Результаты единого государственного экзамена по математике в Волгоградской области (стр. 6 )

Диаграмма 3.1

Диаграмма 3.2

Диаграмма 3.3

3.3 Анализ результатов ЕГЭ 2008 года по содержательным блокам

Получение достаточно полной, объективной картины состояния математической подготовки участников ЕГЭ обеспечивается включением в варианты работ основных вопросов содержания из всех крупных блоков, выделенных в программе основной и средней школы:

— выражения и преобразования;

— уравнения и неравенства;

— функции;

— числа и вычисления;

— геометрические фигуры, их свойства. Измерение геометрических величин.

Соотношение между числом алгебраических и геометрических заданий и распределение заданий по первым трем блокам содержания обусловлено традиционным содержанием выпускного и вступительного экзаменов, а также значимостью проверяемого материала. Включение только одного задания по тематике блока 4 (числа и вычисления) объясняется тем, что его материал проверяется опосредованно при выполнении заданий, относящихся к трем первым блокам. Кроме того, содержание ЕГЭ дополнено некоторыми вопросами курса математики основной школы, традиционно контролируемыми на вступительных экзаменах в ВУЗы (например, текстовые задачи, проценты, сведения из курсов планиметрии и стереометрии).

Рассмотрим результаты выполнения экзаменационных заданий по каждому тематическому блоку отдельно.

Выражения и преобразования

По данному блоку было предложено 6 заданий. Все варианты КИМ содержали преобразования различных видов выражений, изучаемых в старшей школе.

Они включали задания на тождественные преобразования выражений, содержащих корни, степени (с рациональными показателями), логарифмы, тригонометрические функции.

В каждой из трех частей работы при выполнении предлагаемых заданий предполагалось проведение преобразований, различаемых по сложности. Так, например, в заданиях базового уровня (часть 1) проверялось владение каким-либо одним из изученных свойств выражений или правил действий с ними. Ученик должен был применить свойство (правило) для конкретных выражений и сделать вычисления. Причем условие задания явно указывало на вид математической деятельности, владение которым было необходимо продемонстрировать.

В заданиях базового уровня сложности проверялись основные свойства различных выражений:

– степенных (преобразование произведения степеней с одинаковыми основаниями, степень степени),

– иррациональных (преобразования произведения и частного корней, корень из произведения),

– логарифмических (преобразования суммы и разности логарифмов с одинаковыми основаниями, основное логарифмическое тождество),

– тригонометрических (преобразования с использованием основного тригонометрического тождества).

Как видно из таблицы 3.4, проценты выполнения заданий по теме «Выражения и преобразования» базового уровня сложности, в основном, располагаются в промежутке от 65% до 75%.

Исключение составляет раздел «Тригонометрия», где процент выполнения значительно ниже (23%-24%). В соответствии с принятым критерием можно считать, что разделы «логарифмы», «степени» и «корни» усваиваются выпускниками школ (процент выполнения заданий по указанным разделам превосходит 65%).

В течение всех лет проведения ЕГЭ отмечается низкий уровень овладения материалом раздела «Тригонометрия». Заметим, что ограничение списка формул, включаемых в контролируемые элементы содержания, не приносит существенного повышения результатов овладения этим разделом, результаты выпускников Волгоградской области в 2,5 раза ниже границы усвоения 65%. В этом году задание на преобразование тригонометрического выражения имело вид задания с кратким ответом. Ученики кроме знания основного тригонометрического тождества должны были вспомнить знак искомой величины в зависимости от угла .

Примеры заданий, характерных для каждой серии вариантов КИМов 2008 года, приведены в таблицах 3.1-3.3 .

Лучше всего выпускники справляются с заданиями на применение свойств степени при умножении одночленов (76%):

Вычислите: .

Вычислите: .

С заданием на применение свойства степень степени справляются 73,43%.

Вычислите: ).

Изменение формулировки задания существенно снижает и процент выполнения. Например, в третьей серии вариантов задание было сформулировано следующим образом:

Найдите значение выражения при . С заданием справилась ровно половина.

