75 лет Геннадию Андреевичу Кулябину (стр. 20 )

(5)

За исключением некоторых вулканизированных резин с органическими наполнителями данная форма приводит к результатам, которые грубо согласуются с экспериментальными данными [4].

Форма записи потенциальной энергии деформации Муни может также быть представлена с помощью общего полинома Ривлина:

(6)

Несмотря на то, что эта модель дает хорошее согласование с экспериментальными данными до 100% относительной деформации растяжения, она все же не учитывает дальнейшего повышения жесткости материала.

Некоторые ученые пытались расширить полиномиальную запись потенциальной энергии деформации резины при использовании слагаемых высших порядков. Ниже приведены несколько примеров таких функций.

Пяти - и девятиконстантные модели Муни-Ривлина:

(7)

(8)

Модель Еоха (Yeoh), где функция потенциальной энергии деформации зависит только от первой инварианты [2]:

(9)

Модель третьего порядка Джеймса-Грина-Симпсона:

(10)

Существует также модель Огдена, которая, в отличие от рассмотренных функций, не требует выражения энергии деформации через инварианты мер деформации [3]:

(11)

где и – константы материала. Причем может иметь положительное и отрицательное значения и необязательно являться целым числом. Данная форма записи энергии деформации позволяет получить хорошее согласование с экспериментальными данными, полученными при различных напряженно-деформированных состояниях.

Часто перед исследователем возникает вопрос о корректности использования данных только одного деформированного состояния для получения модели материала, которая, предполагается, будет описывать его поведение и в сложном напряженно-деформированном состоянии. Такой вопрос может возникнуть, например, при задании параметров материала в конечно-элементной модели. Для того, чтобы получить ответ на данный вопрос, в нашей работе найдем константы материала для моделей по результатам только одноосного растяжения и построим расчетные кривые для остальных простых напряженно-деформированных состояний (равномерное двухосное растяжение, плоский сдвиг), а затем сравним их с данными эксперимента для этих же напряженно-деформированных состояний.

В качестве рассматриваемых моделей возьмем неогуковскую модель, модель Еоха третьего порядка, девятиконстантную модель Муни-Ривлина и модель Огдена.

При проведении сравнительного анализа моделей материала использовались экспериментальные данные простых напряженно-деформированных состояний (одноосного, равномерного двухосного растяжений, а также плоского сдвига) саженаполненного каучука. Показаны соотношения главных удлинений для соответствующих напряженно-деформированных состояний (рис.2). Так как предполагается, что материал является несжимаемым, то согласно (4), одно из трех главных удлинений можно выразить через два других:

Рис. 2. Типы напряженно-деформированного состояния материала:

а – одноосное растяжение; б – равномерное двухосное растяжение; в – плоский сдвиг

Необходимые константы для выбранных нами моделей материала получены с помощью применения метода наименьших квадратов, который в этом случае состоит в нахождении минимума выражения:

(12)

где – количество точек экспериментальной кривой одноосного растяжения, и – расчетные и экспериментальные значения условного напряжения при одноосном растяжении, – константы материала, – главные удлинения при одноосном растяжении.

Далее приведены сравнительные диаграммы (рис. 3, 4, 5 и 6) экспериментальных данных и различных моделей гиперупругого материала. Для наглядности в каждом случае показаны диаграммы с относительными отклонениями расчетных значений напряжений от значений, полученных в результате экспериментов.

б)

а)

Экспериментальные кривые: + одноосное растяжение; о равномерное двухосное

растяжение; x чистый сдвиг.

Расчетные кривые: одноосное растяжение; равномерное двухосное растяжение;

чистый сдвиг.

Рис. 3. а – диаграммы деформирования резины, построенные по экспериментальным данным, и расчетные диаграммы для неогуковской модели, полученные при учете данных только одноосного растяжения; б – диаграммы относительного отклонения расчетных кривых от экспериментальных данных

б)

а)

Экспериментальные кривые: + одноосное растяжение; о равномерное двухосное

растяжение; x чистый сдвиг.

Расчетные кривые: одноосное растяжение; равномерное двухосное растяжение;

чистый сдвиг.

Рис. 4. а – диаграммы деформирования резины, построенные по экспериментальным данным, и расчетные диаграммы для модели Еоха, полученные при учете данных только одноосного растяжения; б – диаграммы относительного отклонения расчетных кривых от экспериментальных данных

б)

а)

Экспериментальные кривые: + одноосное растяжение; о равномерное двухосное

растяжение; x чистый сдвиг.

Расчетные кривые: одноосное растяжение; равномерное двухосное растяжение;

чистый сдвиг.

Рис. 5. а – диаграммы деформирования резины, построенные по экспериментальным данным, расчетные диаграммы для девятиконстантной модели Муни-Ривлина,

полученные при учете данных только одноосного растяжения; б – диаграммы

относительного отклонения расчетных кривых от экспериментальных данных

б)

а)

Экспериментальные кривые: + одноосное растяжение; о равномерное двухосное

растяжение; x чистый сдвиг.

Расчетные кривые: одноосное растяжение; Равномерное двухосное растяжение;

чистый сдвиг.

Рис. 6. а – диаграммы деформирования резины, построенные по экспериментальным данным, расчетные диаграммы для двенадцатиконстантной модели Огдена,

полученные при учете данных только одноосного растяжения; б – диаграммы

относительного отклонения расчетных кривых от экспериментальных данных