Случайные величины (стр. 1 )

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

7. Дискретная случайная величина

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначают случайные величины буквами Х, Y, Z, а их возможные значения — х, у, z.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным.

Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения — это соответствие между возможными значениями и их вероятностями:

Х			…
Р			…

, .

События образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице:

.

Ряд распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически в виде полигона или многоугольника распределения вероятностей. Для этого по горизонтальной оси в выбранном масштабе нужно отложить значения случайной величины, а по вертикальной — вероятности этих значений, тогда точки с координатами будут изображать полигон распределения вероятностей; соединив же эти точки отрезками прямой, получим многоугольник распределения вероятностей.

Пример 7.1. Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения

Х	–2	–1	0	2	4
Р	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.

.

Решение. На оси Х откладываем значения , равные –2, –1, 0, 2, 4, а по вертикальной оси вероятности этих значений (рис. 7.1):

Рис. 7.1

Точки изображают полигон распределения, а ломаная  — многоугольник распределения вероятностей.

Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения. Функцией распределения случайной величины Х называется функция , выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х:

Функцию иногда называют интегральной функцией распределения.

Если значения случайной величины — точки на числовой оси, то геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х попадает левее заданной точки х (рис. 7.2):

Рис. 7.2

F(x) обладает свойствами:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

.

Утверждение следует из того, что функция распределения — это вероятность.

2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна 1, т. е.

; .

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая ) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т. е.

.

Числовые характеристики случайной величины

Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины

Пусть случайная величина Х может принимать только значения , вероятности которых соответственно равны . Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством

.

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому значений случайной величины: .

Свойства математического ожидания

1.  Математическое ожидание постоянной величины равно самой посто­янной

.

2.  Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

.

3.  Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий

.

4.  Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

5.  Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю

Дисперсия случайной величины

Только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания: