Глава 1 Элементы дифференциальной геометрии (стр. 2 )

Величина, обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны кривой в точке. Радиус кривизны кривой равен радиусу соприкасающейся окружности – предельному положению окружности проведенной через три безгранично сближающихся точки кривой линии. Соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости.

При перемещении вдоль пространственной кривой ее соприкасающаяся плоскость вращается вокруг касательной. Вращение плоскости определяется углом поворота нормали к этой плоскости. Для соприкасающейся плоскости нормалью является бинормаль трехгранника Френе.

Кручение кривой линии в данной точке, определяется пределом отношения приращения угла поворота бинормали к приращению дуги кривой линии :

. (1.16)

Как и в случае кривизны кривой, модуль кручения определяется модулем производной бинормали по натуральному параметру

. (1.17)

При движении вдоль кривой линии бинормаль кривой поворачивается (закручивается) вокруг нормали в спрямляющей плоскости, а сама кривая переходит с одной стороны этой плоскости на другую стороны.

Спрямляющая, нормальная и соприкасающаяся плоскости связаны с трехгранником Френе и являются главными плоскостями кривой линии. На рис 1.3 показан трехгранник Френе и главные плоскости кривой.

При дифференцировании по произвольному параметру t имеем

. (1.18)

Введем дополнительно геометрические параметры:

; . (1.19)

Введение параметров ks, χs целесообразно, так как произведения s' · k и s' · χ в большинстве случаем имеют более простой вид, чем множители s', k, χ, и при проведении преобразований можно вычислять непосредственно k's и χ's, а не (s'k)' = s"k + s'k' , (s'χ)' = s"χ + s'χ'.

Тогда, для производных векторов трехгранника Френе по произвольному параметру, получим формулы аналогичные формулам Серре-Френе по натуральному параметру:

; ; . (1.20)

Продифференцируем трижды с учетом формул (1.18) радиус-вектор кривой (1.1) по произвольному параметру t:

а) ; б) ;

в) . (1.21)

Перемножая векторно правые и левые части соотношений (1.21, а и б), получим

. (1.22)

Правую и левую часть соотношения (1.22) скалярно перемножаем с соотношением (1.21, в), при этом получаем смешанное произведение соотношений (1.21, а; б; в)

. (1.23)

Из соотношений (1.22) и (1.23) получим:

; (1.24)

, (1.25)

или ; (1.26)

, (1.27)

Если уравнение кривой задано в параметрическом виде в прямоугольной системе координат (1.1), то

, (1.28)

где , т. е. ; ; .

Здесь U – произвольная функция аргумента t.

Тогда ;

;

;

(1.29)

.

Для плоской кривой, лежащей в горизонтальной плоскости 0ху, т. е. при Z(t) = 0, получим:

; ;

; ; ;

c = cs = 0. (1.30)

Аналогичные формулы можно получить для плоской линии в произвольной плоскости, если в ней введена прямоугольная система координат.

Если плоская линия задана уравнением y = y(x), то, положив в формулах (1.30) X = x = t, , Y(t) = y(x), получим:

; ; (1.31)

В полярной системе координат уравнение плоской линии (рис. 1.4) запишем с использованием единичной круговой функции (см. приложение)

; (1.32)

; ; ;

; .

Тогда ; ;

; . (1.33)

Использование круговой вектор функции удобно и при записи пространственных кривых в цилиндрической и сферической системах координат. Например, уравнение винтовой линии на цилиндре радиуса а с шагом винтовой линии b можно представить в виде

. (1.34)

1.2. Теория поверхностей

Поверхность есть геометрическое место точек, определяемое радиусом вектором ρ, являющимся функцией двух независимых параметров u и v и направленным из общего центра О. Уравнение поверхности может быть задано в векторном виде:

, (1.35)

где i, j, k – орты прямоугольной системы координат с центром О; x(u,v), y(u,v), z(u,v) – функции проекций радиус-вектора поверхности в прямоугольной системе координат.

Если из уравнения (1.35) исключить параметры u, v, то получим уравнение поверхности в неявной форме:

F(x,y,z) = 0, (1.36)

или в явной форме

. (1.37)

Изменение параметров u, v определяет координатную систему поверхности. Задаваясь значением одного параметра, например v = const, мы получаем систему кривых линий, зависящих от параметра u, а при задании параметра u = const – кривые, зависящие от параметра v. Непрерывное изменение обоих параметров определяет поверхность.

Рассмотрим произвольную поверхность, определяемую уравнением (1.35). Пусть на поверхности заданы линия s и близкие точки С и С1 на этой линии, определяемые радиус векторами ρ и ρ + dρ и, соответственно, координатами u, v и u + du, v + dv (рис. 1.5). Приращение радиус– вектора поверхности, определяется изменением (приращением) координат