Результаты единого государственного экзамена по математике в Волгоградской области (стр. 7 )

Получить баллы за стандартное задание выпускникам помешало отсутствие системных знаний по математике. Перечислим тот необходимый набор знаний, демонстрация которого позволяла ученику получить наивысшие баллы за это задание:

– решение неравенства, содержащего модуль (причем, использование определения для раскрытия модуля было самым нерациональным действием, запутывающим учащихся в решении);

– нахождение производной сложной функции;

– несложные арифметические вычисления.

Пример 2. С1 Найдите наибольшее значение функции

Решение:

1) 

2)

Наибольшее значение функции y= f (x) на отрезке равно 56.

Ответ: 56.

Полностью и без ошибок задание С1 выполнили всего 1285 выпускников (6,37 %), допустили неточность, описку и/или вычислительную ошибку еще 1372 выпускника (6,8 %). В целом с заданием С1 справились 2657 человек, что составляет 13,17 %.

Для выполнения задания С2 надо было составить математическую модель, переформулировав задачу. Полученная модель представляла собой логарифмическое уравнение. (С этим этапом решения справились почти все приступившие к выполнению задания С2). Однако, в данном уравнении основание содержало переменную, поэтому для его решения требовалось провести исследование значений выражения, стоящего в основании логарифма, а также применить способ разложения на множители для решения полученного уравнения. В связи с этим, данное задание отнесено к повышенному уровню сложности.

Решение задания состоит из двух шагов:

1) составление математической модели, удовлетворяющей требованию задания;

2) решение логарифмического уравнения.

В соответствии с этими шагами разработаны общие критерии для оценки решения задания С2.

Баллы	Общие критерии оценки выполнения задания С2
2	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) составлено уравнение в соответствии с требованиями условия задания; 2) решено полученное уравнение. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
1	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущены вычислительная ошибка и/или описка в шаге 2), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки и/или описки может быть получен неверный ответ.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

Приведем примеры решений задания С2 на основе предложенных критериев.

Пример 3. С2 Найдите все значения х, при каждом из которых выражения

принимают равные значения.

Решение:

1. Из условия задания следует

2. Решим составленное уравнение:

Ответ: 0; 1,5.

Пример 4. С2 Найдите все значения х, при каждом из которых выражения

принимают равные значения.

Решение.

1)

2)

Ответ:

Задание С2 верно выполнили 2603 выпускника (12,9 %). Соотношение между учащимися, набравшими «2» балла и «1» таково: 1172 чел. (5,81 %) – «2» балла и 1431 чел. (7,09 %) – «1» балл.

За выполнение алгебраических заданий высокого уровня в зависимости от полноты и правильности приведенного учащимися решения выставляется от 0 до 4 баллов.

Отметим, что приведенная шкала оценок в 0, 1, 2, 3, 4 балла не является равномерной, т. е. утверждения типа «3 балла ставится, если задача решена на 75%, 2 балла ставится за наполовину решенную задачу...» являются ошибочными. Решение, оцениваемое 3 баллами, существенно ближе к идеальному, четырехбалльному решению: оно отличается от него лишь наличием неточностей. В свою очередь, оценка «2 балла» ближе к оценке «3 балла», нежели к оценке «1 балл».

Дадим общую характеристику задачи СЗ и подходов к ее решению.

В задаче СЗ, содержащей неравенство с параметром а относительно неизвестной х, требуется найти такие значения параметра, при которых это неравенство не имеет решений.

Исходное неравенство простейшим преобразованием приводится к виду ,

где F, G — некоторые выражения, одно из которых содержит под корнем или под логарифмом некоторое выражение, зависящее от переменной, (и тем самым областью определения является промежуток), а другое представляет собой комбинацию функций.

Исходя из вида полученного неравенства, рассмотрим его как неравенство от переменной а при фиксированном значении х:

тогда для выполнения этого неравенства необходимо и достаточно, чтобы точка а на числовой оси лежала за точками F(x) и G(x) или, возможно, прямо в точке F(x) (формально этот вывод проще всего проиллюстрировать методом интервалов, но ситуация настолько привычная, что допустимо не требовать никаких обоснований этого вывода);

следовательно, для невыполнения неравенства необходимо и достаточно, чтобы точка а на числовой оси лежала, наоборот, между точками F(x) и G(x) или, возможно, прямо в точке G(x).

