Расчет балок вариационным методом ритца-тимошенк” (стр. 5 )

№ \ x прибл.\	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
1	0	0.1870	0.3025	0.3025	0.1870	0
2	0	0.0360	0.2092	0.3958	0.3379	0
3	0	0.1363	0.1472	0.3338	0.4383	0
4	0	0.0900	0.2221	0.2589	0.4845	0
5	0	0.0900	0.2221	0.2589	0.4845	0
10	0	0.0952	0.1893	0.2798	0.3563	0
15	0	0.0970	0.2066	0.2876	0.4273	0
20	0	0.0980	0.1956	0.2918	0.3818	0
25	0	0.0987	0.2029	0.2944	0.4123	0
Точ. реш.	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5

Значение разрывной функции (изгибающего момента в точке приложения внешнего момента) в точке разрыва стремится к среднему значению. Однако, как и в случае поперечной силы в предыдущем примере, в e-окрестности точки разрыва при достаточном числе удерживаемых членов ряда может быть получено точное значение функции слева или справа от точки разрыва.

Как уже отмечалось выше, ряд, полученный для вычисления поперечной силы, не является сходящимся, и точное решение при его использовании не может быть достигнуто. Чтобы получить решение для поперечной силы, рассмотрим однопролетную шарнирно опертую балку, загруженную парой сил, эквивалентной сосредоточенному моменту, т. е. парой сил Р = М/D противоположно направленных и приложенных на расстоянии D симметрично относительно точки приложения момента (рис. 2.4).

Как видно из приведенных эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mz , решение эквивалентной задачи от действия пары сил в балке совпадает с соответствующим решением от действия изгибающего момента вне интервала D. Аналогичный характер имеют решения для прогибов и углов поворота. В пределах интервала действия пары сил D изгибающий момент распределяется линейно, проходит через ноль и отражает характер полученного выше решения в рядах. Значение поперечной силы в пределах интервала приложения пары сил D увеличивается с уменьшением интервала и стремится к бесконечности при стремлении интервала D к нулю. Именно этим и объясняется расходимость решения для поперечной силы в точке приложения сосредоточенного момента. Практически в приведенном выше решении для поперечной силы стремление поперечной силы к бесконечности в точке приложения сосредоточенного момента отражает факт равенства бесконечности производной в точке разрывного решения () , хотя слева и справа от точки разрыва производная имеет конечные, равные значения.

Рассмотрим решение задачи методом Ритца-Тимошенко, положив qо = Р/l, P = M/D.

.

;

;

;

. (2.8)

Скорость сходимости решений (2.8) зависит от величины интервала D, на который разносится заменяющая момент пара сил. Она увеличивается с увеличением интервала. В то же время эта величина не должна быть очень большой, так как точное решение получается только вне этого интервала. Расчет показал, что при D = 0,2l скорость сходимости для прогибов, углов поворота и изгибающих моментов такая же, как при расчете на сосредоточенный момент по формулам (2.7). При D = 0,1l сходимость улучшается. Так, при расчете углов поворота достаточно 6, при расчете изгибающих моментов - 10 членов ряда, чтобы получить точность решения в пределах 3%.

В отличие от решения с сосредоточенным моментом решение для поперечной силы, полученное по последней формуле из соотношений (2.8) сходится. Сходимость эта очень медленная, для достаточно точного решения приходится учитывать более сотни членов ряда. В табл. 2.7 приведены некоторые приближения для поперечной силы Qy при D = 0,1l.

Поперечные силы (x) ((x)) Таблица 2.7

№ \ x прибл.\	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
1	-1.967	-1.591	-0.608	-0.608	-1.591	1.967
10	-1.050	-1.055	-1.077	-1.147	-1.580	10.773
20	-0.974	-0.972	-0.961	-0.924	-0.673	8.036
55	-0.943	-1.057	-0.943	-1.056	-0.954	8.963
72	-1.031	-1.001	-0.960	-0.988	-1.136	9.206
112	-1.020	-1.001	-0.975	-0.992	-1.087	9.131
187	-1.012	-1.000	-0.985	-0.995	-1.051	9.075
212	-1.010	-1.000	-0.987	-0.996	-1.046	9.068
Точ. реш.	-1,0	-1,0	-1,0	-1,0	-1,0	9,0

В табл. 2.7 после 20-го приближения приведены приближения с наибольшими амплитудами отклонения от точного решения. Впрочем, уже в десятом приближении заметно стремление решения к константе, а в 72-м приближении отклонения в приведенных точках кроме точки x = 0,4 не превышают 3%.

Пример 2.4. Расчет шарнирно опертой балки, загруженной линейно распределенной (гидростатической) нагрузкой (рис. 2.5).

В отличие от предыдущих задач в рассматриваемой балке нагрузка не является ни симметричной, ни обратно симметричной, хотя, как и для любой симметричной конструкции, нагрузку можно представить комбинацией симметричной и обратносимметричной.

Решение сопротивления материалов определяется формулами:

;

;

, ;

. (2.9)

Получим решение методом Ритца-Тимошенко.

.

;

;

;

. (2.10)

Результаты расчетов по формулам (2.9, 2.10) приведены в табл. 2.8, 2.9, 2.10, 2.11.

Прогибы () Таблица 2.8

№ \ x прибл.\	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
1	0	-0.00384	-0.00622	-0.00622	-0.00384	0
2	0	-0.00365	-0.00610	-0.00634	-0.00404	0
3	0	-0.00367	-0.00608	-0.00632	-0.00406	0
Точ. реш.	0	-0.00367	-0.00609	-0.00631	-0.00406	0

Углы поворота; () Таблица 2.9