Случайные величины (стр. 5 )

Решение. Так как имеют место свойства дисперсии

и , то получим

.

Задачи для самостоятельного решения

7.1. Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу 4 приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины и построить ее график.

Ответ:

X	0	1	2	3
P

; .

7.2. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины — числа импортных из 4 наудачу взятых телевизоров. Найти функцию распределения и построить ее график.

Ответ:

X	0	1	2	3
P

7.3. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй — 0,8, третьей — 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Ответ:

X	0	1	2	3
P	0,006	0,092	0,398	0,504

;

.

7.4. Поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность сдачи первого экзамена 0,9, второго — 0,8, третьего — 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа приходов на экзамен для лица, поступающего в институт. Найти математическое ожидание случайной величины.

Ответ:

X	1	2	3
P	0,1	0,18	0,72

.

7.5. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10 %. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года и найти числовые характеристики этого распределения.

Ответ:

X	0	1	2	3	4
P	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

;

;

.

7.6. Вероятность поражения земляники вирусным заболеванием равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

X	0	1	2	3	4
P	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

;

.

7.7. В урне находятся шары трех весов 3, 4 и 5 кг с соответствующими вероятностями 0,2; 0,3; 0,5. Извлекаются два шара с возвращением обратно. Составить закон распределения суммарного веса двух извлеченных шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

X	6	7	8	9	10
P	0,04	0,12	0,29	0,30	0,25

;

.

7.8. Производится стрельба из орудия по удаляющейся цели. При первом выстреле вероятность попадания равна 0,8, при каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается в 2 раза. Случайная величина Х — число попаданий в цель при трех выстрелах. Составить закон распределения случайной величины Х.

Ответ:

X	0	1	2	3
P	0,096	0,472	0,368	0,064

7.9. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5; 0,6; 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

X	0	1	2	3
P	0,06	0,29	0,44	0,21

;

.

7.10. В лотерее разыгрывается один автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., четыре телевизора – стоимостью 250 ден. ед. каждый, пять магнитофонов – стоимостью 200 ден. ед. каждый. Продано 1000 билетов стоимостью 7 ден. ед. каждый. Составить закон распределения случайной величины Х – чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Ответ:

X	– 7	193	243	4993
P	0,990	0,005	0,004	0,001

7.11. В карточной игре игрок, который извлекает из колоды карт (52 карты) валет или даму, выигрывает 15 очков; тот, кто вытащит короля или козырного туза, выигрывает 5 очков. Игрок, который достанет любую другую карту, проигрывает 4 очка. Если вы решили участвовать в этой игре, определите сумму очков ожидаемого выигрыша.

Ответ:

Число очков	15	5	– 4

.

7.12. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения и , причем . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание и дисперсия . Найти закон распределения этой случайной величины.