Поэтому для решения задачи имеет смысл найти экстремальные значения функций F(x) и G(x). Оказывается, что:

• наибольшее (наименьшее) значение одной из функций достигается в вершине квадратного трехчлена (требовать от школьников пояснений в работе о том, как они ее искали, не обязательно) – это значение ,

• на области определения другой функции наименьшее (наибольшее) значение можно найти либо исследовав функцию с помощью производной, либо воспользовавшись неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для двух чисел (возможны и другие приемы), таким образом находим .

Следовательно, исходное неравенство не выполняется ни при каком значении х тогда и только тогда, когда точка а:

или лежит строго между точками и ,

или совпадает с одной из них — а именно, с той, которая служит экстремальным значением функции G(x). Этот случай школьник может упустить, что следует считать ошибкой.

Кроме того, для правильного решения задачи логически совершенно необходима проверка того, что точка минимума второй функции попадает в область определения первой. Во всех вариантах КИМ-2008 в задачах СЗ этот факт в действительности имеет место. Однако если бы это было не так, то в исходном неравенстве значение а второй функцией не принималось бы, что повлияло бы на ответ.

Достижимость же максимума первой функции на области определения второй можно считать очевидной без явной проверки в работе.

Пример 5. С3 Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

не имеет решений.

Решение.

1. Преобразуем неравенство к виду

где

2. Исследуем функцию f . Ее производная

равна нулю в точке отрицательна при и положительна при , поэтому

3. Наибольшее значение функции g достигается, например, в точке

 и равно

4. При любом значении справедлива оценка , так как

Поэтому при , исходное неравенство равносильно совокупности

(при оно не выполняется).

5. Исходное неравенство не выполняется ни при одном значении x тогда и только тогда, когда

Ответ:

Замечание. Исследование функции f на экстремум в пункте 2 решения можно провести с помощью неравенства для средних:

,

где

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С3
4	Получен правильный ответ. Приведено полное и верное решение, отвечающее следующим требованиям: 1) показано, что все значения параметра, включенные в ответ, обладают описанным в задаче свойством; 2) показано, что остальные значения параметра не обладают описанным в задаче свойством; 3) при этом а) получены необходимые оценки для функций; б) проверена достижимость оценки функции f на области определения функции g.
3	Получен ответ, представляющий собой промежуток для значений параметра с верными концами, но, возможно, с неточными неравенствами, т. е. строгими (нестрогими) вместо нестрогих (строгих). Приведено решение, отвечающее требованиям 1), 2) и 3а).
2	Получен ответ, представляющий собой промежуток для значений параметра, который: - либо содержится в верном промежутке (возможно, с неточными неравенствами), при этом приведено решение, отвечающее требованию 1); - либо содержит верный промежуток (возможно, с неточными неравенствами), при этом приведено решение, отвечающее требованию 2).
1	Ответ, возможно, не получен или неправильный. Приведено решение, отвечающее хотя бы одному из требований 1), 2) или 3а).
0	Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1 – 4 балла.

Пример 6. С3 Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

не имеет решений.

Решение

1. Преобразуем неравенство к виду

где

2. Исследуем функцию f : ее производная

равна нулю в точке отрицательна при и положительна при , поэтому

3. Наибольшее значение функции g достигается, например, в точке

 и равно

4. При любом значении справедлива оценка , так как

Поэтому при , исходное неравенство равносильно совокупности

(при оно не выполняется).

5. Исходное неравенство не выполняется ни при одном значении x тогда и только тогда, когда

Ответ:

Замечание. Исследование функции f на экстремум в пункте 2 решения можно провести с помощью неравенства для средних:

,

где

Первый, стандартный шаг сделали правильно 323 человека (1,6 %), т. е. верно произвели оценку значений функций, входящих в неравенство. Еще 75 человек (0,37 %) сумели соотнести полученные множества значений функций с возможными границами параметра. Однако, анализ результатов показал, что перенос знаний в нестандартную ситуацию не под силу даже хорошо обученным учащимся. Полностью с заданием справилось всего 14 (!) человек (0,3 %), причем «4» балла за это задание набрали только 5 из них. Этот показатель существенно ниже всех предыдущих лет. Для сравнения, в 2007 году с похожей задачей справились 113 человек (0,53%).

