Расчет балок вариационным методом ритца-тимошенк” (стр. 1 )

 

РасЧет балок вариационным

методом Ритца-тимошенк”

Москва

Издательство Российского университета дружбы народов

2004

РасЧет балок вариационным

методом Ритца-тимошенко

Методические рекомендации

к выполнению курсовой работы

по курсу

“Аналитические и Численные методы

РАСЧЕТА конструкций”

Для студентов магистратуры, обучающихся

по специальности “Строительство”

Москва

Издательство Российского университета дружбы народов

2004

Утверждено

Редакционно-издательским советом

Российского университета дружбы народов

Н.

Расчет балок вариационным методом Ритца-Тимошенко. Методические рекомендации к выполнению курсовой работы по курсу “Численные методы расчета конструкций”. Для студентов магистратуры, обучающихся по специальности "Строительство". - М.: Изд-во РУДН, 2004. - 64 с.

Кратко излагается теоретическое обоснование метода Ритца-Тимошенко. Приводится ряд примеров по расчету балок методом Ритца-Тимошенко. Исследуется сходимость метода сравнением приближенного решения с точным решением сопротивления материалов. Приводятся пример выполнения курсовой работы с использованием микрокалькулятора, и расчет в системе Matcad.

Предназначены для студентов магистратуры при изучении курса “Численные методы расчета конструкций” в качестве пособия при выполнении курсовой работы и освоения методики расчета конструкций вариационным методом Ритца-Тимошенко.

Подготовлена на кафедре сопротивления материалов РУДН.

Ó , 2004 г.

Ó Издательство Российского университета дружбы народов, 2004 г.

Введение

Точные решения известны лишь для ограниченного числа задач теории упругости и строительной механики. При расчете пластин, оболочек, массивных конструкций в большинстве случаев приходится использовать различные приближенные методы. Вариационные методы относятся к наиболее часто используемым в инженерной и научной практике методам приближенного расчета. Вариационные методы основаны на минимизации функционалов, и на основе их можно получать как точные, так и приближенные решения в аналитической или численной форме. Широко применяемый в расчетной практике метод конечного элемента также основан на вариационных принципах строительной механики и теории упругости.

При расчете балок постоянного сечения вариационные методы в основном не используются, так как имеются достаточно простые точные методы решения задач расчета балок методами сопротивления материалов. Однако при расчете стержневых систем на устойчивость и колебания вариационные методы могут применяться. Следует отметить, что широко используемый при расчете стержневых рамных конструкций метод сил основан на вариационных принципах.

Цель данной курсовой работы - научить студента использовать вариационный метод Ритца-Тимошенко на примере расчета балки как наиболее простого объекта исследования. Наличие точного решения сопротивления материалов позволяет исследовать процесс сходимости приближенного решения к точному путем их сравнения. Простота конструкции позволяет получить решение практически с любой степенью точности, проводя расчет с любым числом членов ряда при минимальных затратах труда. Задачи могут также легко программироваться и расчет проведен на ЭВМ с использованием алгоритмических языков программирования Фортран, Паскаль и других современных средств математического обеспечения, например Mathcad.

В работе приводится краткое теоретическое обоснование метода Ритца-Тимошенко, основанного на вариационном принципе Лагранжа. Приводится ряд расчетов шарнирно опертой балки с исследованием сходимости решения к точному решению, полученному методами сопротивления материалов. Далее приводится пример выполнения курсовой работы с использованием микрокалькулятора и на основе приведенной в приложении программы на алгоритмическом языке Паскаль, а также средств системы Mathcad.

При выполнении курсовой работы студент имеет право проводить расчет с применением любого из указанных или других альтернативных средств.

I. принцип Лагранжа.

РасЧет балок Вариационным методом

Ритца-Тимошенко

Метод Ритца-Тимошенко, как и большинство вариационных методов решения задач теории упругости, основан на принципе Лагранжа - принципе минимума полной энергии деформаций [1, 2].

