Случайные величины (стр. 21 )

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения величины находят по формуле

либо по равносильной формуле

В том случае, когда обе плотности и заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности величины целесообразно сначала найти функцию распределения , а затем продифференцировать ее по

.

Если Х и  — независимые случайные величины, заданные соответству­ющими плотностями распределения и , то вероятность попадания случайной точки в область равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения

Пример 10.7. Независимые нормально распределенные случайные величины Х и заданы плотностями распределений , . Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины

Решение. Используем формулу Тогда

Ответ: .

Пример 10.8. Заданы плотности распределения независимых равномерно распределенных случайных величин Х и в интервале (0; 2), вне этого интервала , в интервале (0; 3), вне этого интервала . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Построить график распределения .

Решение. По условию, возможные значения Х определяются неравенством ,  — неравенством . Отсюда следует, что возможные случайные точки расположены в прямоугольнике ОАВС (рис. 10.1).

Рис. 10.1

Неравенству удовлетворяют те точки плоскости которые лежат ниже прямой если же брать только возможные значения х и у, то неравенство выполняется только для точек, лежащих в прямоугольнике ОАВС ниже прямой С другой стороны, так как величины Х и независимы, то

где  — величина той части площади прямоугольника ОАВС, которая лежит ниже прямой Величина этой площади зависит от значения

Если то т. е.

Если , то

Если , то

.

Если , то

Если , то

Итак, искомая функция распределения имеет вид

Найдем плотность распределения

Построим график этой функции (рис. 10.2)

Рис. 10.2

Задачи для самостоятельного решения

10.11. Дискретные независимые случайные величины Х и заданы распре­делениями:

Х	1	3		Y	2	4
Р	0,3	0,7		Р	0,6	0,4

Найти распределение случайной величины

Ответ:

Z	3	5	7
Р	0,18	0,54	0,28

10.12. Дискретные случайные величины Х и заданы распределениями:

а)

Х	10	12	16		Y	1	2
Р	0,4	0,1	0,5		Р	0,2	0,8

б)

Х	4	10		Y	1	7
Р	0,7	0,3		Р	0,8	0,2

Найти распределение случайной величины .

Ответ: а)

Z	11	12	13	14	17	18
Р	0,08	0,32	0,02	0,08	0,10	0,40

б)