Глава 1 Элементы дифференциальной геометрии (стр. 1 )

Г л а в а 1

Элементы дифференциальной геометрии

Дифференциальная геометрия изучает геометрические свойства пространственных и плоских кривых линий и поверхностей. В данной работе рассматриваются наиболее общие свойства геометрических объектов, необходимые для конструирования и расчета напряженно деформированного состояния оболочек. Для более углубленного изучения геометрии поверхностей можно использовать многочисленную специальную литературу.

1.1. Элементы теории кривых

Кривой линией называется множество точек, состоящее из конечного или счетного множества простых дуг, примыкающих друг к другу. Уравнение кривой может быть задано в векторном или параметрическом виде

, (1.1)

где r(t) – радиус вектор кривой; t – параметр, задающий положение точки пространственной кривой; X(t), Y(t), Z(t) – координаты произвольной точки линии в прямоугольной декартовой системе координат; i, j, k – орты прямоугольной системы координат (рис. 1.1).

Производная радиуса вектор кривой r(t) по параметру t определяет вектор касательной к кривой линии в заданной точке

. (1.2)

Модуль производной радиус-вектора кривой линии определяет длину дуги кривой линии:

; (1.3)

; . (1.4)

Так как между длиной дуги s и параметром t, формулой (1.4) определяется однозначное соответствие, то длина кривой может рассматриваться как параметр, определяющий положение точки кривой (t0 принимается за начальную точку отсчета длины кривой линии)

. (1.5)

Параметр s оказывается наиболее удобным при изучении свойств кривой линии по ее уравнению и называется натуральным параметром, а уравнение (1.5) – натуральным уравнением кривой.

Дифференцируя радиус-вектор кривой по параметру t и учитывая зависимость s = s(t), имеем

. (1.6)

Из соотношения (1.6) следует, что |dr/ds| = 1 и, следовательно,

, (1.7)

где τ – единичный вектор касательной кривой линии в заданной точке (рис. 1.1). В дальнейшем единичный вектор касательной будем называть просто вектор касательной кривой линии.

Прежде чем продолжить изучение свойств кривой линии, рассмотрим вектор постоянный длины R(t) (|R(t)| = a = const), т. е. вектор, меняющий только направление при изменение параметра t. Если при этом, один конец вектора расположен в заданной точке, то очевидно второй конец вектора описывает кривую на сфере радиуса, равного длине вектора, и вектор касательной расположен в касательной плоскости сферы и перпендикулярен вектору R(t). Докажем аналитически свойство перпендикулярности вектора производной вектору-функции постоянной длины

;

Дифференцируя квадрат вектора постоянной длины, получим

. (1.8)

Но равенство нулю скалярного произведения двух векторов (каждый из которых не равен нулю) означает их ортогональность, следовательно, вектор производной вектор-функции постоянной длины перпендикулярен этой вектор-функции.

Вернемся к изучению свойств кривой линии.

Плоскость перпендикулярная вектору касательной кривой называется нормальной плоскостью кривой в данной точке.

Плоскость, содержащая вектор касательной кривой называется касательной плоскостью кривой в данной точке. Очевидно, через точку кривой линии можно провести бесконечное число касательных плоскостей.

Так как касательный вектор τ кривой линии является вектором единичной длины, то вектор его производной ортогонален вектору касательной, т. е. лежит в нормальной плоскости кривой.

В точке кривой можно провести бесконечное множество нормалей, которые лежат в нормальной плоскости кривой. Нормаль кривой, совпадающая с направлением вектора производной касательного вектора, называется главной нормалью кривой линии.

Касательная плоскость, проходящая через главную нормаль кривой, называется соприкасающейся плоскостью. В частности, для плоской кривой соприкасающаяся плоскость является плоскостью, в которой лежит плоская кривая. Соприкасающуюся плоскость можно также получить, как предельное положение плоскости, проходящей через три неограниченно сближающиеся точки кривой линии.

Дифференцируя дважды радиус-вектор кривой по натуральному параметру, получим вектор главной нормали кривой линии в заданной точке

, (1.9)

где v – единичный вектор нормали кривой;

– кривизна кривой линии.

Вектор, перпендикулярный соприкасающейся плоскости, т. е. перпендикулярный векторам касательной и главной нормали называется бинормалью кривой линии. Очевидно, единичный вектор бинормали кривой можно определить как векторное произведение векторов касательной и нормали

. (1.10)

Касательная плоскость, проходящая через бинормаль, называется спрямляющей плоскостью кривой линии.

Касательная, нормаль и бинормаль определяют в каждой точке кривой три единичных взаимно перпендикулярных вектора (риc. 1.1), которые называют натуральным трехгранником кривой, или трехгранником Френе.

Основные свойства векторов трехгранника Френе:

; ;

; ; ;

; ; . (1.11)

Дифференцируя соотношение (1.10) по натуральному параметру, получим вектор, лежащий в соприкасающейся плоскости:

, (1.12)

где χ = |dβ/ds| – кручение кривой линии.

Дифференцируя скалярное произведение двух любых взаимно перпендикулярных векторов (e1·e2) = 0, имеем

, или .

Дифференцируя скалярные произведения векторов трехгранника Френе (1.11), получим

; ; .

Тогда с учетом формул (1.9), (1.12), имеем

. (1.13)

Формулы дифференцирования векторов трехгранника Френе (1.9), (1.12), (1.13)

; ; (1.14)

называются формулами Серре-Френе.

Геометрический смысл кривизны и кручения кривой линии можно получить рассматривая перемещение трехгранника Френе вдоль кривой линии. При перемещении вдоль кривой на расстояние Ds направление касательной изменяется. Касательная поворачивается на некоторый угол Δφ (рис. 1.2). Скорость изменения угла направления касательной, определяемая пределом отношения угла поворота касательной к длине дуги кривой называется кривизной кривой линии:

. (1.15)

Сравнивая определение кривизны (1.15) с формулой дифференцирования вектора касательной, имеем

,

так как для вектора единичной длины

.

Из рис 1.2 ясно, что приращение касательной Δτ и, следовательно, нормаль ν, при движении вдоль кривой линии всегда направлены в сторону вогнутости кривой.