Задания, требующие применить свойства корней, выполняются несколько ровнее и наличие корня степени n из числового или буквенного выражения не оказывают существенного влияния на результаты.

Найдите значение выражения: (68,28%)

Упростите выражение: (58,7%).

А вот наличие буквы в логарифмическом выражении существенно снижает результаты. Например:

вычислите: (справляются в среднем 65,4% выпускников);

найдите значение выражения , если (43,48%).

Аналогичная тенденция сохраняется и в заданиях с кратким ответом (В1). Значение числового выражения, содержащего корни степени n, выполняет 62,23% выпускников, значение степенного выражения, содержащего букву в показателе степени, находят без ошибок только 47,44%.

Поскольку речь идет о заданиях базового уровня, то подобные задачи подготовленные выпускники обычно решают устно. Причиной же типичных ошибок, главным образом, является незнание основных свойств (логарифмов, степеней, радикалов) и незнание тригонометрических формул. Кроме того, наблюдается большое число вычислительных ошибок, особенно связанных с потерей знака.

В часть 2 было включено одно задание, в котором требовалось выполнить преобразования логарифмических выражений. При выполнении такого задания необходимо интегрировать знания из различных разделов курса алгебры и начал анализа и курса алгебры основной школы. Предполагалось, что для нахождения значения выражения выпускник должен его предварительно преобразовать, используя основные свойства выражений, указанных в задании. Кроме того, в ходе решения ученик должен был сообразить, что для упрощения выражения (вторая серия вариантов) необходимо было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) или вспомнить формулу тригонометрической функции двойного аргумента при упрощении выражения (третья серия вариантов). Более того, если знать формулу при , то решение многих задач существенно упрощается.

Пример.

Вычислите значение выражения (тип 1).

Решение: оба выражения легко упрощаются с помощью основного логарифмического тождества, если основание и выражение, стоящее под знаком второго логарифма, возвести в квадрат.

==.

С подобным заданием справилось только 41,34% школьников, а наличие тригонометрических преобразований в третьей серии вариантов существенно снизило процент его выполнения (34,78%).

Уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства традиционно самая представительная часть работы. Раздел представлен девятью заданиями, различными как по форме, так и по степени трудности. Эти задания достаточно полно отражают многообразие видов уравнений и неравенств, а также методов их решений, изучаемых в 10-11 классах средней школы.

Задания базового и повышенного уровней проверяют умения решать:

– показательные уравнения и неравенства,

– логарифмические уравнения и неравенства,

– иррациональные уравнения,

– тригонометрические уравнения,

– комбинированные уравнения и неравенства,

– дробно-рациональные неравенства.

Проверялось умение решать неравенства графическим методом.

В алгебраических заданиях высокого уровня сложности (С3, С5) требовалось самостоятельно проанализировать предложенную ситуацию и сконструировать метод решения, применив при этом нестандартные способы исследования решений уравнений различного типа.

Кроме того, КИМы содержали ряд заданий на исследование функций, при выполнении которых требовалось решить различные уравнения или неравенства. Таким образом, набор типов уравнений и неравенств, включенных в КИМы, является достаточно представительным.

Решение простейшего тригонометрического уравнения традиционно имеет вид задания с выбором ответов. С таким заданием справились 59,42% выпускников.

Все остальные группы уравнений проверялись заданиями с кратким и развернутым ответами.

С простейшими логарифмическими уравнениями не зависимо от способа решения справляется 55%-57%.

Примеры.

1. , преобразовав сумму логарифмов, получаем .

2. , используя основное логарифмическое тождество, получаем линейное уравнение, откуда . Учащихся, получивших в данном уравнении отрицательный ответ, данный факт должен был бы насторожить () и заставить перерешать линейное уравнение, но, к сожалению, навыки самоконтроля у многих учеников просто отсутствуют. Уравнения – простейшие, а правильные ответы демонстрируют около 56% выпускников.

В третьей серии вариантов проверялось два вида уравнений заданиями базового уровня с кратким ответом. Предложенное показательное уравнение традиционно для школьного курса математики, таких уравнений множество во всех действующих учебниках, однако, справились с ним только 30,43%.

