Предисловие (стр. 3 )

Рассмотрим брус круглого поперечного сечения, наруженный противоположными моментами вращения Т на торцах. Действие моента вращения приводит к закручиванию бруса по длине на угол . При этом (.) Б перемещается в (.) Б1. Правый торец при этом повернется на угол (фи).

Угол (гамма) называется углом сдвига, а угол (фи) - углом закручивания. Угол сдвига по длине остается постоянным, а угол (фи) увеличивается пропорционально длине стержня.

Если двигаться вдоль радиуса сечения от центра к переферии, от (.) О до (.) В то угол (фи) не меняется, а угол (гамма) увеличивается пропорционально радиусу r.

Из этого следует, что

, или (1.25)

Подставим полученное выражение в закон Гука (1.24) и получаем выражение для определения напряжений:

(1.26)

РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ КРУГЛОГО СПЛОШНОГО БРУСА. Рассмотрим брус круглого поперечного сечения радиуса R (рис.1.20), который закручивается внешним моментом Т. Двумя концентрическими поверхностями с радиусом и выделим из бруса элементарное кольцо. Касательные напряжения, действующие на этой площадке, обозначим через . Тогда элементарный крутящий момент dT равен

(1.27)

Рис. 1.21

Интегрируя (1.27) по радиусу в пределах от 0 до R, получаем значение крутящего момента внутренних сил, уравновешенного внешним моментом вращения:

(1.28)

где - полярный момент инерции круглого сечения с радиусом, равным R, который играет важную роль в расчетах на прочность.

А - площадь поперечного сечения рассматриваемого бруса.

С учетом этого обстоятельства формула (1.28) принимает вид

(1.29)

Если ввести в рассмотрение понятие ПОЛЯРНОГО МОМЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ Wp, равного

(1.30)

то наибольшее значение касательных напряжений согласно (1.26) и (1.29) отпределяется из выражения

При расчете валов, работающих на кручение, часто бывает необходимо определить угол закручивания вала φ (фи) на длине L (см. Рис.1.20.):

(1.31)

Подставляя в формулу (1.31)значение γmax из закона Гука с учетом зависимостей (1.31) получим:

φ = (1.32)

В заключении приведем выражение для полярных моментов сопротивления и инерции практически важных сечений (1.21 а-с).

а) b) с)

Рис.1.21.

1. Круг сплошного сечения диаметром D (рис. 1.21а):

. (1.33)

2. Круглое поперечное сечение диаметром D с отверстием диаметром d

(рис. 1.21в):

; . (1.34)

3. Тонкостенный цилиндр толщиной δ (дельта) и диаметром D (рис. 1.21с):

; (1.35)

Напомним, что для произвольных круглых сечений имеет место равенства:

Wx = Wp / 2 Jx = Jp / 2; (1.36)

1.4.4. ИЗГИБ

ИЗГИБОМ называется такой вид деформации, при котором под действием силовых факторов, вызывающих поперечное смещение оси бруса, наблюдается изменение кривизны его продольной оси. В результате продольные слои бруса нагружаются неравномерно: один из них увеличивают первоначальную длину (удлиняются), в то время как другие - уменьшаются (укорачиваются). На рис. 1.22 приведен пример одного из бесчисленного множества таких нагружений.

Рис.1.22

Здесь брус нагружается дейтсвующими в разных плоскостях распределнными силами q1 и q2, поперечной сосредоточенной силой F и внешним моментом изгиба М.

Рис.1.23

На Рис.1.23 представлена схема деформирования бруса на двух опорах, нагруженного внешней поперечной силой F.

Изгибу подвергаются длинные детали, типа стержней. Классическим примером поперечного изгиба является изгиб валов и осей механических передач.

Изгиб может быть поперечны и продольным. Продольный изгиб возникает когда на балку действуют продольные силы.

ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ. Вследствии изгиба в любом попреречном сечении бруса возникают напряжения, которые в общем случае представляют собой результат совместного действия поперечных (касательных) Q и нормальных N сил, а также моментов изгибающих Mx и My. Как обычно, внутренние силовые факторы находятся методом сечений. На рис 1.23 балка на двух опорах А и Б нагружена силой F. В опорах будут возникать реакции Rа и Rб.

Рассечем балку сечением 1-1 в (.) К на расстоянии Х от начала координат (.) А. Применяя метод сечений рассмотрим левую часть балки Рис.1.24.