Принцип Лагранжа. Из всех кинематически возможных напряженно-деформированных состояний твердого деформируемого тела для действительного напряженно-деформированного состояния достигается минимум полной энергии деформаций.

Кинематически возможным деформированным состоянием называется любое деформированное состояние тела, отвечающее заданным условиям перемещения отдельных точек рассматриваемой конструкции. В основном это условия закрепления точек конструкции - граничные кинематические условия. В стержневых рамных конструкциях к кинематическим условиям можно отнести и условия сопряжения стержней. Например, сохранение угла между жестко соединяемыми в узле стержнями.

Согласно принципу Лагранжа для любого приближенного решения, описывающего напряженно-деформированное состояние конструкции, значение полной энергии деформаций будет больше полной энергии деформаций, полученной для действительного (точное решение) напряженно-деформированного состояния.

Полная энергия деформаций определяется по формуле:

Э = U - T, (1.1)

где Э - полная энергия деформаций; U - потенциальная энергия деформаций (работа внутренних сил); T - работа внешних сил;

;

, (1.1а)
s, t - нормальные и касательные напряжения; e, g - линейные и угловые относительные деформации; X, Y, Z - проекции объемных сил, qx, qy, qz проекции поверхностной распределенной нагрузки на оси прямоугольной системы координат; u, v, w - проекции перемещения точки в прямоугольной системе координат.

Полная энергия деформаций (1.1, 1.1а) является функционалом. В курсе вариационного исчисления [3,4], изучающего свойства функционалов, показано, что необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю вариации функционала. Вариация (приращение) функционала является аналогом дифференциала (приращения) функции в математическом анализе.

Таким образом, условие достижения экстремума (минимума) полной энергии деформаций имеет вид:

dЭ = dU - dT = 0, (1.2)

где d - знак вариации функционала.

1.1. Алгоритм расЧета поперечного изгиба балок

методом Ритца-Тимошенко

Согласно теории сопротивления материалов при поперечном изгибе балок в поперечном сечении балки возникают нормальные напряжения sх и касательные напряжения tху, остальные напряжения равны нулю. Следовательно, потенциальная энергия деформаций определяется выражением:

. (1.1.1)

При этом потенциальная энергия, определяемая касательными напряжениями, обычно составляет 1-2%, и влиянием этого слагаемого в функционале энергии пренебрегают. Окончательно получаем формулу потенциальной энергии деформаций балки:

, (1.1.2)

где Мz - изгибающий момент в поперечном сечении балки, Jz - момент инерции поперечного сечения, Е - модуль упругости материала балки, у - координата точки поперечного сечения балки, l - пролет балки.

При выводе формулы (1.1.2) использовались формула закона Гука и формула нормальных напряжений при поперечном изгибе балки.

Используя формулу дифференциального уравнения прогибов оси балки , получим формулу потенциальной энергии деформаций балки в перемещениях:

, (1.1.3)

здесь у - прогиб оси балки.

Работа внешних сил - поперечной нагрузки балки (рис. 1.1.1) определяется по формуле:

. (1.1.4)

В формуле (1.1.4) интеграл представляет работу распределенной нагрузки. При этом q(х) изменяется по любому закону, в том числе функция нагрузки может быть кусочно-переменной функцией. В этом случае интеграл берется по соответствующим участкам пролета балки. В частности если на участке балки распределенная нагрузка отсутствует q(х)=0, то интеграл на этом участке равен нулю. Суммы в выражении работы сосредоточенных поперечных сил и моментов показывают, что нужно учесть влияние всех действующих сосредоточенных сил и моментов.

На рис.1.1.1 показаны положительные направления внешних сил.

Прежде чем изложить алгоритм метода Ритца-Тимошенко, проведем замену переменной х, перейдя к безразмерным координатам, положив:

. (1.1.5)

При этом диапазон аргумента х - 0 £ х £ а , заменяется на диапазон изменения безразмерного аргумента x - 0 £ x £ 1. Использование безразмерных координат имеет много преимуществ и позволяет снизить трудоемкость вычислительного процесса и уменьшить возможность ошибок из-за неправильного использования размерных величин.