Пример.

.

С иррациональным уравнением базового уровня сложности справилось еще меньшее количество учащихся (23,91%).

Пример.

.

Навыки, которые нужно продемонстрировать для успешного решения формируются еще в основной школе: применение свойств степени, приведение подобных слагаемых, возведение в квадрат и т. д.

Низкие проценты выполнения этих заданий объясняются тем, что количество выпускников, выполнявших третью серию вариантов (46 человек), мало, и в этой группе преобладали слабые выпускники (варианты выполнялись в дополнительный день сдачи ЕГЭ).

В заданиях части 2 уравнение легко сводилось к квадратному, если ввести новую переменную. Во многих вариантах коэффициенты квадратного уравнения были «большими», но все вычисления становятся устными, если знать свойства коэффициентов квадратного уравнения или теорему Виета. Более того, если ученик умеет накладывать условия на вводимые переменные, то один из корней квадратного уравнения автоматически отбрасывается, т. к. свободный член во всех уравнениях отрицательный. Всю перечисленную работу учащиеся могут делать устно, материал этот хорошо знаком из курса основной школы и вычисления делаются на подсознании. Однако, процент выполнения таких заданий невелик (28,38%).

Примеры.

Решите уравнение.

(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их произведение.)

(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их произведение.)

(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их сумму.)

Дробно-рациональные неравенства были включены во все варианты, причем, 4 июня во всех 60-ти вариантах было одно и то же неравенство, которое решается легко и красиво методом интервалов (68,7%).

Умение решать показательные неравенства проверялось разными заданиями (явно, когда требовалось решить неравенство, и неявно, когда требовалось найти область определения сложной функции).

Решите неравенство (64,71%).

Найдите область определения функции (55,39%).

В одной из серий вариантов проверялось умение решать логарифмические неравенства. Справились с ним 43,48 % выпускников.

Графический способ решения неравенств проверялся в заданиях следующего типа:

На рисунке изображены графики функций y=f(x) и у =g(x), заданных на промежутке [-3; 6]. Укажите те значения х, для которых выполняется неравенство f(x) > g(x).

С подобными заданиями справились в среднем 67,49% выпускников.

Отметим, что указанные в перечне умения ежегодно проверялись в течение последних лет.

Во вторую часть экзаменационной работы входило неравенство смешанного типа, включающее две разные функции. Если ученик при подготовке к итоговой аттестации обращался к демонстрационной версии экзамена, то неравенство такого типа не вызвало у него затруднений. Однако процент выполнения очень мал (13,68%).

Остановимся на этом подробнее.

Пример. Найдите количество целочисленных решений неравенства

(12,94%);

(14,44);

(10,87%).

Во всех приведенных примерах знак выражения зависит либо от знака числителя, либо от знака знаменателя. Думается, что с этой частью решения справились многие, оно достаточно стандартное, а вот исключить целые решения, не входящие в область определения второго выражения, очевидно, многие забыли или не догадались.

Функции

Во всех вариантах КИМов были представлены задания на проверку функциональных представлений учащихся. Ставились вопросы, касающиеся области определения и множества значений функций, четности и нечетности, периодичности и др.

Задания с функциональной тематикой содержались в каждой из трех частей экзаменационных заданий.

В части 1 работы проверялось умение исследовать какое-либо одно свойство функций: найти область определения или множество значений, указать график четной (нечетной) функции, определить по графику функции промежуток возрастания (убывания), соотнести функцию, заданную аналитически, с графиком, изображенным на рисунке.

При этом задания формулировались таким образом, что в одних случаях для их выполнения учащийся должен был применить аналитический метод решения, а в других — проверялось умение учащегося «читать» свойства функций, заданных своими графиками. Владение аналитическим методом проверялось при нахождении области определения сложной функции, а также при нахождении области значений функций.

Примеры:

Найдите область определения функции:

Найдите множество значений функции: или .

На рисунке изображен график одной из перечисленных ниже функций. Укажите эту функцию.

1. 2. 3. 4.