Рис.1.24

В сечении возникают касательные и нормальные напряжения. Если просуммировать касательные напряжения (тау) по площади сечения А, то

(1.37)

где Q - перерезывающая сила.

Если, далее, просуммировать напряжения изгиба (сигма ) (см. Рис 1.24) по плошади сечения А то получим сосредоточенный изгибающий момент Ми. Ми и Q являются ВНУТРЕННИМИ СИЛОВЫМИ ФАКТОРАМИ.

Составляя уравнения равновесия для выделенного элемента получим:

(1.38) Откуда Q = Ra; Mи = Ra * X.

ПРАВИЛО ЗНАКОВ изгибающих моментов:

Если в результате изгиба прогиб балки направлен выпуклостью вниз - момент изгибающий балку ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ.

Если в результате изгиба прогиб балки направлен выпуклостью вверх - момент изгибающий балку ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ.

НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ИЗГИБА.

На рис.1.25 представлен изгиб участка балки, нагруженной положительным изгибающим моментом.

Рис.1.25

Форма деформации балки при изгибе показывает, что на выпуклой стороне волокна материала растягиваются ( + ), а на вогнутой - сжимаются В среднем слое о-о, напряжения и удлиннение равны нулю.

Рассмотрим волокно а-а. Удлиннение этого волокна равно (Рис.1.25). Относительное удлиннение волокна а - а :

Выразим длины дуг через радиус (ро) и угол (альфа), получим:

(1.39)

Тогда закон Гука для изгиба будет иметь вид:

(1.40)

Таким образом наибольшее растяжение, а значит и напряжение, будет на растянутом волокни при Z = Zmax = h /2.

Рассечем балку по сечению 1 - 1 и рассмотрим выделнную левую часть балки (Рис.1.26).

Рис.1.26

При +h /2; При - h /2; .

Эти напряжения можно заменить внутренним силовым фактором (моментом Ми, см. рис.1.26):

Ми = F. Zo.

Определим связь внутреннего изгибающего момента с напряжениями изгибаю Для этого рассмотрим элемент балки в сечении 1 - 1, как это показано на Рис.1.27.

Рис. 1.27

Выделим на поверхности сечения элементарную площадку dA, на которой дей ствуют напряжения (сигма). Тогда:

,

подставляя в эту формулу значения напряжений из закона Гука, получим:

(1.41)

Интегрируем выражение (1.41). Получим:

(1.42)

Выражение: называется осевым моментом инерции (относительно оси Х) и обозначается - Jx.

Обозначим ; (1.43)

где Wx - осевой момент сопротивления,(мм3).

Таким образом, расчет на прочность при изгибе производится по формуле:

(1.44)

1.4.5. КОНТАКТНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ.

Контактные деформации и напряжения образуются на поверхности контактирующих деталей в зоне контакта, ограниченной пятном контакта.

Эти напряжения обязательно учитывают при проектировании зубчатых передач, кулачковых механизмов, при расчете шариковых и роликовых подшипников и др.

Площадь контакта двух тел зависит от силы их взаимодействия, материалов, из которых они изготовлены, вида поверхностей и соотношения радиусов соприкасающихся поверхностей [6].

Напряжения на площадке контакта, распределенные неравномерно, определяют методами теории упругости. При этом полагают, что в зоне контакта двух тел возникают только упругие деформации, подчиняющиеся закону Гука; размеры контактных площадок малы по сравнению с радиусами кривизны соприкасающихся поверхностей; силы давления перпендикулярны к поверхностям контакта; на контактных поверхностях возникают только нормальные напряжения. Материал в центре контактной площадки, не имея возможности свободно деформироваться, испытывает объемное напряженное состояние.

В теории упругости показано, что наибольшие напряжения возникают в точках тел, несколько удаленных от поверхности контакта. Этим, в частности, можно объяснить усталостное разрушение материала при переменных напряжениях путем отслаивания его в месте контакта. Ниже приведены основные схемы контактного взаимодействия деталей и расчетные формулы для этих случаев.

Рис.1.28.

Контакт шаров - (а), шара с вогнутой сферической поверхностью -(б), шара с плоскостью - (в).

Сжатие шаров. В случае центрального сжатия силами F двух шаров с радиусами R1 и R2 (рис.1.28), а) поверхность их контакта представляет собой окружность радиуса «а», определяемого по формуле

(1.45)

где E1 , Е2 — модули упругости материалов шаров. Наибольшее напряжение в центре площадки контакта:

(1.46)

При контакте шара и плоскости (рис.1.28,в), когда R2 =,

(1.47)

Сжатие цилиндров. При сжатии ци­линдрических тел с параллельными об­разующими и равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q ширина пло­щадки контакта (рис 1.29),

Рис.1.29. Контакт цилиндрических тел по образующим.

