупотребления (Розов 2006-2 С. 183-184).

Возможны две стратегии рефлектирующих систем. Первая стратегия состоит в том, чтобы в ситуациях, когда рефлексивные предписания противоречат непосредственным образцам, отдавать предпочтения последним. Речь при этом идет не только о продуктах рефлексии в буквальном смысле слова, но и о вербальных программах вообще. Первая стратегия была реализована Евфидемом – на вопрос Сократа о том, как характеризовать обман врага, Евфидем руководствовался не правилом, которое сам сформулировал (ложь – дело несправедливое), а непосредственными образцами, когда обман врага приветствовался и считался делом справедливым.

Вторая стратегия состоит в том, чтобы действовать в соответствии с рефлексией. Такая стратегия имеет место тогда, когда рефлексивные предписания заглушают непосредственные образцы. Этой стратегии следовал бы Евфидем, если бы на вопрос Сократа – можно ли обманывать врага, он бы ответил: «Сократ, я ведь уже сказал, что ложь – дело несправедливое».

Рассмотрим, как проявляется рефлексия в работе Клайна. Одним из проявлений «утраты определенности» математиков Клайн считает, что математики стали поступаться строгостью рассуждений, чисто логические соображения подменялись интуитивными аргументами, заимствованными из физики, апелляциями к наглядности и ссылками на чертежи. Алогичность развития математики заключалась также в неадекватном толковании понятий, в несоблюдении всех необходимых правил логики, в неполноте и недостаточной строгости доказательств. Здесь зафиксировано явное расхождение между тем, как математики представляли себе – какими должны быть доказательства, и какими они являются в реальности. Действительно, уже в работах Архимеда используются физические аналогии, сведение геометрического чертежа к рычагам (чтобы затем перенести на геометрические отрезки соотношения, установленные для рычагов), и сам Архимед говорит здесь о «физической математике». В других работах по формированию интегрального исчисления тоже обращаются к нестрогим приемам, к понятию бесконечно малого и т. д., отбрасывают одни члены в уравнениях и не отбрасывают другие без достаточных объяснений. Однако несоответствие канону не победило в этот момент развития математики (речь идет о формировании интегрального исчисления) – действовали не по умозрительным правилам, а по образцам рассуждений тех математиков, которые получали результаты вычисления площадей и объемов криволинейных фигур. Можно объяснить это следующим образом. Сейчас мы говорим, что в работах Архимеда, Кеплера, Ферма и других математиков формировалось интегральное исчисление, тогда как они сами осознавали свою работу как вычисление площадей и объемов криволинейных фигур. При этом они использовали те приемы, которые приводили к цели, независимо от того, соответствовали ли эти приемы идеям строгости математики, или нет. В этот период математика развивалась как некое прикладное исследование, и критерием ее успешности было вовсе не соответствие идеалам того, что есть математика, а другим критериям - прагматическим – дают ли используемые приемы результат, или – нет. Математики действовали по образцам, а не в соответствии с идеалом математического знания именно потому, что нестрогие образцы давали результат, тогда как следование строгим идеалам в это время не только не способствовало решению задачи, но и даже мешало этому. Таким образом, один из ответов на много раз повторявшийся вопрос Н. Бурбаки - существует одна математика или много, таков – в разные периоды функционирования математики ученые реализуют разные ценностные установки – чистая математика, которая и стала образцом строгости, следует одним ценностным установкам, а от математики, обслуживающей потребности других наук, не требуется такой строгости. Применительно к формированию математического анализа, которому Клайн посвятил специальный раздел («Нелогичное развитие: в трясине математического анализа») следует подчеркнуть, что творцы анализа (Архимед, Кеплер, Ферма и многие другие) вовсе не создавали новое исчисление, они решали конкретные задачи на вычисление площадей и объемов криволинейных фигур и тел. До них вообще никто не создавал исчислений в математике. Лишь Ньютон и, главным образом, Лейбниц поняли, что они и их предшественники не просто нашли формулы, а создали нечто совершенно новое – исчисление как свод правил дифференцирования и интегрирования.

Слова Клайна о нелогичном развитии логичнейшей из наук, об увядании истины в математике, о ее шатких основаниях – это суждения рефлексии. Однако для того, чтобы понять, почему же математика все же является непостижимо эффективной, одних суждений рефлексии недостаточно. Нужно изучать, в рамках каких программ – исследовательских и коллекторских работают математики.