Использование приведенных выше общих критериев для анализа выполнения учащимися различных заданий высокого уровня сложности показало, что они позволяют достаточно объективно проверить и оценить решение практически любой алгебраической задачи (СЗ и С5), которые включаются в Часть 3 КИМ.

Начиная с 2003 года, все варианты КИМ содержат геометрическую задачу высокого уровня сложности. Дадим общую характеристика заданий С4 и методов их решения.

Задания С4 в вариантах КИМ-2008 по своей структуре похожи на геометрические задачи высокого уровня сложности предшествующих лет. Во всех этих задачах задается некоторая комбинация, как правило, двух фигур и требуется найти какую-либо ее числовую характеристику.

В заданиях С4 была выбрана комбинация конуса и пирамиды, обладающей экстремальным свойством, – имеющей при заданных условиях наибольший объем. Затем фиксировались точка и плоскость, связанные с этой пирамидой. Числовой характеристикой конфигурации являлось расстояние от заданной точки до заданной плоскости. Именно это расстояние и требуется найти при заданных условиях.

Вычисление расстояния от точки до плоскости обычно осуществляется одним из трех способов.

Первый способ – метод объемов – основан на вычислении объема некоторого тетраэдра двумя способами, один из которых содержит искомое расстояние как высоту тетраэдра, опущенную на грань, лежащую в заданной плоскости.

Второй способ, менее известный, основан на том, что нахождение расстояния от точки М до плоскости ABC заменяется вычислением расстояния от некоторой другой точки L до плоскости ABC. При этом, если прямая ML параллельна плоскости ABC, то расстояния от точек М и L до плоскости ABC равны между собой. Если прямая ML пересекает плоскость ABC в точке Т, то расстояния и от точек М и L до плоскости ABC связаны пропорцией .

Третий способ – векторно-координатный. В этом случае расстояние от точки до плоскости вычисляется по известной формуле, для применения которой необходимо знать уравнение плоскости (ABC) и координаты заданной точки (М) в декартовой прямоугольной системе координат. При этом система координат должна быть правильно ориентированной – правой системой координат.

Учащиеся верно выполнившие задание С4 (43 чел. – «4» балла, это 0,21% и 17 чел.(0,08 %) – «3» балла), использовали в основном традиционный способ решения геометрических задач на комбинацию тела вращения и многогранника, в трех случаях – метод объемов. Векторно-координатный метод не применил никто. Сам по себе векторно-координатный метод и применяется крайне редко. Происходит это не из-за трудности применения метода, использование которого, как правило, исключает необходимость большого количества обоснований, и существенно экономит экзаменующемуся время и место, а из-за того, что обучению различным методам решения математических задач, кроме стандартных, в школьном курсе геометрии вообще не уделяется внимания. И не потому, что различные методы не упоминаются в программе, а потому, что общее сокращение часов на изучение геометрии в старших классах не позволяет формировать у учащихся соответствующие навыки.

Ниже мы приводим решение одного из заданий С4.

Пример 7. С4 Дан конус с вершиной М, радиус основания которого равен . На окружности его основания выбраны точки A, B, C так, что углы BMA, AMC, CMB равны каждый. Точка F выбрана на дуге BC окружности основания конуса, не содержащей точки A, так, что объем пирамиды MABFC наибольший. Найдите расстояние от точки F до плоскости MAB .

Решение:

1) MA= MB= MC , как образующие конуса и AMB= AMC=CMB = , следовательно, треугольники AMB, AMC, CMB равны. Поэтому AB= AC= CB, значит, треугольник ABC – равносторонний и вписан в окружность радиуса r=.

Следовательно,

AB= AC= CB=.