(1.48)

а контактные напряжения в центре площадки контакта будут рассчитываться по формуле:

(1.49)

1.5. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ ПРИ КОНСТРУИРОВАНИИ К

ДЕТАЛЯМ МАШИН.

Основное требование - РАБОТОСПОСОБНОСТЬ.

1. РАБОТОСПОСОБНОСТЬ - способность детали или сборочной единицы (изделия) выдерживать заданные нагрузки, сохраняя значения параметров, установленных технической документацией.

Для успешной работы машины в условиях эксплуатации все ее детали и сборочные единицы должны быть надежны.

2. НАДЕЖНОСТЬ - это свойство комплексное, которое включает в себя: б е з о т к а з н о с т ь, д о л г л в е ч н о с т ь,

р е м о н т о п р и г о д н о с т ь, и с о х р а н я е м о с т ь. НАДЕЖНОСТЬ - это свойство изделия выполнять в течении заданного времени свои функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортирования.

Основные положения надежности определены ГОСТ 27.0

Тория надежности явдяется очень важной самостоятельной наукой, основанной на теории вероятности и математической статистики [4].

2.1. Б е з о т к а з н о с т ь - способность изделия быть работоспособным в течении определенного срока службы

или наработки. Обычно срок службы задается в ЧАСАХ.

2.2 Д о л г о в е ч н о с т ь - свойство изделия сохранять работоспособность до п р е д е л ь н о г о с о с т о я н и я с необходимыми перерывами для технического обслуживания и ремонтов. Предельное состояние изделия оговаривается в технической документации и определяется невозможностью его дальнейшей эксплуатации.(см.[4] ).

2.3. Р е м о т о п р и г о д н о с т ь - приспособленность изделия к предупреждению, обнаружению и устранению отказов и неисправностей при проведении технического обслуживания и ремонта.

2.4. С о х р а н я е м о с т ь - сиойство изделия сохранять свои эксплуатационные показатели в течении регламентированного срока хранения и транспортирования.

Дл я количественной оценки надежности изделия в процессе разработки и проектирования служат ряд показателей, основным из которых является

в е р о я т н о с т ь б е з о т к а з н о й р а б о т ы - Р(t)/.

P(t) = 1 - m / N (1.50)

где m - число изделий, отказавших за время t.

N - число испытуемых изделий.

О т к а з - событие, заключающееся в нарушении работоспособности изделия.

Н а р а б о т к а н а о т к а з определяется отношением времени работы (н а р а б о т к и) восстанавливаемой машины к ожидаемому числу отказов в течении этой наработки.

3. Т е х н о л о г и ч н о с т ь - это процесс изготовления, сборки изделия с наименьшими затратами средств, времени и труда.

4. Э к о н о м и ч н о с т ь - минимизация затрат на проектирование изделия, изготовление и последующую его эксплуатацию.

5. Э с т е т и ч н о с т ь и э р г о н о м и ч н о с т ь деталей и машины в целом это современный эстетичный вид изделия и удобство в обращении при эксплуатации и техническом обслуживании.

Максимальное удовлетвоворение указанным выше требованиям, которые часто противоречат друг другу, и определяет К в а л и ф и к а ц и ю к о н с т у к т о р а и у р о в е н ь п р о е к т и р о в а н и я в целом.

1.6. ОСНОВНЫЕ КРИТЕРИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ

ДЕТАЛЕЙ МАШИН.

Если работоспособность является основным требованием, предъявляемым к деталям, сборочным единицам и машинам в целом, то необходимо знать и уметь определять основные критерии работоспособности конкретной детали, исходя из условий ее работы (схемы нагружения, закрепления, вида деформирования и т. д). Кроме того необходимо уметь теоретическим (расчтным) путем определять размеры и форму деталей под нагрузкой достаточные для предотвращения отказов.

Во время работы в деталях могут происходить ВНЕЗАПНЫЕ или ПОСТЕПЕННЫЕ отказы.

В н е з а п н ы й о т к а з - отказ, характеризующийся внезапным разрущением детали. Это самый опасный вид отказа, который не может диагностироваться заранее. Такой отказ может происходить в результате внезапного разрушения (поломки) детали при перегрузке или недостаточной

с т а т и ч е с к о й или д н а м и ч е с к о й (у с т а л о с т н о й) п р о ч н о с т и.

Из всего вышеизложенного следует вывод, что ПРОЧНОСТЬ деталей является ОСНОВНЫМ или ГЛАВНЫМ критерием работоспособности.

П о с т е п е н н ый о т к а з - оказ, которому предшествует значительный период изменения формы или других свойств детали, которые могут быть замечены визуально или диагностироваться с помощью специального оборудования при техническом осмотре машины. К таким отказам прежде всего следует отнести ИЗНОС деталей. Процесс износа сопровождается и зменением р а з м е р о в и ф о р м ы деталей. Износ в дальнешем приводит к з а е д а н и ю, п е р е г р е в у, потере достаточной п р о ч н о с т и и. как следствие этого - к отказу.

Достаточная статическая и динамическая ПРОЧНОСТЬ определяется расчетным путем решением УРАВНЕИЙ или УСЛОВИЙ достаточной прочности. В общем случае эти условия имеют вид:

(1.51)

где - нормальные (касательые) напряжения в детали, МПа;

В. С.Ф. - внутренний силовой фактор, соответствующий виду деформации;

Г. Ф. - геометрический фактор;

- допускаемые напряжения, МПа.

Ниже представлены основные виды уравнений прочности, наиболее часто встречающиеся при расчете деталей машин.

1. РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ).

(1.52)

где - расчетные напряжения растяжения (сжатия), МПа;

F - внутренняя растягивающая (сжимающая ) сила, Н;

А - площадь поперечного сечения детали, в котором производится

расчет, мм;

[] - допускаемые напряжения растяжения (сжатия ) для материала

детали, МПа.

2.ИЗГИБ.

(1.53)

где - расчетные, допускаемые напряжения изгиба, МПа;

МИ - изгибающий момент в рассматриваемом сечении, Нм;

Wx - осевой момент сопротивления сечения балки, мм3;

Для основных форм сечений балок - круг и прямоугольник :

;

,

где h – размер прямоугольника, перпендикулярный оси Х

3. КРУЧЕНИЕ.

(1.54) где - расчетное и допускаемое напряжение кручения, МПа;

Т - крутящий момент в рассматриваемом сечении, Нм;

Wр - полярный момент сопротивления сечения детали, мм3.

4. СРЕЗ.

, (1.55) где - расчетное и допускаемое напряжение среза, МПа;

F - cила среза, Н;

А - площадь среза, мм2.

5. СМЯТИЕ.

(1.56)

где Gсм, [Gсм] - расчетное и допускаемое напряжение смятия, МПа;

F - cила смятия, Н;

Асм - площадь смятия, мм(кв).

Процесс среза и смятия подробно рассмотрен выше (Рис.1.18) на примере деформации заклепки.

1.7. ДВА МЕТОДА ВЫБОРА ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.

Для определения достаточной прочности деталей машин по уравнениям прочности (1.необходимо знать значения допускаемых напряжений, которые можно определить двумя методами: ТАБЛИЧНЫМ и РАСЧЕТНЫМ (ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫМ).

ТАБЛИЧНЫЙ метод проще и точнее, так как основан на практике эксплуатации подобных деталей в реальных условиях. Однако для всех видов деталей и способов их нагружения таблицы не разработаны (см.[5]). Поэтому второй метод определения допускаемых напряжений более универсален.

РАСЧЕТНЫЙ метод заключается в определении допускаемых напряжений по зависимости:

(1.57)

где - предельное напряжение материала детали, МПа;

S - общий коэффициент запаса прочности.

В случае постоянной нагрузки в качестве предельных напряжений принимают:

или (1.58)

- предел текучести (для пластичных материалов), предел прочности для хрупких материалов.

Если нагрузка переменная, то в этом случае в качестве предельных напряжений принимают пределы выносливости материалов:

Тогда зависимости (1.55) примут вид:

(1.59) Если срок службы детали ограничен, то зависимости (1.57) будут иметь вид:

(1.60)

где Kд = ;

Nб - базовое число циклов изменения напряжений (определяется типом детали) - известная величина,

N - число циклов изменения напряжений за весь заданный срок службы детали или изделия;

m - показатель степени, определяемый типом изделия (заданная величина).

Во всех зависимостях, представленных выше, присутствует коэффициент запаса прочности S, который определяется по формуле:

(1.61)