На одном из следующих рисунков изображен график четной функции. Укажите этот рисунок.

В некоторых вариантах проверялось умение учащихся по заданному графику определить («прочесть»), обладает ли функция требуемым свойством (определить промежуток возрастания или убывания функции). Умение «считывать» указанные свойства демонстрируют 67,39% учащихся.

В части 1 КИМов проверялись умения найти производную. Учащимся предлагалось найти производные элементарных функций с использованием таблицы производных и теоремы о производной суммы.

Результаты выполнения заданий показывают, что учащиеся знают таблицу производных и успешно выполняют задания, где нужно найти производную суммы нескольких функций (70,51%).

Примеры:

Найдите производную функции: или .

Геометрический смысл производной проверялся в различных вариантах работы заданиями трех типов:

1) Функция у=f(x) определена на промежутке (- 7; 2). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции у =f(x) на промежутке (- 7; 2).

2) Функция определена на промежутке (a; b). На рисунке изображён график ее производной. Найдите число точек максимума функции на промежутке (a; b).

3) Функция определена на промежутке (-5; 6). На рисунке изображён график ее производной. Найдите точку , в которой функция принимает наибольшее значение на отрезке .

И хотя подобные задания появились не впервые, процент их выполнения невысокий: около 20 %.

Второй год в экзаменационных работах выпускникам предлагается задание, связанное с периодичностью функции.

Пример:

Функция определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 6. При она задается формулой . Найдите значение выражения .

От учащегося для успешного решения требуется выполнить всего два действия:

1) представить значение аргумента с учетом периода функции и промежутка, на котором она задана условием задачи,

2) найти значения функции в точках и выполнить с ними арифметические действия.

Многие, очевидно, не поняли задания и не сумели представить описываемую ситуацию, поэтому справились всего 15,09%.

Числа и вычисления

В 2008 году, как и в предыдущие годы, в каждый вариант экзаменационной работы была включена одна текстовая задача, составленная на материале основной школы.

Задачи можно разделить на два «сюжета»:

– задачи на совместную работу;

– задачи на проценты.

Примеры:

Два плиточника, работая вместе, могут за 1 ч выложить дорожку длиной 30 м. Чтобы выложить 60 м такой же дорожки, первый плиточник затратит на 3 ч больше, чем второй. За сколько часов первый плиточник может выложить 90 м такой дорожки?

Подарочный набор состоит из трех сортов конфет. Массы конфет первого, второго и третьего сортов в этом наборе относятся как 2:7:15. Массу конфет первого сорта увеличили на 13%, а второго — на 7%. На сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса всего набора не изменилась?

Ежемесячный доход семьи складывается из зарплаты отца и зарплаты матери. Зарплату отца увеличили на 35%, а зарплату матери - на 5%, в результате чего семейный доход увеличился на 30%. Во сколько раз зарплата отца до повышения была больше зарплаты матери?

Очевидно содержание задачи «на работу» более понятно учащимся и, не смотря на то, что решение ее труднее, количество выпускников, справившихся с задачами такого типа чуть больше, чем решивших задачу «на проценты» (13,4% и 12,5% соответственно). Однако, однозначно говорить, что является причинной столь низкого показателя мы не можем, т. к. баллы, полученные за верное решение этого задания нужны для получения тестовой отметки, а на школьную не влияли.

Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин

Как и в предыдущие годы, каждый вариант работы содержал три геометрические задачи, из которых две повышенного (планиметрическая и стереометрическая) и одна стереометрическая высокого уровня сложности.

Все задачи были вычислительного характера. Для их решения учащиеся должны были знать свойства плоских фигур, круглых тел и уметь использовать их для вычисления значений искомых геометрических величин. Отметим, что приводить решение, а тем более обоснования к решениям задач части 2 от учащихся не требовалось.

Стереометрическая задача, включенная в часть 3, проверяла умения не только применять известные геометрические факты при рассмотрении предложенной в задаче нестандартной конфигурации, но и записывать решение задачи, приводя и вычисления, и необходимые обоснования ключевых моментов решения.

