Случайные величины (стр. 13 )

Решение. Так как , то плотность распределения

Функция распределения имеет вид

Поскольку для показательного закона

; ,

а по условию , то

.

Пример 8.20. Установлено, что время ремонта магнитофонов есть случайная величина Х, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт магнитофона потребуется не менее 15 дней, если среднее время ремонта магнитофонов составляет 12 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Решение. По условию математическое ожидание , откуда параметр . Тогда плотность вероятности и функция распределения имеют вид: ; . Искомую вероятность можно найти, интегрируя плотность вероятности, т. е.

,

но проще использовать функцию распределения

.

Среднее квадратическое отклонение дней.

Пример 8.21. Найти асимметрию показательного распределения.

Решение. Так как асимметрия , а , то найдем вначале центральный момент третьего порядка

:

Найдем

.

Интегрируя дважды по частям, получим

.

Аналогично рассчитаем

.

Следовательно,

.

Значит,

.

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t. Здесь Т — длительность времени безотказной работы элемента,  — интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Функция надежности определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t.

Пример 8.22. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента ; для второго ; для третьего элемента Найти вероятности того, что в интервале времени  часов откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

Решение. а) Вероятность отказа первого элемента

;

второго элемента

;

третьего элемента

.

Следовательно, искомая вероятность

.

б) .

в) .

Задачи для самостоятельного решения

8.44. Случайная величина Х распределена по показательному закону

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал .

Ответ: ;

.

8.45. Среднее время безотказной работы прибора равно 85 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) выражение его плотности вероятности и функции распределения; б) вероятность того, что в течение 100 ч прибор не выйдет из строя.

Ответ: а) ;

;

б) .

8.46. Найти эксцесс показательного распределения.

Ответ: .

8.47. Производится испытание трех элементов, работающих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента ; для второго — для третьего элемента Найти вероятности того, что в интервале времени  часов откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) хотя бы один элемент; г) все три элемента; д) не менее двух элементов.

Ответ: а) 0,069; б) 0,4172; в) 0,9975; г) 0,511; д) 0,928.

8.48. Р %-м ресурсом элемента называется такое число t, что за время t элемент не выходит из строя с вероятностью Р. Считается, что время t непрерывной работы электрической лампочки распределено по показательному закону. Найти вероятность того, что лампочка будет гореть в течение 2 лет, если ее 90 %-й ресурс составляет 6 мес.

Ответ: .

8.49. Срок службы жесткого диска компьютера – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению со средней в 12 000 часов. Найти долю жестких дисков, срок службы которых превысит 20 000 часов.

Ответ: .

8.50. Срок службы батареек для слуховых аппаратов приблизительно подчиняется экспоненциальному закону с . Какова доля батареек со сроком службы больше чем 9 дней?

Ответ: .

8.51. Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течение которого телезрители помнят содержание коммерческого рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону с дня. Найти долю зрителей, способных вспомнить рекламу спустя 7 дней.

Ответ: .

8.52. Компьютерный программист использует экспоненциальное распределение для оценки надежности своих программ. После того, как он нашел 10 ошибок, он убедился, что время (в днях) до нахождения следующей ошибки подчиняется экспоненциальному распределению с . Найти среднее время, потраченное для нахождения первой ошибки; определить вероятность того, что для нахождения первой ошибки понадобится более 5 дней; найти вероятность того, что на нахождение одиннадцатой ошибки потребуется от 3 до 10 дней.