Логіка, конспект лекцій (стр. 5 )

Приклад: «Деякі грошові системи є ліквідними», отже «Деякі ліквідні системи є грошовими».

Слід пам’ятати, що частковозаперечні судження (О) не обертаються, тому що умовивід у результаті цієї операції може бути помилковим. Якщо «Деякі люди не є гуманітаріями», то це не означає, що «Деякі гуманітарії не є людьми».

3. Протиставлення – новизна цієї логічної операції, у порівнянні з попередніми, полягає лише в тому, що тут дві відомі вже нам операції – перетворення й звертання – виконуються послідовно стосовно до одному вихідному судженню. На початку виконується одна операція, а потім з тим, що вийшло, виконується друга. Оскільки цих операцій дві, те можливі два варіанти проведення операції протиставлення.

Перший варіант (протиставлення предикату) – спочатку виконується перетворення, потім обернення, другий варіант (протиставлення суб'єктові) – спочатку обернення, потім перетворення.

Приклади протиставлення предикату:

1) Загальностверджувальне (A) перетворюється в загальнозаперечне (E):

Всі S є Р – Жодне не-Р не є S.

Приклад: «Всі сучасні комп’ютерні процесори побудовані на кремнії» отже «Жодна система без кремнію не є основою для побудови сучасних комп’ютерних процесорів».

2) Загальнозаперечне (Е) – в частковостверджувальне (І):

Жодне S не є Р в Деякі не-Р є S.

Приклад: «Жодні сучасні конденсатори не містять платину» отже «Деякі не платинові речі є сучасними конденсаторами».

3) Частковозаперечні судження (О) перетворюються в частковостверджувальні (І) Якщо вірно «Деякі S є Р», то вірно і «Деякі не-Р є S».

Приклад: «Деякі транзистори не зроблені з германію». Отже «Деякі речі, не зроблені з германію, є транзисторами».

ü Слід пам’ятати, що частковостверджувальні (І) засобами протиставлення предикату на перетворюються.

Приклади протиставлення суб’єкту:

Деякі гарні люди – інженери. ($S – Р)

Деякі інженери гарні люди. ($P – S)

Деякі інженери не є негарними людьми. ($P не є неS)

Формули протиставлення суб’єкту для суджень А, Е, І мають такий вигляд:

· для А – Усі S є Р ® Деякі (жодне) Р не є не-S;

· для Е – Жодне S не є Р ® Всі Р є не-S;

· для І – Деякі S не є Р ® Деякі (жодне) Р не є не-S;

· для О операція протиставлення суб’єкту не є коректною.

Як бачимо, два варіанти логічних перетворень дають різні результати, хоча вихідне судження в них одне й теж. Насправді ці два, що вийшли в підсумку судження, відрізняються тільки зовні, формою запису, а зміст у них однаковий. У цьому практична цінність логічних операцій і перетворень взагалі: вони дозволяють установити за зовнішньою відмінністю суджень тотожність змісту й, навпаки, при зовнішній схожості формулювань – відмінність змістів.

Зауваження: При виконанні операцій над судженнями потрібно пам’ятати, що Одиничні судження аналізуються як загальні, оскільки в таких судженнях стверджується або заперечується наявність ознаки у всього класу предметів, а клас предметів складається з одного предмета.

Запитання для самоперевірки:

1. Що таке безпосередній умовивід? Наведіть приклади.

2. Які особливості операції перетворення вам відомі? Що таке прості та складні перетворення?

3. Який від судження неможливо обернути?

4. Який вид судження неможливо протиставити предикату?

5. Як виконуються операції над одиничними судженнями?

Основний матеріал запропонованої лекції частково відображено в таких виданнях:

1. Войшвилло / Е. Войшвилло, М. Дегтярев. – М.: Владос-Перс, 2001. – 528с.

2. Гетманова / . – М.:Юристъ, 2002. — 256 с.

3. Логика: Учеб. пособие для студентов вузов / . —М.: Оникс»: «Мир и Образование», 2008. — 336 с.