Все первичные баллы, полученные за верное решение геометрических задач, не оказывали влияния на аттестационную отметку, а нужны были для получения более высоких тестовых баллов, учитывающихся при поступлении в вуз. Поэтому говорить о причинах низких границ выполнения заданий по геометрии мы не можем, так же как и об уровне усвоения того или иного геометрического материала, хотя результаты удручают, они ниже всех предыдущих лет – 4,48%. Для сравнения, в 2007 году было 7,3%. Общая тенденция низких результатов выполнения планиметрических задач не изменилась, и, как и раньше, говорит о весьма слабой подготовке по планиметрии значительной части выпускников.

Остановимся на содержании задач повышенного уровня подробнее. Планиметрические задачи повышенного уровня, включенные в варианты экзаменационных работ, были составлены на материале двух тем: «Треугольники» и «Четырехугольники».

Примеры:

1) Сторона ромба ABCD равна , а косинус угла А равен 0,75. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М. Найдите длину отрезка ВМ.

Конфигурация, получающаяся в этой задаче, встречается в ЕГЭ уже не первый год. Решение задачи сводится к набору стандартных действий: рассмотрение прямоугольных треугольников, нахождение неизвестных элементов в треугольнике, нахождение части отрезка. (Справились 5,61%).

2) Вершина В параллелограмма ABCD соединена с точкой Р на стороне CD. Отрезок ВР пересекает диагональ АС в точке Е. Площадь треугольника ВСЕ равна 9, а площадь треугольника СРЕ равна 6. Найдите площадь параллелограмма.

Содержание задачи непривычно для учащихся, в условии не дано ни одного линейного элемента, создается иллюзия неполного условия задачи. Однако, если увидеть, что треугольники ВСЕ и СРЕ имеют одну и ту же высоту, то появляется как раз недостающий элемент: отношение отрезков ВЕ и ЕР равно 1,5. Далее, из подобия треугольников BAE и PCE, получаем, что площадь треугольника BAE равна 13,5. Далее, находим площадь параллелограмма. Она равна 45. (Справились с такого типа задачами только 3,33%.)

3) В треугольнике СЕН =45°, точка Т делит сторону СЕ на отрезки СТ= 2 и ЕТ= 14, . Найдите площадь треугольника СНТ.

Чертеж к задаче так же непривычен (расположение равных углов). Но, если увидеть подобные треугольники, то задача решается в два действия. Работу существенно упрощает умение находить площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними. С таким типом задач справилось 3 ученика из 46.

Итак, в ходе решения задач проверялось умение применять ряд свойств фигур и формул, обеспечивающих вычисление искомых в задаче величин, таких как:

–– свойства параллелограмма;

— свойство биссектрисы угла;

— решение прямоугольных треугольников: нахождение катета по гипотенузе и острому углу, нахождение гипотенузы по катету и острому углу;

–– теорема Пифагора;

— формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба;

— подобие треугольников;

— свойство площадей подобных фигур.

Как известно, в современных учебниках к теоретическим фактам (теоремам) отнесены в основном только те утверждения, которые необходимы для построения теории. При этом многие утверждения, весьма полезные для решения большого числа задач, даются как задачи на доказательство, а это приводит к тому, что учащиеся не помнят сформулированные в них факты. Вместе с тем, владение этими фактами значительно сокращает время, необходимое для решения задачи. Поэтому в ходе повторения, кроме законных теорем, нужно повторить и дополняющие их утверждения.

В задания повышенного уровня в 2008 году, как и в прошлые годы, входила одна стереометрическая задача. В варианты были включены задачи по теме «Призма», «Цилиндр», проверявшие знание свойств указанных тел, умение применять их для вычисления искомых элементов. Кроме того, проверялось умение строить сечение, линейный угол двугранного угла, вычислять углы и расстояния в пространстве:

Примеры:

1) Основание прямой призмы – параллелограмм ABCD, в котором CD=, = 60°. Высота призмы равна 6. Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью . (6,26%).

