Случайные величины (стр. 9 )

 

Рис. 8.7

Очевидно, что .

Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством

.

Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством

.

Если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то

, .

Очевидно, что ; ; ; ; . Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

,

,

.

Математическое ожидание М(Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент, или дисперсия , — степень рассеяния распределения Х относительно М(Х).

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения.

Величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины.

А = 0, если распределение симметрично относительно математического ожидания.

Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

.

Кривые более островершинные, чем кривая для нормального распределения, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным эксцессом.

Пример 8.7. Дана функция

При каком значении параметра с эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины Х? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение. Для того чтобы р(х) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, т. е. , откуда и она должна удовлетворять свойству 4 плотности вероятности.

Следовательно,

откуда

.

Найдем интеграл , применив метод интегрирования по частям

Таким образом,

и плотность распределения имеет вид

Следовательно,

Дисперсия

Вначале найдем

Теперь

Пример 8.8. Случайная величина Х распределена по «закону прямоугольного треугольника» в интервале (рис. 8.8).

1. Написать выражение плотности распределения.

2. Найти функцию распределения F(х).

3. Найти вероятность попадания случайной величины Х на участок от до а.

4. Найти характеристики величины Х: М(Х), D(Х), , .

Решение. Так как площадь прямоугольного треугольника есть площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, то она равна единице: и, следовательно, . Уравнение прямой АВ в отрезках имеет вид , откуда , то есть функция плотности распределения имеет вид

Найдем функцию распределения F(х):

если , то

если , то

если , то

Таким образом,

Вероятность попадания случайной величины Х на участок от до а определяется по формуле

.

Найдем математическое ожидание:

Следовательно,

,

.

Так как , а , ,

,

то .

Пример 8.9. По данным задачи 8.5 найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), моду М0(Х) и медиану Ме(Х).

Решение. Так как

то .

Дисперсия

Вначале найдем

.

Следовательно,

График плотности вероятности р(х) имеет вид (рис. 8.9)

Рис. 8.9

Плотность вероятности р(х) максимальна при х = 2, это означает, что М0(Х) = 2.

Из условия найдем медиану Ме(Х): ; откуда