Расчет балок вариационным методом ритца-тимошенк” (стр. 10 )

;

;

.

(3.2.2)

При расчете по формулам (3.2.1, 3.2.2) выражения в круглых скобках вычисляются с соблюдением условия

, что соответствует расчету балки по участкам.

Начальные параметры определяем из граничных условий на правой опоре :

;

.

Откуда имеем:

;

.

Решая систему уравнений, получим:

, .

Результаты расчета приведенных поперечных сил , изгибающих моментов и прогибов приведены в табл. 3.2.1.

Таблица 3.2.1

x	0	0,125	0,25	0,375	0,5	0,625	0,75	0.875	1.0
	0,304	0,179	0,054	0,058	0.054 -0,196	-0,271	-0,346 -0,221	-0,296	-0,371
	0	0,0302	0,0447	0,0514	0,0582	0,0289	-0,096	-0,042	0,0837
·103	0	-1,875	-3,298	-4,034	-3,965	-3,076	-1,746	-0,539	0

Двойные значения поперечных сил приведены в сечениях, где приложены внешние сосредоточенные силы.

Подбираем двутавровое сечение балки. Наибольший момент действует в заделке на правой опоре:

кНм.

м3.

Принимаем I №36 , Wz = 743 см3 , Jz = 13380 см4 .

Чтобы вычислить действительные (размерные) значения прогибов, моментов и поперечных сил, данные расчетов в табл. 3.1.1, 3.1.2, 3.2.1 нужно умножить на коэффициенты согласно формулам (3.2.2) (при вычислении необходимо следить за размерностями всех используемых величин):

;

См = qol2 = 20·82 =1280 кНм; СQ = qol = 20·8 = 160 кН.

Проведем сравнение приближенных результатов, полученных в 4-м приближении по методу Ритца-Тимошенко с точным решением сопротивления материалов. Результаты приведены в табл. 3.2.2.

Таблица 3.2.2

x	у(4) (x) (см)	усм (x) (см)	dy %	Mz(4)(x) (кНм)	Mzсм(x) (кНм)	dм %	Qyсм (кН)
0	0	0	0	0	0	0	48.64
0.125	-0.570	-0.574	0.7	36.49	38.61	5.9	28.64
0.25	-1,009	-1.010	0	58.57	57.22	2.4	8.64
0.375	-1.233	-1.234	0.1	67.78	65.82	3.0	8.64
0.5	-1.207	-1.214	0.5	65.82	74.43	11.6	8.64 -31.36
0.625	-0.942	-0.942	0.1	41.58	37.05	12.4	-43.36
0.75	-0.530	-0.535	0.7	-8.79	-12.35	28.5	-55.36 -35.36
0.875	-0.153	-0.165	7.2	-62.69	-53.73	16.6	-47.36
1.0	0	0	0	-85.96	-107.12	19.8	-59.36

Как видно из табл. 3.2.2, 4-е приближение дает хорошую сходимость для прогибов, которая несколько снижается в зоне заделки. Результаты 4-го приближения для изгибающих моментов нельзя считать удовлетворительными. И если 28% невязки приходятся на зону малых значений изгибающих моментов, то 19,8% - на наибольший момент в заделке и, следовательно, расчет требуется проводить с большим числом членов ряда.

На рис. 3.2.1 представлены эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и прогибов, рассчитанных по методу сопротивления материалов и изгибающих моментов и прогибов в 1-м и 4-м приближениях, рассчитанных по методу Ритца-Тимошенко. Значения величин, проставленные на эпюрах, соответствуют точному расчету методом сопротивления материалов.

3.3. РасЧет балки на ЭВМ

Расчет на микрокалькуляторе изгибающих моментов довольно трудоемок, хотя для уточнения можно провести расчет только в точке наибольшего момента. Если мы хотим получить более точные результаты по всей длине пролета, например для армирования железобетонной балки, расчет целесообразно проводить на ЭВМ.

Алгоритм расчета балки методом Ритца-Тимошенко легко реализовать в виде программы на алгоритмических языках Паскаль, Фортран или других языках программирования. Причем он легко реализуется при произвольном числе членов ряда и произвольных сочетаниях нагрузок.

В табл. 3.3.1 приведены результаты расчетов на ЭВМ изгибающих моментов Mz и поперечных сил Qу, вычисленных с различным числом членов ряда (номер приближения – число членов ряда указывается в скобках). Для сравнения в таблице приведены соответствующие точные значения внутренних усилий, полученных методом сопротивления материалов.

Таблица 3.3.1

x (м)	Mz см (кНсм)	Mz(10) (кНсм)	Mz(20) (кНсм)	Mz(25) (кНсм)	Qy см (кН)	Qy(20) (кН)	Qy(30) (кН)	Qy(40) (кН)
0	0	0	0	0	48.64	47.40	46.39	46.20
1,0	38.65	38.97	38.41	38.40	28.64	29.38	29.93	29.71
2,0	57.22	57.07	57.11	57.24	8.64	10.46	9.82	9.56
3,0	65.79	65.15	65.97	65.64	8.64	9.35	9.52	9.61
4,0	74.50	72.04	72.95	73.34	8.64 -31.36	-7.91 -7.91	-7.61 -7.61	-7.65 -7.65
5,0	36.99	36.93	37.63	37.48	-43.36	-35.53	-35.82	-35.67
6,0	-12.29	-10.94	-11.16	-11.52	-55.36 -35.36	-38.48 -38.48	-37.35 -37.35	-37.20 -37.20
7,0	-53.76	-52.21	-54.48	-53.58	-47.36	-40.48	-40.90	-40.91
8,0	-107.1	-99.90	-103.39	-104.52	-59.36	0	0	0

Как видно из приведенных значений, изгибающий момент в зоне заделки отличается в 10-м приближении от точного значения более чем на 7 %. Лишь в 25-м приближении относительная невязка становится менее 3%. В то же время, в левой и средней частях пролета, вдали от заделки, приближенные значения 10-го приближения хорошо аппроксимируют изгибающий момент в пролете балки.