2) Высота цилиндра равна 18, а радиус основания равен 7. На окружности основания отмечены точки А, В и С так, что АВ =, СА=СВ и < 90°. Отрезок – образующая цилиндра. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью . (4,87%).

3) Основание прямой призмы — треугольник BCD, в котором , ВС =10. На ребре отмечена точка К так, что . Угол между плоскостями BCD и ВСК равен 30°, ВК= 13. Найдите расстояние между прямыми ВС и . (8,7%, 4 чел. из 46).

Если рассмотреть задачу 2), то увидим, что ее решение мало отличается от решения задачи 1). Думается, ребят смутила внешняя оболочка – цилиндр.

Перечень умений, проверяемых этими задачами, не выходит за рамки школьной программы: понятие прямой призмы (прямого кругового цилиндра), умение строить сечение призмы (цилиндра) плоскостью, умение строить линейный угол двугранного угла. Все эти умения формируются в старшей школе. Далее, ученик должен был опять вспомнить и применить знания по теме «Решение прямоугольных треугольников». Причем, специальных дополнительных часов на то, чтобы повторить эти разделы не требуется, так как набор умений стандартный и без этих знаний не решаются многие задачи, представленные в школьных учебниках. Все эти навыки не воспроизводятся в ходе итогового повторения, а поддерживаются из урока в урок.

Результаты ЕГЭ 2008 года показывают, что многие из участников экзамена вообще не указали ответ к геометрической задаче, поскольку либо не смогли довести решение задачи до ответа, либо не приступали к решению. Следует отметить, что даже в группе «сильных» не все выпускники справились с геометрическими задачами.

Задания с развернутым ответом

Задания с развернутым ответом, включенные в работу, различаются по уровню сложности (2 задания повышенного уровня и 3 – высокого). Задания высокого уровня сложности, позволяющие производить глубокую дифференциацию участников ЕГЭ, включены в Часть 3 экзаменационной работы.

В отличие от них, задания повышенного уровня с развернутым ответом, помещенные в часть 2, доступны хорошо подготовленным обучающимся, освоившим программу по математике на базовом уровне. Для успешного решения этих заданий не требуется знания каких-либо специальных алгоритмов, выходящих за рамки школьной программы.

Критерии оценки выполнения алгебраических заданий повышенного уровня (С1 и С2) отличаются от критериев оценки заданий высокого уровня сложности. Так, от учащихся не требуется обосновывать приведенное ими решение. Это объясняется тем, что задачи С1 и С2 не являются совершенно новыми для учащихся, как это характерно для более сложных заданий СЗ - С5. При решении задач С1 и С2 нужно, например, выделить несколько случаев, подлежащих рассмотрению, или выбрать правильный порядок соответствующих преобразований и вычислений. При этом в каждом из этих случаев надо применить стандартный способ решения, процедура которого достаточно отработана и, по нашему мнению, не нуждается в приведении обоснований. В связи с этим, в зависимости от полноты и правильности приведенного решения за выполнение заданий С1 и С2 выставляется от 0 до 2 баллов.

Отметим, что критерии оценки выполнения заданий повышенного уровня С1 и С2, включенных в КИМ-2008, достаточно «жесткие». Фактически, баллы начисляются только в том случае, когда ученик явно демонстрирует владение выбранным им методом решения. Например, правильно проводит требуемые операции, исследует все требуемые случаи, выполняет отбор соответствующих решений согласно условию задания. При этом ему дается право только на описку и/или вычислительную ошибку.

Приведем примеры решения заданий С1 и С2, а также критерии их оценивания.

Пример 1. С1 Найдите наименьшее значение функции

Решение:

1)

2)

Наименьшее значение функции y= f(x) на отрезке равно -80.

Ответ:-80.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С1
2	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) определен промежуток, на котором требуется найти наименьшее значение функции; 2) найдено наименьшее значение функции. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
1	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущены описка и/или вычислительная ошибка в шаге 2), не влияющие на дальнейший ход решения. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

При выполнении задания С1 ученики должны были продемонстрировать знание известного алгоритма: нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке. Нестандартность ситуации задавалась условием для аргумента.