Рассмотрим еще один тезис Клайна, тоже фиксирующий противоречие: «почему математика вообще эффективна, если вопрос о том, что такое настоящая математика, вызывает столько споров» (Клайн 1984 С. 17). Редактор перевода, пишет, что «конструктивный» ответ на этот вопрос дается в известной книге Р. Куранта и Г. Роббинса – «математикой называется все то, о чем говорится в нашей книге» (Курант, 5). При всей краткости и «странности» этого ответа в нем содержится глубокий смысл, если слегка перефразировать слова авторов – «математика есть все то, чем занимаются математики». Примерно такие же определения дают и физики своей науке. Отметим, прежде всего, что вопрос о предмете каждой науки – это вопрос о тех нормативах, в рамках которой работает каждая наука. Отвечая на вопрос о предмете, мы обычно пытаемся определить сферу изучаемых явлений, характер решаемых задач, особенности используемых методов. Иными словами, определить предмет науки – это значит сформулировать некоторое множество нормативов, которые задают границы данной научной области. Многочисленные дискуссии о проблеме предмета различных наук достаточно красноречиво показывают, что и здесь проблема предмета той или иной области знания решается отнюдь не просто, если вообще решается.

Итак, определяя предмет той или иной области знания, мы должны осознавать, что стремление к максимальной строгости и точности формулировок отнюдь не способствует пониманию реального механизма функционирования науки, а детальный анализ этого механизма в свою очередь противоречит точному заданию предметных границ. Может быть, именно поэтому дискуссии о предмете, как правило, не приводят к ситуации полного единодушия, что, однако, не мешает науке успешно развиваться. Определение предмета конкретных наук это работа рефлексии, а развитие этой науки – это следование не рефлексивным предписаниям, а образцам реальной работы в конкретной науке, в частности, в математике. Поэтому определение Куранта и Роббинса вполне работает.

3.5.  «ФИЗИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА» АРХИМЕДА, ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

И МЕХАНИЗМЫ НОВАЦИЙ В МАТЕМАТИКЕ

Для того чтобы определить задачи данного параграфа, рассмотрим высказывание Д. Пойа: «Так уж сложилось, что одно из величайших математических открытий всех времен и народов имело своим источником физическую интуицию. Я имею в виду открытие Архимедом той ветви науки, которую сегодня мы называем интегральным исчислением. Архимед нашел площадь параболического сегмента, объем шара и еще около дюжины подобных результатов с помощью единообразного метода, в котором важную роль играет идея равновесия. Как он сам сказал, он «исследовал несколько математических задач средствами механики»» (Пойа 1975, 173–174). Сформулируем несколько вопросов. Открыл ли Архимед интегральное исчисление? Если да, то почему обычно считается, что дифференциальное и интегральное исчисление возникло в XVII веке в работах Ньютона и Лейбница? Почему открытие исчисления растянулось почти на 2000 лет? Да и Ньютон и Лейбниц – не «окончательные» авторы исчисления. После них были Коши, Вейерштрасс, а иногда завершение этого процесса относят еще дальше – к появлению нестандартного анализа. Что происходило с III века до н. э., когда жил Архимед, до XVII века, когда появились сочинения Ньютона и Лейбница? К числу создателей исчисления относят также Кеплера, Кавальери, Ферма и других авторов. Каков их вклад в создание исчисления, что именно они делали и почему не они создали исчисление? Архимед – один из создателей исчисления или его относят к авторам исчисления задним числом, когда исчисление уже создано? А может быть и правомерно его считать одним из авторов в силу того, что он сам осознавал значимость своего метода (правда, это метод нахождения площадей и объемов криволинейных фигур). Таким образом, рассмотрим две группы вопросов – первая связана с Архимедом – каковы механизмы новаций в его работе, какую роль играют средства механики в решении математической задачи вычисления объемов криволинейных тел? Почему нельзя в полной мере считать Архимеда создателем интегрального исчисления, хотя он и решил задачи нахождения объемов тел – типичные задачи интегрального исчислении? Вторая группа вопросов – о дальнейшем пути формирования исчисления – что сделали Кеплер, Кавальери, Ферма и другие математики для создания исчислении? Почему не они его авторы, а Ньютон и Лейбниц. Что именно сделали Ньютон и Лейбниц для создания исчисления? Что все же осталось на долю Коши и Вейерштрасса – т. е. почему понадобилась работа по обоснованию исчисления?