ЛЕКЦІЯ 9. СКЛАДНІ СУДЖЕННЯ

Визначення й структура складних суджень.

Основні логічні сполучники.

Істинність складних суджень.

Таблиці істинності

Булеві алгебри.

Мета лекції: засвоїти головні типи складних суджень та основні логічні сполучники. Вміти орієнтуватись у таблицях істинності.

Складними судженнями називають у логіці такі, які складаються із двох і більш простих (елементарних) суджень, з'єднаних між собою логічними сполучниками. Таким чином, структура складного судження складається з певного числа простих суджень (які в цьому випадку вже вважаються далі нерозкладними елементами цілого) і відносин між ними, що виражаються логічними сполучниками.

Усього таких сполучників і, отже, типів логічних відносин між складовими складне простими судженнями існує чотири. Кожний з них має своє позначення (символ) і задає свої особливі логічні властивості відповідному до відношення. Спочатку ми дамо саму загальну коротку характеристику цим сполучникам, а потім розкриємо їх логічні властивості, використовуючи для цього так звані таблиці істинності.

1. Поєднальний логічний сполучник – називається у логіці «кон'юнкція» і коротко позначається символом «Λ» або «&». У природній мові до нього найбільше близькі значеннєві відносини найчастіше виражаються сполучником «і». Але цей же зміст може виражатися й іншими частками й сполучниками, такими як «а», «але», «так» і іншими. Досить часто цей зміст у текстах виражається просто комою.

Приклад: «Сьогодні на вулиці пекуче, сухо та сонячно». У цім реченні, тип якого нам добре знайомий, укладене з логічної точки зору складне судження, що полягає із трьох простих, з'єднаних кон’юнкцією. Суб'єкт кожного із простих суджень виражається словами «сьогодні на вулиці», предикати – словами «пекуче», «сухо», «сонячно». Якщо ж записати його правильно, використовуючи логічну символіку, то вийде наступне досить громіздке вираження:

(S – P1) Λ ( S – P2) Λ ( S – P3).

У цьому записі дужки виділяють прості судження. Разом з тим прості судження, коли у логіці мова йде про складні, прийнято позначати заголовними буквами латинського алфавіту: A, B, C, D і т. д., що помітно скорочує запис. У підсумку одержуємо:

А Λ В Λ С.

Розділовий логічний сполучник – у логіці він називається «диз'юнкція» і позначається символом «V». Зміст найбільш близький до логічного значення цього сполучника в природній мові звичайно зв'язується з тим, що ми маємо на увазі, уживаючи сполучники «або» і «або». У подібних випадках можуть також зустрічатися сполучники «а», «але» і інші.

Приклад: «Я буду писати від руки або друкувати на машинці або набирати на комп'ютері». У символічному записі логічний зміст цього речення буде виглядати так: А V В V С.

Логічна теорія розрізняє два види (значення) диз'юнкції: диз'юнкцію слабку, саме вона позначається вже відомим нам символом «V» і диз'юнкцію сильну, або інакше кажучи – строгу (яка відображає несумісність одночасного виконання перелічених варіантів). Остання позначається тим же символом, але з одним відмінністю – до нього додається зверху крапка, от так: « » або іноді використовується символ «W». Різниця між двома видами розділового сполучника досить істотна і її ніколи не слід втрачати з виду. Однак у чому вона полягає ми довідаємося, познайомившись із відповідними таблицями істинності.

3.Умовний логічний сполучник – у логіці зветься «імплікація» і символічно позначається так «→». Приклад запису судження із цим сполучником: А → В. Таке судження називається умовним. У звичайній мові зміст, еквівалентний імплікації, передається комбінацією сполучника й частки «якщо …, то …». Приклад: «Якщо буде гарна погода, то ми підемо в парк». У розгорнутому символічному записі відповідне цьому граматичному реченню логічне судження буде виглядати так: «Якщо S1 є P1, то S2 є P2», більш коротко: (S1 – P1) → (S2 – P2) і гранично скорочена символічний запис: А → В.

