Оптимальное секционирование воздушных распределительных сетей 6…10 кВ в условиях нормирования показателей надежности (стр. 6 )

Учитывая, что Постановлением НКРЭ Украины № 000 [59] показатели надежности SAIDI, SAIFI и EENS (характеризующие длительные отказы в электроснабжении и на которые, в основном, влияет установка в сети СУ) регламентируются в качестве отчетных, целесообразными являются следующие модели (постановки) задачи оптимального размещения в сети СУ:

Модель 1. Максимизация ЦФ (2.7) при определении нормированного показателя повышения надежности согласно (2.8) и наличии ограничений на используемый ресурс

,

где – характеризует величину максимальных допустимых инвестиций или предельное количество устанавливаемых СУ конкретного типа.

При этом рекомендуется, что бы ограничения на ресурс рассматривались как функция от длины линии (например, 1 разъединитель на m километров длины), или суммарной средней нагрузки линии (например, 1 реклоузер на k кВт присоединенной нагрузки). Эта модель может быть использована для определения величин нормируемых регулирующим органом (например, НКРЭ) показателей надежности электроснабжения потребителей (например, SAIDI и SAIFI) для конкретных энергосистем (в зависимости от достигнутых значений показателей надежности по этим энергосистемам).

Модель 2. Максимизация ЦФ (2.7) при наличии ограничений на величины показателей надежности, используемых в выражении (2.8)

Данная модель может быть использована для оценки затрат на повышение надежности при условии удовлетворения установленных ограничений. При этом, величины и могут нормироваться НКРЭ.

Модель 3. Максимизация ЦФ (2.7) при определении нормированного показателя повышения надежности согласно (2.8) и наличии ограничений на используемый ресурс (аналогично модели 1) и значения показателей надежности, используемых в выражении (2.8) (аналогично модели 2)

Данная модель реализует практическую постановку задачи размещения в сети СУ в пределах конкретного РЭСа или ПЭСа. Ее решение позволит энергоснабжающему предприятию или выйти на заданные величины нормируемых показателей надежности в пределах ограничений на ресурс, или укажет на невозможность решения данной задачи и, как следствие, необходимость поиска и применения других технических средств (например, использование самонесущих изолированных проводов для уменьшения параметра потока отказов, или указателей короткого замыкания для сокращения длительности времени поиска и локализации повреждения) или организационных мероприятий (например, увеличение количества и квалификации персонала, обслуживающего электрические сети).

Модель 4. Максимизация ЦФ (2.7) при определении нормированного показателя повышения надежности согласно (2.8) и отсутствии материальных (в том числе и финансовых) и технологических ограничений. В данном случае может использоваться ограничение на вычислительный ресурс (например, максимальное количество итераций), устанавливаемое ЛПР.

Данная модель может быть использована для решения широкого круга исследовательских задач, например:

- оценка эффективности использования тех или иных СУ, которая должна выразиться в формировании для конкретных объектов правил-рекомендаций типа «Установка предохранителя-разъединителя в начале ответвления целесообразна, если длина ответвления превышает n километров» (например, по аналогии с [101], где предлагаются эвристические правила размещения в линиях предохранителей и реклоузеров);

- анализ влияния весовых коэффициентов, используемых в выражениях (2.8) и (2.9), на принятие решений относительно оптимального размещения в сети отдельных видов СУ, с целью выработки соответствующих рекомендаций.

2.3 Анализ методов решения задачи оптимизации надежности

Исследования [102, 103] указывают на ряд особенностей, характерных задаче оптимизации надежности ВРС 6…10 кВ:

- дискретность переменных управления, поскольку большинство управляющих воздействий в СЭС по своей природе являются дискретными;

- достаточно большая размерность (количество переменных управления) и нелинейность решаемой задачи, связанная с существенной протяженностью и разветвленностью линий;

- алгоритмическое или табличное задание целевой функции и ограничений, зависящее от размещения в линиях различных видов современных коммутационных и защитных аппаратов.

Указанные особенности существенным образом влияют на выбор метода решения оптимизационной задачи. При этом следует отметить следующее.

Непосредственное получение дискретного решения дискретных по своей природе задач оптимизации надежности СЭС представляется необходимым в силу следующих причин.

Ценой отказа от учета фактора дискретности переменных управления и соответствующего сглаживания функций удается заменить действительную ЦФ на выпуклую, заданную на выпуклой области. При таком подходе открывается возможность анализа получаемой модели на основе хорошо разработанных методов выпуклого или, в частном случае, линейного программирования. Однако при этом практически всегда существует опасность искажения ЦФ (и соответственно отклонения от оптимума [104]) или нарушения ограничений в процессе округления значений переменных до ближайших стандартных. Кроме того, процедура перехода от исходной модели к ее выпуклому аналогу связана с существенным ее огрублением, нередко выхолащивающим сущность решаемой задачи [105]. Наконец, наличие эффективных алгоритмов дискретной оптимизации способствует постановке и решению задач комбинаторного или альтернативного характера, которые ранее не рассматривались на формальном уровне.

Из многообразия моделей дискретного математического программирования можно выделить два широких класса, в рамках которых формализуемы [104] задачи оптимизации управления функционированием и развитием СЭС (в том числе и задачи повышения надежности ВРС 6...10 кВ).

Первый класс моделей связан с общей задачей дискретного математического программирования, формулировка которой сводится к следующему.

Пусть – вектор переменных, для каждой из которых определено множество Di ее возможных значений; F(x) – ЦФ, подлежащая максимизации или минимизации; gj(x), j=1,...m – функции, определяющие область изменения переменных xi, i=1,...,n. С учетом введенных обозначений математическая модель общей задачи дискретного программирования может быть представлена следующим образом: найти вектор , доставляющий экстремум (максимум или минимум в зависимости от сути задачи) ЦФ, т. е.

F (x) —› extr (2.11)

при выполнении ограничений

(2.12)

. (2.13)

В выражении (2.12) bj, j=1, ..., m – заданные постоянные величины.

Второй класс моделей связан с оптимизационными задачами комбинаторного типа. При их решении отыскивается экстремальное значение некоторой ЦФ, определенной на заданном конечном множестве.

Пусть A – конечное дискретное множество. Комбинаторным пространством D назовем [106] совокупность всех объектов определенного вида, полученных из элементов множества A (это могут быть сочетания, перестановки, размещения, а также объекты, получаемые в результате выполнения логических операций над элементами множества A). С учетом сказанного оптимизационная задача комбинаторного типа может быть представлена следующим образом: найти вектор из пространства D или его части G, доставляющий экстремум ЦФ, т. е.

. (2.14)

В ряде задач требуется, чтобы только некоторые из компонентов были целыми. Другие компоненты могут быть непрерывными, этот случай носит название частично целочисленного программирования. Ситуация, когда все компоненты должны быть целыми, называется полностью целочисленным программированием. В некоторых задачах целочисленного программирования требуется определить вектор , компоненты которого принимают только двоичные значения 0 или 1. В этом случае говорят о булевом (бивалентном) программировании.

Многие из оптимизационных задач комбинаторного типа могут быть сведены [104] к задачам линейного целочисленного или булевого программирования. Из этого следует, что не существует выраженной границы между задачами, формализуемыми в рамках модели общей задачи дискретного программирования, и оптимизационными задачами комбинаторного типа. В связи с этим для решения дискретных по своей природе задач оптимизации управлением функционированием и развитием СЭС важно формировать такие модели их формализации, а также соответствующие методы и алгоритмы анализа, которые отражали бы важнейшие свойства и особенности этих задач таким образом, чтобы их учет помог эффективнее их решить.

В исследованиях [1, 2, 107, 108] указано на существование обсуждаемых ниже непреодолимых трудностей вычислительного характера, возникающих при постановке задач дискретной оптимизации надежности СЭС и их решении на основе традиционно используемых в энергетических расчетах методов дискретного математического программирования.

Существующие методы анализа моделей дискретного математического программирования могут быть условно [106, 109] классифицированы следующим образом: а) методы отсечения; б) комбинаторные методы; в) приближенные методы.

Группы методов а) и б) относятся к точным методам, т. е. таким, которые, по крайней мере, теоретически обеспечивают гарантию получения глобального решения соответствующих задач.

