Глава 1 Элементы дифференциальной геометрии (стр. 7 )

Рассматриваемую поверхность сопряжения, заданную параметрическими уравнениями:

r = r(z) = a[1 – cos(2πz/c)] + R1; a = R2 – R1,

где b = c/4; c = 2πa/tgφ, если φ > 0, a > 0 (рис. 1.10) или φ < 0, a < 0 (рис. 1.11) и b = 3c/4; c = –2πa/tgφ, если φ > 0, a < 0 (рис. 1.12) или φ < 0, a > 0 (рис. 1.13). Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности вычисляются по формулам, приведенным выше. Поверхности, изображенные на рис. 1.8 – 1.13, построены для | φ | = π/6 [14].

и [15] начали исследование циклических поверхностей вращения. Циклические поверхности вращения образовываются вращением произвольно расположенной окружности относительно оси вращения. Плоские сечения этих поверхностей – бициркулярные эллиптические и рациональные кривые четвертого порядка, имеющие исключительно важное значение в технике [15]. Наиболее интересными являются плоские сечения с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Например, на торе – это сечения Персея. Каждой циклической поверхности вращения общего вида можно подобрать некоторый органически с ней связанный параболоид вращения, называемый параболоидом Персея. Всякая плоскость, касательная к параболоиду Персея, пересекает циклическую поверхность вращения по кривой, имеющей две взаимно - перпендикулярные оси симметрии. [19] предложил уравнения для трех типов этих поверхностей.

Векторное уравнение линии центров образующих окружностей: где b – радиус линии центров. Положение образующей окружности определяем с помощью углов Эйлера: q – угол между вектором h(u) и следом пересечения плоскости с образующей окружностью радиусом а и координатной плоскости xOy (угол поворота вокруг оси Oz); w – угол между плоскостью с образующей окружностью и осью вращения.

Векторная форма задания циклических поверхностей вращения:

r = r(u,v) = bh(u) + ae(u,v), где (1.101)

+.

Параметрические уравнения этих циклических поверхностей будут иметь вид (рис. 1.14 – 1.16):

;

;

. (1.102)

При θ = ω = 0 циклическая поверхность вращения вырождается в круговой тор (рис. 1.14).

Циклическая поверхность вращения, ось вращения которой параллельна плоскостям с образующими окружностями постоянного радиуса a, является частным случаем циклических поверхностей вращения при ω = 0.

В этом случае параметрические уравнения циклических поверхностей рассматриваемой группы несколько упростятся (рис. 1.17 – 1.19):

,

(1.103)

Поверхность, показанную на рис. 1.19, а, иногда называют циклической поверхностью вращения «Обручальное кольцо». Поверхности, представленные на рис. 1.19, б, в, называют «Браслет».

Циклическая поверхность вращения, ось вращения которой пересекает плоскости с образующими окружностями под постоянным углом ω = const (рис. 1.20), является частным случаем циклических поверхностей вращения (1.101), (1.102) при θ = 0:

;

,

. (1.104)

При w = p /2 циклическая поверхность (1.104) вырождается в кольцевую область.

Зонтичным куполом называется циклически симметричная пространственная конструкция, образованная из нескольких тождественных элементов, в результате пересечения срединных поверхностей которых получаются кривые, являющиеся образующими некоторой куполообразной поверхности вращения. Зонтичные оболочки обладают повышенной жесткостью, устойчивостью, архитектурной выразительностью. Поверхностями зонтичного типа называются циклически симметричные поверхности, состоящие из нескольких тождественных элементов. Причем полная поверхность зонтичного типа и все поверхности составляющих ее тождественных элементов описываются одним и тем же явным, неявным или параметрическими уравнениями.