4. Еквіваленція – логічний сполучник, позначуваний символом «↔» (стрілка із двома наконечниками). У природній мові зміст, відповідний до цього сполучника, найбільше часто виражається словосполученнями «якщо й тільки якщо …» і «тоді й тільки тоді, коли …». Приклад: «Тоді й тільки тоді, коли ви здасте всі заліки, ви будете допущені до здачі іспитів». У логічній символіці складне судження, укладене в цім реченні, записується дуже просто: А ↔ В. Уживання цього сполучника найбільше характерно для точних наук (математики, теоретичної фізики і т. д.), для юриспруденції, а також мови різного роду інструкцій, договорів і т. п. У розмовному, повсякденному мовленні формулювання, близькі за змістом до значення логічного сполучника еквіваленції (тотожності) зустрічаються не часто.

Заперечення – логічний сполучник, який творить з істинного висловлювання хибне, а з хибного – істинне. Його символічне зображення « ┐» або риса над буквою.

Співвіднесення складних суджень зі структурами (реченнями) природної мови дає в цілому лише приблизне й не дуже точне розуміння значень логічних сполучників. Строге в логічному змісті їх значення задається таблицями істинності. Ці таблиці визначають залежності істинних характеристик складного судження від істинності або хибності вхідних до його складу простих суджень.

Таблиці істинності, що задають значення логічних сполучників, складаються наступним чином: береться складне судження, що полягає із двох простих, з'єднаних одним з логічних сполучників, приміром, судження А Λ В, і методом перебору варіантів розглядаються всі можливі комбінації характеристик істинності для простих суджень. Усього їх чотири. У перших двох колонках за допомогою символів І – істина, Х – хиба вказуються ці значення для простих суджень. У третьому стовпчику по відповідних до рядків дається підсумкова характеристика істинності складного судження. Яка буде ця характеристика саме й обумовлене тем або іншим логічним сполучником.

Для кон’юнкції таблиця істинності виглядає таким чином:

А	В	А Λ В
І	І	І
І	І	Х
І	Х	Х
І	Х	Х

Як видне з таблиці, особливість цього сполучника в тому, що споруджуване на ньому складне судження може бути дійсним тільки в одному випадку: якщо обоє простих судження вхідних до складу складного, дійсні. А якщо таких простих суджень буде більше, чим два, то при наявності сполучного сполучника необхідно, щоб усі вони без винятку були дійсними. А якщо ні, то все кон'юнктивне складне судження буде неправильним.

Справжнім проривом у логіці стала математизації логічних референтів істина та хиба. Англійський математик Дж. Буль запропонував замість «Х» використовувати цифру 0, а замість «І» використовувати «1»(це стало основою для подальшого виведення системи аксіом відносно складних суджень, отримавши назву Булевих алгебр). У подальшому саме ця арифметична запис стала побудовою електронних обчислюваних машин, тому що виконання логічних операцій відтепер стало можливим за допомогою техніки. У 30-ті роки XX ст. піонери інформатики, перш за все, американський вчений Клод Шеннон, зрозуміли, що двійкові одиниця і нуль цілком відповідають двом станам електричної ланцюга (увімкнено-вимкнено), тому двійкова система ідеально підходить для електронно-обчислювальних пристроїв. Була здійснена аналогія подання логічних референтів суджень за допомогою електричних сигналів: 1 - наявність сигналу; 0 - відсутність сигналу.

Таким чином були отримані наступні таблиці істинності для логічних сполучників:

a	b	aÙb (a&b) кон’юнкція	a b (a w b) сувора диз’юнкція	a v b несувора диз’юнкція	a®b (імплікація)	a«b (аºb) Еквіваленція (якщо і тільки якщо)
І	І	І	Х	І	І	І
І	Х	Х	І	І	Х	Х
Х	І	Х	І	І	І	Х
Х	Х	Х	Х	Х	І	І

У арифметичному вигляді таблиця істинності виглядає наступним чином: