Расчет балок вариационным методом ритца-тимошенк” (стр. 11 )

Для поперечной силы даже 40-е приближение дает значительное отклонение от точного решения, особенно в точках разрыва (скачков) поперечной силы. При сравнении результатов следует учитывать, что в точках разрыва функции (поперечной силы в точке приложения сосредоточенной силы) приближенное значение, аппроксимируемое рядом, стремится к среднему значению. Чтобы получить точное значение функции в e-окрестности точки разрыва, необходимо проводить расчет с большим числом (несколько сотен) членов ряда. Как уже отмечалось выше на правой опоре значение поперечной силы (поперечная сила на опоре равна опорной реакции), получаемое методом Ритца-Тимошенко равно нулю, однако в ближайших к опоре сечениях значение поперечной силы стремится к истинному значению.

Если в исходных данных задать E = qo = l = 1, а значения нагрузок и расстояния вводить в безразмерном виде:

,

q0, l - абсолютное значение интенсивности одной из нагрузок и длина пролета, то результаты счета будут выдаваться в безразмерном виде.

3.4. РасЧет балки в системе MATнCAD

Mathcad - система математического программирования, предоставляющая большие возможности пользователю при проведении математических и физико-технических расчетов. Mathcad является системой для работы с формулами, числами, текстами, графиками.

Mathcad обеспечен многими встроенными функциями, операторами и программами. К встроенным функциям относятся как широко используемые тригонометрические и гиперболические функции, так и специальные функции математической функции. Mathcad снабжен операторами суммирования, дифференцирования и интегрирования функций, подпрограммами решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения корней полиномов и трансцендентных уравнений, снабжен системой построения одно- и двумерных графиков и поверхностей.

Ниже приводится пример расчета балки методами Ритца-Тимошенко и сопротивления материалов в системе Mathcad с построением графиков прогибов и изгибающих моментов для первых четырех приближений. В примере при вычислении коэффициентов Сn использован оператор интегрирования системы Mathcad. Эти коэффициенты могли быть вычислены на основе формул (3.10).

В качестве результатов расчета выведены на печать таблицы - прогибы (у) и изгибающих моментов (Мz) 1-4-й члены ряда и с 1 го по 4-е приближения расчета по методу Ритца-Тимошенко и решение сопротивление материала - yсм и Mzсм, вклад 4-го члена ряда по отношению к 4-му приближению, а также относительные невязки 4-х приближений для прогибов dу и изгибающих моментов dм решения Ритца-Тимошенко по отношению к точному решению сопротивления материалов.

Для построения четких, плавных графиков расчет всех параметров (прогибов, изгибающих моментов) проводится с достаточно мелким шагом. Для наглядности графики каждого параметра во всех приближениях и график сопротивления материалов совмещаются.

Из приведенных графиков видно, что для прогибов только в первом приближении можно заметить отклонения от точного решения. Графики остальных приближений сливаются с точным решением сопротивления материалов.

На графиках изгибающего момента видно отклонение всех 4-х приближений от решения сопротивления материалов, при этом видно, что каждое последующее приближение приближается к точному решению. Значительные отклонения имеются только в зоне заделки на правой опоре. Приведен график изгибающих моментов 10-го приближения, который практически сливается с решением сопротивления материалов.

Приведены графики поперечных сил решения сопротивления материалов, 4-го и 70-го приближений. 70-е приближение достаточно точно аппроксимирует решение сопротивления материалов. Точность несколько нарушается в местах приложения сосредоточенных сил и в заделке.

Л и т е р а т у р а

1. Основы теории упругости и пластичности. - М.: 1978. - 288 с.

2. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. - М.: 1987. - 542 с.

3. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: 1965. - 424 с.

4. , Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. -М.: 1976. - 256 с.

5. Н. Вариационные принципы и методы решения задач теории упругости. –М.: Изд-во РУДН, 2001. – 176 с.

6. Н. Расчет пластинок вариационным методом Ритца-Тимошенко. - М.: 1992. - 36 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

МатематиЧеские формулы

1. Тригонометрические функции

;

;

;

;

;

;

sin2a = 2sina×cosa ; ;

; ;

; ;

;

cosmp = (-1)m, , m, n =1,2,3...

,

2. Формулы суммирования рядов

(на основе формул раздела 2)

;

;

;

;

.

Содержание

	Введение............................................................................…...	3
I.	Принцип Лагранжа. Расчет балок вариационным методом Ритца-Тимошенко……………………………….…………..	4
1.1.	Алгоритм расчета поперечного изгиба балок методом Ритца-Тимошенко…………………………………………...	5
II.	Расчет однопролетной шарнирно опертой балки…….…...	11
III.	Пример выполнения курсовой работы…………………….	31
3.1.	Расчет прогибов и изгибающих моментов на микрокалькуляторе………………………………………….……...	38
3.2.	Расчет балки методом сопротивления материалов. Сравнение приближенного и точного решений…………...	44
3.3.	Расчет балки на ЭВМ………………………………………..	50
3.4.	Расчет балки в системе Mathcad……………………………	51
	Литература…………………………………………………...	62
	Приложение. Математические формулы…………………..	63

Вячеслав Николаевич Иванов

Расчет балок

вариационным методом

Ритца-Тимошенко

Методические рекомендации

к выполнению курсовой работы

по курсу

«Аналитические и численные методы

расчета конструкций»

Для студентов магистратуры,

обучающихся по специальности «Строительство»

Тематический план 2003 г.

Издание подготовлено в авторской редакции

Лицензия серии ЛЗ № 000 от 4 марта 1997 г.

Подписано в печать г. Формат 60´84/16. Печать офсетная.

Усл. печ л. 4,0. Уч. - изд. л. Усл. кр. – отт.

Тираж 200 экз. Заказ № от 2003 г.

Издательство Российского университета дружбы народов

117923, ГПС-1, Москва,

Типография ИПК РУДН

117923, ГПС-1, Москва,