2) Объем V пирамиды MABFC вычисляется по формуле , где – площади треугольников АВС и BCF. Поскольку величины МО, BC и в условии задачи постоянны, то – наибольшая величина расстояния от точки дуги BC, не содержащей точку А, до стороны ВС треугольника АВС.

Расстояние от точки F дуги окружности до стягивающей ее хорды наибольшее, если F – середина этой дуги. Итак, основанием пирамиды MABFC, удовлетворяющей условиям задачи, является четырехугольник, в котором вершины А, В, С делят окружность основания конуса на три равные части и вершина F – середина дуги ВС.

3) Пусть – расстояния от точек F и O до плоскости соответственно. Тогда, следовательно,

4) Пусть K – середина АВ. Тогда MABMOK. Пусть OL – высота треугольника MOK. По свойству перпендикулярных плоскостей OLMAB . Следовательно, Так как AB =, то Тогда

Следовательно, искомое расстояние

Ответ:

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С4
4	Приведена верная последовательность шагов решения: 1) установлено, что треугольник АВС – равносторонний; 2) установлено, что пирамида MABFC удовлетворяет условию задачи, только если вершина F – середина дуги ВС; 3) найдено соотношение между расстояниями от точки F и от точки O до плоскости MAB; 4) вычислены расстояние от точки O до плоскости MAB и искомое расстояние от точки F до плоскости MAB. Обоснованы ключевые моменты решения: а) расположение вершин основания ABFC пирамиды MABFC , имеющей наибольший объем; б) высота OL треугольника MOK – расстояние от точки O до плоскости MAB. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
3	Приведены все шаги решения 1) – 4). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения. Допустимы отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях, но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.
2	Приведены шаги решения 1), 2) и найдено расстояние от точки О до плоскости МАВ или, может быть, от какой-либо другой точки, например от точки С. Допустимо отсутствие утверждений, составляющих ключевые моменты а) и б) решения. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ. (Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или на признак, или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.)
1	Ход решения правильный, но решение не завершено: имеются шаги 1) и 2) решения, которые описаны словесно или ясно отражены и видны на чертеже (в соответствующих треугольниках обозначены углы, равные 90°, и равные стороны). Вычислена длина стороны основания пирамиды. Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

Вполне возможно, что часть учащихся, потенциально обладающих уровнем подготовки, достаточным для решения геометрических задач, помещенных в варианты ЕГЭ, просто не доверяют своим знаниям и умениям и, предполагая, что задачи очень трудные, не пытаются их решить. Учащихся, набравших «1» балл всего 96 чел. (0,48 %), а «2» балла – 44 чел. (0,22 %).

Здесь, видимо, могло бы помочь более активное ознакомление учащихся с задачами, которые использовались в вариантах прошлых лет. Такие задачи представлены в сборниках, содержащих задания и варианты КИМ, использованных при проведении ЕГЭ. Знакомясь с ними, выпускники не только повторят некоторые геометрические сведения и приемы решения, но также увидят, что задачи по планиметрии при рациональном способе решения не требуют длинной цепочки рассуждений и выкладок, а стереометрические задачи повышенного уровня построены на достаточно типичных ситуациях и тоже решаются в 2-3 действия.

Рассмотрим общую характеристику заданий С5 и методов их решения.

Задания С5 по своему условию близки к демоверсии ЕГЭ-2008. Основные понятия, используемые в условии этой задачи и при ее решении: композиция функций, уравнение, заданное в функциональных терминах, исследование функции, нахождение множества значений функции.

В заданиях С5 речь также идет о решении уравнения подобного типа, то есть, сохранены все перечисленные тематические параметры, задающие содержание задачи. Рассматриваются две различные функции, и речь идет о нахождении корней более простого по виду уравнения f (f(х)) = х.

Пример 8. С5 Для чисел верны равенства

Найдите , если известно, что , а

Решение:

1) Так как принадлежит множеству значений функции f. Оценим это множество сверху. Если x <2, то x-2< 0 и поэтому f (x)<2. Если , то Так как основание логарифма больше 1, то Значит, f (x)<3 для всех x. Поэтому

2) Так как принадлежит множеству значений функции Оценим это множество сверху. Если , то Если то и . Поэтому , , т. е. .