Глава 1 Элементы дифференциальной геометрии (стр. 5 )

Средней кривизной поверхности называется величина

. (1.72)

Полная (гауссова) кривизна определяется по формуле

. (1.73)

Используя выражения средней и полной кривизн, уравнение для определения главных кривизн поверхности можно записать в виде

, (1.74)

а главные кривизны вычислять по формуле

. (1.75)

Для ортогональной поверхностной системы координат угол , образуемый произвольным нормальным сечением с координатной линией u (рис. 1.7) определяется по формуле

, . (1.76)

Тогда формулу нормальной кривизны (2.53) можно представить в виде

. (1.77)

Из полученного выражения видно, что характер изменения нормальной кривизны существенно зависит от величины NL – M2.

Возможны следующие три случая.

1.  Если в данной точке поверхности NL – M2 > 0, то кривизна нормальных сечений не меняет знак. Это значит, что главные нормали координатных линий ко всем нормальным сечениям уклоняются в одну сторону от поверхности. Такая точка поверхности называется эллиптической (K > 0).

2.  Если в данной точке поверхности NL – M2 < 0, то кривизна нормальных сечений может иметь различные знаки, т. е. имеются нормальные сечения с противоположными направлениями главной нормали. Такая точка называется гиперболической (K < 0).

3.  Если в данной точке поверхности NL – M2 = 0, то правая часть формулы сохраняет знак по всем направлениям, за исключением одного, где нормальная кривизна обращается в ноль. Такая точка поверхности называется параболической (K = 0).

Заметим, что выражение NL – M2 является числителем в формуле полной гауссовой кривизны (1.73), знаменатель которой строго положителен и, следовательно, их знаки совпадают. Так как тип поверхности, как и полная кривизна поверхности в точке не зависят от первоначально выбранной системы поверхностных координат, то в условия, определяющие тип поверхности (знак выражения NL – M2), остаются справедливыми и для произвольной (неортогональной) системы координат. Можно также сказать, что тип поверхности в точке определяется знаком гауссовой кривизны.

Для координатной системы в линиях кривизны (М = 0, F = 0) с учетом формул (1.69), для нормальной кривизны произвольного сечения формула (1.76) принимает вид

. (1.78)

Формула (1.78) получена Эйлером и носит его имя.

Для исследования характера изменения нормальной кривизны в точке используют графический метод, предложенный Дюпеном. В касательной плоскости поверхности в точке в направлении касательной нормального сечения откладывают отрезок равный корню квадратному радиуса кривизны нормального сечения (). Получаемая кривая носит имя индикатрисы Дюпена. Умножим выражение нормальной кривизны сечения (1.53) на модуль радиуса кривизны ()

.

Вводя обозначения; , получим уравнение индикатрисы Дюпена в виде

. (1.79)

Знак правой части, очевидно, зависит от знака кривизны (выпуклости или вогнутости) нормального сечения. Как видно из (1.79) индикатриса Дюпена представляет плоскую центральную кривую второго порядка. Центр кривой совпадает с рассматриваемой точкой поверхности.

Из теории кривых второго порядка [13] известно, что невырожденная кривая второго порядка может быть эллипсом, гиперболой или параболой. Тип кривой определяется знаком 2-го инварианта I2 квадратичной формы кривой второго порядка:

; . (1.80)

При I2 > 0 – кривая является эллипсом, при I2 < 0 – гиперболой, при I2 = 0 – параболой. Но коэффициенты квадратичной формы (1.80) соответствуют коэффициентам второй формы поверхности в уравнении индикатрисы Дюпена (1.79):

; ; , (1.81)

а 2-ой инвариант квадратичной формы соответствует выражению, определяющему тип поверхности в точке , и условия вида кривой индикатрисы, совпадают с условиями типа поверхности в окрестности точки. Таким образом, вид кривой индикатрисы Дюпена соответствует типу поверхности в окрестности точки.

Пусть поверхность отнесена к ортогональной поверхностной системе координат (F = 0). Введем единичные орты в направлении координатной системы в точках поверхности

; ; . (1.82)

или ; .

Из условия получим

, (1.83)

или, дифференцируя, имеем

. (1.84).

Для ортогональных единичных векторов, выполняются соотношения

; – символ Кронекера,

и, следовательно,

; , . (1.85)

Тогда, умножая равенство (1.51) скалярно на и , получим:

; ; (1.86)

Учитывая далее формулу (1.84) и формулу (1.51), имеем:

,

откуда

, где (1.87)

Аналогично, получим

. (1.83)

Из соотношений

;

имеем

;

. (1.89)

Окончательно получаем формулы дифференцирования орт ортогональной координатной системы поверхности:

; ;

; ;

; . (1.90)

Коэффициенты квадратичных форм и радиусов кривизны координатных линий не являются независимыми. Рассмотрим тождества:

; ; ; (1.91)