Глава 1 Элементы дифференциальной геометрии (стр. 3 )

. (1.38)

В пределе длина элемента дуги, соединяющей точки С и С1, стремится к дифференциалу ds, и равна модулю вектора |dρ|, и следовательно,

, (1.39)

где

; ; . (1.40)

Выражение φ1 (1.39) называется первой квадратичной формой, а E, F, G – коэффициентами 1-й квадратичной формы поверхности.

Коэффициенты Ламе в теории поверхностей определяются соотношениями:

; (1.41)

и, очевидно, соответствуют параметрукривой линии (см. формулу (1.3)) для координатных линий поверхности v = const и u = const.

Коэффициент F, как скалярное произведение векторов ρu, ρv, определяет угол c между координатными линиями поверхности u, v:

,

откуда

. (1.42)

Если коэффициент первой квадратичной формы F = 0, то и координатная сеть поверхности ортогональна.

В случае задания уравнения поверхности в параметрической форме в прямоугольной системе координат, коэффициенты первой квадратичной формы определяются по формулам:

;

;

. (1.43)

Для гладкой поверхности вектор касательной произвольной кривой на поверхности, проходящей через данную точку поверхности, согласно формуле (1.38), лежит в плоскости определяемой касательными к координатным линиям поверхности, т. е. касательные к любой кривой на поверхности, проходящей через заданную точку, лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью поверхности в данной точке.

Нормаль M к касательной плоскости называется нормалью поверхности в заданной точке (рис. 1.5).

Согласно векторной алгебре, нормаль к плоскости двух векторов определяется их векторным произведением

.

Далее, под нормалью к поверхности будем понимать вектор единичной длины, нормальный к поверхности

; (1.44)

;

.

Выражение S называют дискриминантом поверхности. Как известно, модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Поэтому, как коэффициенты первой квадратичной формы определяют длины дуг координатных линий поверхности, так и дискриминант поверхности определяет площадь в окрестности точки поверхности

. (1.45)

Для ортогональной поверхностной координатной сетки дискриминант поверхности определяется формулой

S = АВ . (1.46)

В дальнейшем формулу (1.44) для единичной нормали к поверхности будем записывать в виде

. (1.47)

Нормальным сечением поверхности в точке С называется сечение некоторой плоскостью, содержащей нормаль к поверхности в этой точке.

Нормальное сечение представляет плоскую кривую, главная нормаль к которой совпадает с направлением нормали к поверхности в данной точке С. Если s = s(u,v) натуральный параметр (длина дуги) этой кривой, то

. (1.48)

Согласно формуле Серре-Френе (1.20)

. (1.49)

Здесь τm, νm = m – единичные вектора касательной и нормали; Rm – радиус кривизны; km = 1/ Rm – кривизна плоской кривой нормального сечения в точке С в заданном направлении.

Учитывая зависимость s от поверхностных координат u, v, получим

.

Умножая обе части последнего равенства скалярно на вектор нормали поверхности , получим формулу кривизны нормального сечения

, (1.50)

; ;

. (1.51)

Так как , то

,

и .

Выражение

(1.52)

называется второй квадратичной формой поверхности, а коэффициенты L, M, N – коэффициентами второй квадратичной формы.

Вторая квадратичная форма характеризует нормальную кривизну линии на поверхности – кривизну линии нормального сечения проведенного в данной точке по заданному направлению, которая определяется отношением первой и второй квадратичных форм поверхности:

. (1.53)

Для координатных линий u (du = 0), v (dv = 0) нормальная кривизна определяется формулами:

; . (1.54)

Согласно формуле (1.53), кривизна нормального сечения определяется коэффициентами первой и второй квадратичных форм, которые зависят только от положения точки (координат точки на поверхности), и от направления касательной (приращения координат du, dv). Очевидно нормальная кривизна поверхности является общей характеристикой кривых с общей касательной, проведенных через данную точку поверхности.

Кривизна произвольной кривой на поверхности, проведенной в данной точке в заданном направлении, не равна кривизне нормального сечения поверхности с той же касательной, так как нормаль произвольной кривой, очевидно, в общем случае не будет совпадать с направлением нормали к поверхности.

Кривизну k произвольной кривой на поверхности называют полной кривизной линии. Зависимость между полной и нормальной кривизной получим, определяя угол между нормалью к поверхности m и нормалью произвольной кривой на поверхности ν – . Так как m, ν векторы единичной длины, то .

Согласно формул (1.48) и (1.15),

, откуда ; . (1.55)

Так как нормаль ν кривой лежит в соприкасающейся плоскости кривой, то полная кривизна всех кривых на поверхности, проходящих через заданную точку, и имеющих общую соприкасающуюся плоскость, определяется формулой (1.55), и, следовательно, для всех этих кривых она одинакова. Этот вывод позволяет свести рассмотрение кривых линий на поверхности к рассмотрению плоских сечений соприкасающейся плоскости данной кривой, а на основании формулы (1.55) к исследованию кривизны нормальных сечений в данной точке поверхности.

Из формулы (1.55) видно, что полная кривизна кривой всегда больше или равна нормальной кривизне.

Формула (1.55) отражает теорему Менье: центр кривизны наклонного сечения поверхности совпадает с проекцией на его плоскость центра кривизны нормального сечения, имеющего ту же касательную, что и наклонное сечение (рис. 1.6)

Изменения положения нормальной плоскости в данной точке определяется углом поворота касательной нормального сечения к касательным координатных линий в данной точке.