В работах [16, 17] были представлены для рассмотрения несколько видов поверхностей зонтичного типа. Поверхность зонтичного типа с параболическими образующими и круглым отверстием в вершине имеет в опорном сечении z = 0 эпициклоиду (рис. 1.21, а)

(1.105)

где n – число внешних вершин эпициклоиды; n = R/r; 2r – максимальная амплитуда гофров в основании поверхности, R – радиус окружности, по которой снаружи катится окружность радиусом r, произвольная точка которой описывает эпициклоиду; φ – угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу, или гипоциклоиду (рис. 1.21, б)

(1.106)

с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания, n – число вершин гипоциклоиды; R – радиус окружности, по которой внутри катится окружность радиусом r, произвольная точка которой описывает гипоциклоиду. В любом сечении рассматриваемой поверхности плоскостью, проходящей через ось поверхности, совпадающей с координатной осью Oz, будут лежать параболы b(φ) – переменный параметр парабол. Верхняя граница поверхности представляет собой окружность радиусом a с центром, расположенном в точке с координатами (0; 0; h). Таким образом, вершины образующих парабол лежат на граничной окружности. Параметрическая форма задания рассматриваемых поверхностей зонтичного типа имеет вид:

где – полярный радиус гипоциклоиды или эпициклоиды, лежащих в основании поверхности; причем угол φ не является полярным углом; ; h – максимальная высота поверхности зонтичного типа.

Необходимо принимать p = 2r(R + r), a < R, если основание принято в форме эпициклоиды (рис. 1.21, а) или p = –2r(R – r), a < R – 2r, если основание имеет форму гипоциклоиды (рис. 1.21, б). Таким образом, в сечениях рассматриваемой поверхности плоскостью z = 0 лежит эпициклоида или гипоциклоида, в зависимости от значения параметра p и координат X(φ) и Y(φ). В сечении поверхности плоскостью z = h, лежит граничная окружность x2 + y2 = a2. Если принять a = 0, то рассматриваемая поверхность выродится в параболоид вращения с циклоидальными гофрами (рис. 1.21, в).

Если же принять p = –2r(R – r), a > R – 2r, то получится поверхность, представленная на рис. 1.21, г, с гипоциклоидой в основании.

Поверхность зонтичного типа на циклоидальном плане, образованная полукубическими параболами, имеет в опорном сечении z = 0 эпициклоиду (1.105) (рис. 1.22) или гипоциклоиду (1.106) (рис. 1.23). В любом сечении рассматриваемой поверхности плоскостью, проходящей через ось поверхности, совпадающей с координатной осью Oz, будут лежать полукубические параболы

a(φ) – переменный параметр полукубических парабол.

Параметрическая форма задания поверхности зонтичного типа с эпициклоидой в основании (поверхность с внешними гофрами, рис. 1.22):

где u – безразмерный параметр; h – максимальная высота поверхности; В любом сечении поверхности плоскостью u = const лежит эпициклоида. Координатная линия u = 1 совпадает с опорной эпициклоидой. Особая точка находится в вершине поверхности.

Параметрическая форма задания поверхности зонтичного типа с гипоциклоидой в основании (поверхность с внутренними гофрами, рис. 1.23):

h – максимальная высота поверхности; В любом сечении поверхности плоскостью u = const лежит гипоциклоида. Особая точка находится в вершине поверхности.

Определенный интерес могут представлять поверхности со сферической направляющей кривой E0(u) = ae0(u) = a(icosu + jsinu)cosω + kasinω, ω = ω(u) на поверхности сферы радиусом a, введенные в рассмотрение [18]. Единичный вектор e0(u) является нормалью сферы, на которой расположена направляющая линия. Образующая плоская кривая задается в местной системе координат с началом координат на сферической направляющей линии: X = X(v), Y = Y(v).

Обычно применяются два типа поверхностей со сферической направляющей кривой: 1) образующие кривые располагаются в плоскостях меридианов сферы (тип 1); и 2) образующие кривые лежат в нормальных плоскостях сферической направляющей кривой (тип 2).

В качестве примера рассмотрим трубчатую локсодрому, имеющую в качестве направляющей кривой сферическую линию с

ω = ω(u) = –π/2 + 2arctgepu, p = ctgα

на поверхности сферы радиусом a (рис. 1.24). Здесь α – угол между локсодромой и меридианом сферы. Образующая окружность постоянного радиуса b задается в местной системе координат: X = X(v) = bcosv, Y = Y(v) = bsinv. Окружности лежат в нормальных плоскостях сферической направляющей кривой ( тип 2).

Параметрическая форма задания при θ = 0:

Дополнительная информация о новых поверхностях имеется в [19].