Расчет балок вариационным методом ритца-тимошенк” (стр. 4 )

№ \ x прибл.\	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
1	0.6366	0.6055	0.5150	0.3742	0.1967	0
2	0.4244	0.4807	0.5806	0.5760	0.3684	0
3	0.5517	0.4807	0.4533	0.5760	0.4957	0
4	0.4608	0.5342	0. 4814	0.4895	0.5693	0
5	0.5315	0.4669	0.5386	0.4479	0.5912	0
6	0.4737	0.5220	0.4918	0.4820	0.5733	0
7	0.5226	0.4932	0.4767	0.5285	0.5337	0
8	0.4802	0.4932	0.5191	0.5285	0.4912	0
9	0.5176	0.5152	0.5075	0.4929	0.4609	0
10	0.4841	0.4833	0.4804	0.4732	0.4506	0
15	0.5106	0.4889	0.5131	0.4820	0.5337	0
20	0.4920	0.4916	0.4902	0.4865	0.4745	0
25	0.5064	0.4933	0.5079	0.4892	0.5204	0
30	0.4947	0.4944	0.4934	0.4910	0.4829	0
35	0.5045	0.4952	0.5056	0.4923	0.5147	0
Точ. реш.	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5

Значительно более медленная сходимость наблюдается для поперечной силы. Однако и здесь после 10-го приближения имеются незначительные колебания около точного (постоянного значения) решения сопротивления материалов. Лишь 35-е приближение дает отклонения от точного решения в узловых точках, не превышающие 5%.

Колебания вокруг точного решения увеличиваются к середине пролета, где решение сопротивления материалов претерпевает конечный разрыв. В то же время решение, полученное методом Ритца-Тимошенко, непрерывно и равно нулю в середине пролета (x=0,5). Однако можно показать, что при удерживании необходимого числа членов ряда решение в e-окрестности точки разрыва как угодно мало будет отличаться от точного решения, т. е. для любой точки кроме точки разрыва - x = 0,5 можно получить решение, отличающееся от точного на любую малую величину. Приведем значение поперечной силы в различных приближениях в точке, отстоящей от середины пролета на 0,01l - x = 0,49:

1-е приближение - Qy = 0,02P; 2-е - 0,04ЗР; 5-е - 0,0995Р; 10-е - 0,2Р; 20-е - 0,37Р; 30-е - 0,49Р; 40-е - 0,57Р; 50-е - 0,59Р; 60-е - 0,57Р;

Далее наблюдается медленная сходимость. Значения колеблются вокруг точного решения Qy = 0,5P, причем амплитуда колебаний постепенно уменьшается. К 200-му приближению отклонения от точного решения в точке x =0 ,49Р находятся в пределах 5%. Далее расчет не проводился, хотя при использовании ЭВМ это не представляет трудности.

Сходимость решения в e-окрестности точки разрыва обеспечивается полнотой используемой системы функций, какой и является, в частности, система тригонометрических функций.

Пример2.3. Получить и проанализировать решение метода Ритца-Тимошенко для однопролетной шарнирно опертой балки загруженной сосредоточенным моментом в середине пролета (рис. 2.3).

Решение рассматриваемой задачи обладает симметрией (обратной симметрией) относительно середины пролета.

Согласно решению сопротивления материалов прогибы и углы поворота в первой половине пролета балки определяются формулами: ; ; .

Положив , получим решение метода Ритца-Тимошенко в соответствии с формулами (1.1.10, 2.4, 2.5): .

Откуда

; ;

И, следовательно,

;

;

;

. (2.7)

Первые два ряда решения (2.7) являются абсолютно сходящимися, третий ряд сходится как знакопеременный.

Ряд для поперечной силы несходящийся. В точке x = 0 решение принимает два значения: 2 - при m = 2, 6, 10... и 0 - при m = 4 , 8, 12... . В точке x = 0,5 ряд расходится. В промежуточных точках пролета решение ограничено, однако, как и на опоре, оно не сходится ни какому конкретному значению. Таким образом, для поперечной силы на основе последней формулы (2.7) решение не может быть получено. Ниже мы рассмотрим, как можно получить решение для поперечной силы от действия в пролете сосредоточенного момента.

Проведем расчет для прогибов, углов поворота и изгибающих моментов в сечениях рассматриваемой балки. Результаты расчета с различным числом членов ряда приведены в табл. 2.4, 2.5, 2.6. Результаты получены для первой половины пролета балки, учитывая симметрию решения. Результаты сравниваются с точным решением сопротивления материалов, приводимым в последних строках таблиц.

Как видно из результатов расчета, сходимость в случае действия сосредоточенного момента значительно медленнее, чем при действии сосредоточенной силы и тем более равномерно распределенной нагрузки. Тем не менее, все ряды для прогибов, углов поворота и изгибающих моментов сходятся к точному решению сопротивления материалов.

Прогибы () Таблица 2.4

№ \ x прибл.\	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
1	0	0.0047	0.0077	0.0077	0.0047	0
2	0	0.0038	0.0071	0.0083	0.0057	0
3	0	0.0041	0.0069	0.0081	0.0060	0
4	0	0.0040	0.0070	0.0080	0.0061	0
Точ. реш.	0	0.0040	0.0070	0.0080	0.0060	0

Углы поворота; () Таблица 2.5

№ \ x прибл.\	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
1	0.05066	0.04099	0.01565	-0.01565	-0.04099	-0.05066
2	0.03800	0.03707	0.02590	-0.00541	-0.04490	-0.06333
3	0.04362	0.03533	0.02135	-0.00085	-0.04316	-0.06895
4	0.04046	0.03789	0.02037	-0.00183	-0.04060	-0.07212
5	0.04248	0.03587	0.02240	-0.00386	-0.03857	-0.07415
6	0.04108	0.03701	0.02196	-0.00429	-0.03743	-0.07555
7	0.04211	0.03669	0.02112	-0.00346	-0.03711	-0.07659
10	0.04144	0.03644	0.02145	-0.00352	-0.03837	-0.07851
20	0.04161	0.03661	0.02161	-0.00339	-0.03837	-0.08086
Точ. реш.	0,04167	0,03670	0,02167	-0,00333	-0,03833	-0,08333

Изгибающие моменты () Таблица 2.6