Случайные величины (стр. 12 )

Дисперсия времени ожидания

мин2;

мин.

Задачи для самостоятельного решения

8.31. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти: 1) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины; 2) вероятность того, что ошибка округления: а) меньше 0,01; б) больше 0,03.

Ответ: 1)

2а)

2б)

8.32. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 4 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 2 мин.

Ответ:

8.33. Минутная стрелка часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 10 с.

Ответ: .

8.34. Случайные величины Х и независимы и распределены равномерно: Х — в интервале ,  — . Найти математическое ожидание и дисперсию произведения

Ответ: ;

.

8.35. Диаметр круга х измерен приближенно, причем . Рассматривая диаметр как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале , найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Ответ: .

8.36. Ребро куба х измерено приближенно, причем . Рассматривая длину ребра куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале , найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Ответ: .

8.37. Пусть случайные величины и независимы и равномерно распределены на отрезке . Найти вероятность того, что .

Ответ: .

8.38. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . 1) Записать плотность распределения р(х) этой случайной величины. 2) Найти функцию распределения . 3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Ответ: 1)

2)

3) .

8.39. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 5 мин. Найти: а) функцию распределения для этого равномерного распределения; б) вероятность ожидания лифта более чем 3,5 мин; в) вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 45 секунд; г) вероятность того, что ожидание лифта будет заключено в диапазоне от 1 до 3 мин. (между 1 и 3 минутами).

Ответ: а) б) 0,3; в) 0,15; г) 0,4.

8.40. Мастер, осуществляющий ремонт на дому, может появиться в любое время с 10 до 18 часов. Клиент, прождав до 14 часов, отлучился на 1 час. Какова вероятность, что мастер (приход его обязателен) не застанет его дома?

Ответ: 0,125.

8.41. Владелец антикварного аукциона полагает, что предложение цены за определенную картину будет равномерно распределенной случайной величиной в интервале от 500 тыс. до 2 млн. рублей. Найти: а) плотность вероятности; б) вероятность того, что картина будет продана за цену, меньшую чем 675 тыс.; в) вероятность того, что цена картины будет выше 2 млн. рублей.

Ответ: б) 0,1167; в) 0.

8.42. Очень наблюдательный, занимающийся кражей предметов искусства вор, который, вероятно, знает хорошо статистику, заметил, что частота, с которой охранники обходят музей, равномерно распрелена между 15 и 60 минутами. Пусть случайная величчина Х – время (в минутах) до появления охраны. Найти: а) вероятность того, что охранник появится в течение 35 минут после появления вора; б) вероятность того, что охрана не появится в течение 30 минут; в) вероятность того, что охрана появится между 35 и 45 минутами после прихода вора; г) функцию распределения .

Ответ: а) 0,4444; б) 0,6667; в) 0,2222; г)

8.43. На перекрестке дорог движение регулируется автоматическим светофором, включающим зеленый свет через каждые 2 минуты. Время простоя у этого светофора автомобиля, остановившегося на красный свет, есть случайная величина, распределенная равномерно на интервале (0; 2) минут. Найти среднее время простоя и среднее квадратическое отклонение.

Ответ: ; .

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

Кривая распределения р(х) и график функции распределения приведены на рис. 8.13.

Рис. 8.13

Для случайной величины, распределенной по показательному закону

; .

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону

.

Замечание. Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий. Под потоком событий понимают последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты. Например, поток вызовов на телефонной станции, поток заявок в системе массового обслуживания и др.

Пример 8.18. Непрерывная величина Х распределена по показательному закону

Найти вероятность попадания значений величины Х в интервал .

Решение. Поскольку , то

Пример 8.19. Записать плотность распределения и функцию распределения показательного закона, если параметр . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по этому закону.