Случайные величины (стр. 10 )

Пример 8.10. Дана функция

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х.

Решение. Плотность распределения случайной величины Х равна

Так как асимметрия , эксцесс , то найдем начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

Тогда

Так как то Следовательно,

Пример 8.11. Плотность случайной величины Х задана следующим образом:

Найти моду, медиану и математическое ожидание Х.

Решение. Найдем математическое ожидание Х:

.

Так как плотность распределения достигает максимума при х = 1, то М0(Х) =1. Медиану Ме(Х) найдем из условия . Для этого вначале найдем функцию распределения :

если , то

если , то

если , то

Таким образом,

Уравнение равносильно уравнению , откуда .

Пример 8.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно плотности распределения ).

Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математического ожидания функции от случайного аргумента Х

где а и b — концы интервала, в котором заключены возможные значения Х, получим

Пример 8.13. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.

Решение. Так как , то отсюда видно, что при х = 4 плотность распределения достигает максимума и, следовательно, М0(Х) = 4 (можно было найти максимум методами дифференциального исчисления).

Кривая распределения симметрична относительно прямой х = 4, поэтому М(Х) = Ме(Х) = 4.

Задачи для самостоятельного решения

8.15. Случайная величина Х имеет плотность

Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Ответ: М(Х) = 0,5909; D(Х) = 0,0781.

8.16. Случайная величина Х имеет плотность

Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Ответ: .

8.17. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно плотности распределения ).

Ответ: .

8.18. Плотность случайной величины Х имеет вид

Найти коэффициент а. Вычислить моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков случайной величины Х.

Ответ: ,

8.19. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти начальные моменты случайной величины Х.

Ответ: не существуют при k ³ 6.

8.20. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Ответ:

8.21. Случайная величина Х имеет функцию распределения

Найти математическое ожидание случайной величины .

Ответ:

8.22. По данным задачи 8.9 (при ) найти моду и медиану распределения; вероятность того, что случайная величина Х окажется в промежутке математическое ожидание и дисперсию Х.

Ответ: .

8.23. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид

(распределение Лапласа).

Ответ:

8.24. Случайная величина Х подчинена закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») на участке от –а до +а (рис. 8.10). Написать выражение плотности распределения; построить график функции распределения; найти числовые характеристики случайной величины Х: , , , . Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

Рис. 8.10

Ответ: