Глава 1 Элементы дифференциальной геометрии (стр. 4 )

При полном повороте на 360° кривизна нормального сечения становится равной первоначальному значению. Следовательно, кривизна нормальных сечений в процессе вращения плоскости, проходящей через нормаль к поверхности, достигает наибольшего и наименьшего значений. Направления нормальных сечений, в которых кривизна достигает максимального и минимальных значений, называются главными направлениями в данной точке поверхности, а соответствующие кривизны нормальных сечений называются главными кривизнами поверхности в данной точке.

В каждой точке поверхности имеется два главных направления. Исключения составляют сфера и плоскость, для которых главные направления не определены. Линии на поверхности, касательные к которым совпадают с направлениями главных кривизн поверхности называются линиями главных кривизн, или просто линиями кривизны поверхности.

Координатная сеть в линиях кривизны является наиболее удобной при изучении напряженно-деформированного состояния оболочек. Поэтому важно изучить условия, при которых координатная сеть является главной сетью поверхности, и иметь возможность переходить от произвольной координатной сети к координатной сети в линиях кривизны.

Направление нормального сечения определяется отношением приращений координат ζ = dv/du. Разделив первую и вторую квадратичные формы на du2, получим:

;

;

; ;

; . (1.56)

Приравнивая производную нормальной кривизны нулю (признак экстремума функции), отбрасывая знаменатель и сокращая на 2, получим

, (1.57)

или

. (1.58)

Корни уравнения (1.58), соответствуют двум главным направлениям. Покажем, что эти корни действительные. Очевидно, что главные направления поверхности не должны зависеть от произвольно выбранной системы координат. Поэтому предположим для упрощения выкладок, что координатная система ортогональна. Тогда детерминант уравнения (1.57) строго положителен и, следовательно, корни уравнения действительные.

Докажем ортогональность главных направлений. Если начальная система координат ортогональная, то тангенс угла образованного некоторой линией с направлением координатной линии u (рис. 1.7) определяется по формуле

.

Для главных направлений при ортогональной первоначальной системе координат (F = 0), согласно теоремы Виета [12], имеем:

, или ,

что доказывает ортогональность главных направлений.

При произвольной неортогональной начальной системе координат корни уравнения (1.58), соответствующие главным направлениям определяются по формуле:

, (1.59)

где

.

Получим условия, при выполнении которых, начальная сеть координат будет главной. Одно условие нами определено – это ортогональность координатной системы (F = 0). Но, тогда для координатных линий u = const (du = 0, x = 0) из условия (1.58) получим М = 0. Аналогичное условие получим для координатных линий v = const (dv = 0; 1/ζ = 0).

Таким образом, чтобы координатная сеть являлась главной сетью поверхности, должны равняться нулю средние коэффициенты квадратичных форм поверхности:

F = 0 и М = 0. (1.60)

Если для двух линий на поверхности в точке пересечения средний коэффициент 2-ой квадратичной формы равен нулю (M = 0), то эти линии называются сопряженными в этой точке.

Главная сеть поверхности является ортогональной и сопряженной сетью поверхности.

В любой точке поверхности к произвольной кривой можно провести одну ортогональную ей кривую и одну сопряженную кривую, но только для главной сети направления ортогональной и сопряженной кривой совпадают. Исключением являются сферические точки, для которых любое направление в точке является главным. Для развертывающейся поверхности для прямолинейной образующей любое направление является сопряженным.

Если выполняется только одно из условий (1.60): F ¹ 0, но M = 0, или F = 0, но M ¹ 0, то координатная сеть не относится к линиям кривизны поверхности. Исключение составляет координатная сеть развертывающейся поверхности, для которой при F ¹ 0 и M = 0, прямые линии, образующие поверхность являются линиями кривизны.

Если ни одно из условий (1.60) не выполнено: F ¹ 0 и М ¹ 0, то либо ни одна из систем координатной сети не является линиями кривизны, либо к линиям кривизны относится только одна из систем координатных линий:

а. Если система координатных линий ρ(u,v0) (v0 = const; x = 0, dv = 0) является линиями кривизны, то условие (1.58) сводится к условию

. (1.61)

б. Если система координатных линий ρ(u0,v) (u0 = const; 1/x = 0, du = 0) является линиями кривизны, то для выполнения условия (1.58) необходимо

. (1.62)

Если главные направления x1, x2 определены, главные кривизны могут быть определены в соответствие с формулой (1.56), которую, однако, можно упростить. Умножая соотношение (1.56) на , и дифференцируя полученное выражение по x, получим

.

Для главных направлений dkm / dζ = 0 и, следовательно, получим, формулу для определения главных кривизн поверхности ki = k1, k2:

. (1.63)

Главные кривизны поверхности можно определять и независимо от определения главных направлений. Запишем условие (1.57) в виде

.

Тогда в соответствии с формулой (1.62), главные кривизны могут определяться по одной из формул:

или , (1.64)

или, после очевидных преобразований, получим два соотношения:

; /

Разделив правую и левую части первого равенства на соответствующие части второго, имеем

.

Полученное соотношение можно записать в виде определителя

. (1.65)

Раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение для определения главных кривизн поверхности

, (1.66)

; (1.67)

.

Если система координат поверхности является линиями кривизны, то , (1.68)

и, главные кривизны поверхности определяются по формулам:

; . (1.69)

Детерминант уравнения (1.64) определяется формулой (1.68), и в случае, если F ¹ 0, M ¹ 0, но одна из систем координатных линий является линиями кривизны, т. е. выполняется одно из условий (1.61) или (1.62), главные кривизны определяются по формулам:

; . (1.70)

Величины обратные главным кривизнам определяют главные радиусы кривизны поверхности:

; . (1.71)