Случайные величины (стр. 8 )

Рис. 8.6

Решение. Пользуясь графиком, записываем аналитическое выражение плотности распределения вероятностей данной случайной величины

Найдем функцию распределения.

Если , то .

Если , то .

Если , то

Если , то

Следовательно, функция распределения имеет вид

Задачи для самостоятельного решения

8.1. Дана функция

Показать, что данная функция является функцией распределения некоторой случайной величины Х. Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значения из интервала .

Ответ: .

8.2. Дана функция

Является ли она функцией распределения некоторой случайной величины?

Ответ: нет.

8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция

?

Ответ: нет.

8.4. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций:

а)

б)

Ответ: а) да; б) нет.

8.5. Дана функция распределения случайной величины Х:

Найти плотность вероятности, а также вероятности .

Ответ:

.

8.6. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал . Построить график функции F(х).

Ответ: .

8.7. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значения: а) меньше 4; б) меньше 6; в) не меньше 3; г) не меньше 6.

Ответ:.

8.8. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале , задана квадратичной функцией , имеющей максимум при х = 4. Найти параметры а, b, с и вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

Ответ: .

8.9. Функция распределения случайной величины Х имеет вид

Определить постоянные а и b. Найти плотность вероятности случайной величины Х и построить ее график.

Ответ:

8.10. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х определяется функцией

.

Найти значение коэффициента а. Найти функцию распределения F(х) величины Х.

Ответ: .

8.11. Функция р(х) задана в виде

Найти значение постоянной а, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; функцию распределения F(х); вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке .

Ответ: .

8.12. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(х).

Ответ:

8.13. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в интервале равна ; вне этого интервала р(х) = 0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет два раза значение, заключенное в интервале .

Ответ: .

8.14. Функция распределения случайной величины Х имеет вид Определить постоянные а, b и найти плотность распределения вероятностей р(х).

Ответ:

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

где р(х) — плотность распределения случайной величины Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяется равенством

если интеграл сходится, или равносильным равенством

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то

или

Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством

.

Модой непрерывной случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого плотность вероятности р(х) достигает максимума).

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого

.

Вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , геометрически делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 8.7).