Методы отсечения направлены в большинстве своем на решение только линейных задач. Кроме того, они требуют обязательного аналитического задания ЦФ и ограничений, что также резко сужает сферу их применения. Методы отсечения основаны на «регуляризации» задачи, которая [106] достигается погружением ее исходной области допустимых решений, определяемой ограничениями (2.12), в объемлющую ее выпуклую область, т. е. временным отбрасыванием условий дискретности (2.13). К полученной регулярной задаче применяются стандартные методы оптимизации. Если получившееся в результате решение удовлетворяет условиям дискретности (2.13), то задача решена. В противном случае необходим дальнейший переход к решению, удовлетворяющему ограничениям (2.13). Этот переход и составляет сущность методов отсечения. Для задачи линейного целочисленного программирования идея такого перехода заключается в следующем.

Если в результате первого шага (решение без учета ограничений (2.13)) получено нецелочисленное решение, то к ограничениям (2.12) добавляется новое ограничение, обладающее тем свойством, что полученное нецелочисленное решение ему не удовлетворяет, а любое целочисленное решение ему удовлетворяет. Последовательным введением таких ограничений (ограничений-отсечений) реализуется процесс правильных отсечений – построений гиперплоскостей, отсекающих от многогранной области допустимых решений оптимальную вершину, но сохраняющих при этом все целочисленные (в общем случае дискретные) точки этой области.

Поэтому методы, базирующиеся на этой идее, получили название «методов отсечения».

Указанная идея [106] естественным образом приводит к трем проблемам:

а) нахождение универсального правила формирования ограничений-отсечений;

б) доказательство конечности соответствующего процесса отсечений;

в) борьба с чрезмерным «разрастанием» задачи при введении дополнительных ограничений (ограничений-отсечений).

Основу практически всех методов отсечения составляют три алгоритма Гомори [106, 109], базирующиеся на использовании двойственного симплекс-метода (исключение составляет алгоритм Юнга, связанный с применением прямого симплекс-метода). Характеризуя их эффективность, необходимо указать на следующее.

Теоретический, а также экспериментальный анализ [109] выявил серьезные недостатки при их использовании: низкая скорость сходимости, значительные «нерегулярность» и «непредсказуемость» их поведения при вычислениях. Известно также [106], что первый и второй алгоритмы Гомори, их различные модификации весьма чувствительны к ошибкам округления, что обусловливает возможность получения на их основе неправильных решений. От вредного влияния ошибок округления свободен третий алгоритм Гомори, предназначенный для решения полностью целочисленной задачи. Между тем проведенные теоретические исследования [110] показали, что по отношению к третьему алгоритму Гомори и его модификациям существуют трудные задачи (например, связанные с расстановкой СУ в распределительных сетях [1, 2]), в которых число итераций быстро растет с ростом числа переменных и коэффициентов ЦФ и ограничений.

Таким образом, сферой приложения методов отсечения являются задачи дискретного (целочисленного, булевого) программирования относительно небольшой размерности.

Указанные недостатки методов отсечения послужили мощным стимулом к разработке и использованию комбинаторных методов.

Основная идея всех комбинаторных методов состоит [106, 110] в использовании конечного множества решений соответствующей задачи и применении сокращенного перебора вариантов решений. Сокращение перебора основано на оценке и отбрасывании неперспективных (т. е. заведомо не содержащих оптимума) вариантов решений. Эта идея реализуется в результате разбиения априорного множества вариантов решений на ряд подмножеств, которые в свою очередь разбиваются на другие подмножества и т. д. Среди этих подмножеств могут оказаться не содержащие допустимых или оптимальных решений. Если это удается выявить на основе каких либо оценок, то такие подмножества исключаются. При этом открывается возможность нахождения решения не полным, а частичным (направленным) перебором. Поэтому нередко комбинаторные методы называют «методы направленного перебора».

Комбинаторные методы занимают существенное место в дискретном математическом программировании. Связывается это с тем, что общая вычислительная схема этих методов достаточно гибка, универсальна и, таким образом, приемлема для анализа задач дискретного математического программирования, формализуемых в рамках различных классов моделей. В частности, комбинаторные методы применимы непосредственно к исходной, естественной формулировке оптимизационных задач комбинаторного типа без сведения их к общей задаче дискретного математического программирования, что представляется достаточно важным. Кроме того, вычислительный процесс, возникающий при использовании комбинаторных методов, в силу сказанного выше, является конечным по своему построению; поэтому вопрос о сходимости методов не возникает.

Основную массу комбинаторных методов составляет метод ветвей и границ, а также многочисленные его модификации [106, 109, 110]. Многие известные в наше время пакеты и библиотеки прикладных программ, предназначенные для решения задач дискретной оптимизации, основаны на тех или иных вариантах общей схемы метода ветвей и границ [105]. Комбинаторные методы также включают использование динамического программирования [106], методы последовательного анализа вариантов [111], последовательные схемы [112], локальные алгоритмы [109] и др. Кроме того, к комбинаторным методам следует отнести бивалентное программирование [113], ориентация на который обеспечивает анализ моделей той же размерности, что и исходная, содержащая ЦФ и/или ограничения с булевыми операциями.

Характеризуя метод бивалентного программирования в целом, необходимо указать на следующее [113]. Метод связан с трудно формализуемыми и чрезвычайно громоздкими формированием и анализом множества различных базисных решений системы ограничений и соответствующих им характеристических функций, а также минимизацией ЦФ F(x) на каждом из базисных решений. О сказанном свидетельствует, в частности, то, что решение относительно простой задачи расстановки СУ в распределительной линии потребовало формирования и анализа в общей сложности 58 псевдобулевых неравенств [2].

Особое положение среди комбинаторных методов занимает динамическое программирование, использовавшееся для решения задач энергетики в работах [108, 114, 115 и др.]. Этот метод оказывается полезным для точного решения задач дискретной оптимизации с незначительным числом переменных и малым количеством «существенных» ограничений (не более 2–3). Кроме того, экспериментальное решение задач повышения надежности распределительных сетей [2] указывают на недостаточно высокую эффективность метода динамического программирования, поскольку снижение числа операций по сравнению с полным перебором осуществимо за счет заметного увеличения объема используемой памяти ЭВМ.

Долгое время единственным способом оценки эффективности комбинаторных методов было численное экспериментирование [109, 110]. Следуя [110], необходимо указать на те тенденции, которые проявились в достаточно представительных сериях машинных экспериментов с методами типа ветвей и границ:

а) экспоненциальное возрастание трудоемкости вычислений при росте числа переменных;

б) существенные трудности в доказательстве оптимальности полученных решений, поскольку установление оптимальности решения нередко требуют больше времени, чем его получение. В частности, для многих решенных задач оптимальность полученных решений не была доказана.

Между тем указанные выше проблемы получили теоретическое объяснение, в частности, по отношению к методам типа ветвей и границ [109, 110]. Кроме того, в работе [105] оценивается трудоемкость решения задач дискретной оптимизации с позиции общей теории сложности вычислений. Основной ее вывод относительно задач дискретной оптимизации состоит в том, что их так называемая NP – полнота не позволяет указать для них алгоритмов, трудоемкость которых полиномиально зависит от размеров задачи.

Таким образом, проблемы дискретности, нелинейности и многомерности порождают принципиальные вычислительные трудности при использовании точных методов дискретного математического программирования. В связи с этим разработка и исследование приближенных методов стали основным направлением развития дискретной оптимизации.

В работе [105] приближенные методы разделяются на две группы: методы, поддающиеся формальному обоснованию и оценке, и методы, включающие процедуры, основанные на эвристиках. Под эвристикой будем понимать [116] принцип, который заключает в себе некоторое, решающее проблему, знание и имеет определенную вероятность быть более эффективным по сравнению с алгоритмами, основанными на строгой теории, но работа которого не во всех ситуациях гарантируется. Эвристические приемы не имеют формального обоснования, а базируются лишь на учете специфики структуры задачи, ее содержательной постановки. При этом следует подчеркнуть, что эвристические и формальные методы имеют единую родовую основу, а поэтому решение, получаемое с помощью хорошей эвристики, может не отличаться от оптимального или может быть достаточно близким к нему [117].