Глава 1 Элементы дифференциальной геометрии (стр. 6 )

В соответствии с формулами (1.91) имеем:

,

.

Приравнивая множители при ортах τ2, τ2 в полученных соотношениях, имеем:

;

(1.92)

или

;

. (1.92,а)

Множители при векторе m одинаковы и не дают новой связи между коэффициентами квадратичных форм.

Из второго тождества (1.92) получаем:

;

.

Сравнение полученных соотношений показывает, что множители при векторе τ1 тождественны, множители при τ2 дают соотношение

,

или . (1.93)

Сравнение множителей при орте m, повторяет первое соотношение (1.92). Выполняя аналогичные преобразования с последним тождеством (1.91), можно убедиться, что оно не дает новых связей между коэффициентами квадратичных форм.

Для главной координатной сетки (М = 0, kuv – 1/Ruv = 0) соотношения (1.91), (1.92) принимают вид:

; ;

. (1.94)

Первые два соотношения называют условиями Кодацци, третье равенство – условием Гаусса.

В заключение главы приведем формулы вычисления коэффициентов квадратичных форм в случае, если в каждой точке поверхности определены три взаимно ортогональных орта, и производные от вектор-функции поверхности определяются формулами:

; ;

; ;

, (1.95)

где Tij – функции, зависящие от типа поверхности и системы координат поверхности. В частности, если уравнение поверхности задано в параметрическом виде в декартовой системе координат;; , тогда

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

; ; ; ; . (1.96)

Теперь, используя вышеприведенные обозначения, можно записать

1) коэффициенты первой квадратичной формы

; ;

, (1.97)

2) вектор единичной нормали поверхности

, (1.98)

3) коэффициенты второй квадратичной формы

; ;

(1.99)

1.3. Аналитические уравнения некоторых неканонических поверхностей

Необходимость создания некоторых неканонических поверхностей может быть вызвана потребностями в решении ряда конкретных технических задач. Например, поверхность сопряжения соосных цилиндра и конуса представляющая собой фрагмент гофрированной поверхности вращения общей синусоиды, была создана для плавного соединения тонкостенных изделий цилиндрической и конической форм. Она образовывается вращением кривой

(1.100)

вокруг оси Oz. Чтобы рассматриваемая поверхность вращения была поверхностью сопряжения соосных цилиндра радиусом R1 и кругового конуса с углом φ в вершине и основанием радиусом R2 (рис. 1.8), необходимо для констант поставить два условия:

1) и

2)

Таким образом, имея шесть констант R1, R2, a, b, с и φ, можно задать любые четыре константы, а два оставшихся геометрических параметра вычислить из приведенной выше системы двух уравнений. При этом необходимо брать a < 0, если R1 > R2.

Например, если считать, что заданны R1, R2, с и φ, то остальные два параметра a и b вычисляются по формулам:

при φ > 0, R2 > R1 (рис. 1.8) или φ < 0, R2 < R1 и при φ < 0, R2 > R1 или φ > 0, R2 < R1.

Параметрические уравнения рассматриваемых поверхностей можно представить в виде [14]:

где ;

(рис. 1.8; рис. 1.9).

При принятой форме задания поверхности коэффициенты основных квадратичных форм поверхности имеют вид:

На поверхности сопряжения соосных цилиндра и конуса все меридианы, а также параллели z = 0, z = c/2 и z = c будут геодезическими линиями. Поверхность сопряжения при a > 0 содержит участки положительной гауссовой кривизны в пределах с/4 < z < 3c/4 и участки отрицательной гауссовой кривизны в пределах 0 < z < c/4 и 3c/4 < z < c. На рис. 1.8 изображена поверхность сопряжения, для которой R2 = 1,5R1, с = 4R2 и φ = π/6. На рис. 1.9 поверхность имеет R1 = 1,5R2, с = 4R2 и φ = π/6.