Расчет балок вариационным методом ритца-тимошенк” (стр. 6 )

№ \ x прибл.\	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
1	-0.02053	-0.01661	-0.00634	0.00634	0.01661	0.02053
2	-0.01925	-0.01621	-0.00738	0.00531	0.01701	0.02182
6	-0.01950	-0.01614	-0.00718	0.00510	0.01693	0.02207
Точ. реш.	-0.01944	-0.01618	-0.00718	0.00516	0.01682	0.02222

Изгибающие моменты () Таблица 2.10

№ \ x прибл.\	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
1	0	0.03791	0.06135	0.06135	0.03791	0
2	0	0.03025	0.05661	0.06609	0.04558	0
3	0	0.03252	0.05520	0.06468	0.04785	0
Точ. реш.	0	0.03200	0.05600	0.06400	0.04800	0

Поперечные силы (x) ((x)) Таблица 2.11

№ \ x прибл.\	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
1	0.20264	0.16394	0.06262	-0.06262	-0.16394	-0.20264
2	0.15198	0.14829	0.10361	-0.02163	-0.17960	-0.25330
3	0.17450	0.14133	0.08539	-0.00342	-0.17264	-0.27582
4	0.16183	0.15157	0.08148	-0.00733	-0.16239	-0.28848
5	0.16994	0.14347	0.08958	-0.01544	-0.15429	-0.29659
6	0.16431	0.14802	0.08784	-0.01718	-0.14973	-0.30222
10	0.16575	0.14576	0.08580	-0.01407	-0.15348	-0.31405
15	0.16709	0.14625	0.08707	-0.01370	-0.15317	-0.32026
20	0.16643	0.14643	0.08643	-0.01355	-0.15346	-0.32345
Точ. реш.	0.16667	0.14667	0.08667	-0.01333	-0.15333	-0.33333

Как видно из приведенных расчетов, для обеспечении точности в пределах 3% для прогибов, углов поворота и изгибающих моментов достаточно удерживать в рядах 2-3 члена ряда. Более медленная сходимость наблюдается при расчете поперечных сил, где приходится учитывать до 20 членов ряда.

Выводы. Как видно из приведенных примеров при расчете шарнирно опертой балки при действии равномерно распределенной и линейно распределенной нагрузок и сосредоточенных сил при расчете прогибов и углов поворота необходимая точность достигается, если расчет проводить с учетом 2-3 членов ряда. При расчете изгибающих моментов учет 2-3 членов ряде достаточен при расчете на распределенные нагрузки. При расчете на сосредоточенную силу, чтобы получить достаточную точность в точках приложения сосредоточенных сил, требуется удерживать 7-8 членов ряда. Однако для сечений, не совпадающих с точками приложения сосредоточенных сил, необходимая точность достигается при расчете с 3-4 членами ряда.

Наиболее медленная сходимость наблюдается при расчете на сосредоточенный момент. Только при расчете прогибов достаточно удерживать 3-4 члена ряда. При расчете углов поворота приходится удерживать 15-20 членов ряда, а изгибающих моментов - 20-25 членов ряда. Сходимость решения можно улучшить, если сосредоточенный момент заменить эквивалентной парой сил с интервалом между силами около 0,1 пролета. При этом точность в пределах 3% достигается для моментов с учетом 10 членов ряда.

При расчете поперечных сил сходимость, получаемого методом Ритца-Тимошенко решения, наиболее медленная. При равномерно распределенной нагрузке для достижения точности 3% приходится удерживать 8 членов ряда, при сосредоточенной силе - 30-35 членов ряда. При действии сосредоточенного момента решение в рядах для поперечной силы вообще не сходится к точному решению. Решение для поперечной силы в этом случае можно получить, только заменив ее эквивалентной парой сил.

Однако надо иметь в виду, что практически не существует сосредоточенных сил. Любая сосредоточенная сила - это распределенная по малой площади нагрузка. При этом значения моментов и поперечных сил в точках перелома и разрывов несколько сглаживаются, и точность приближенных расчетов повышается. Поэтому при расчете с 5-10 членами ряда в большинстве случаев достигается достаточная при расчете внутренних усилий точность, необходимая для оценки прочности и принятия конструктивных решений.

Добавление. При расчете балок методом Ритца-Тимошенко получаются решения в виде рядов, сходящихся к точному решению сопротивления материалов. Следовательно, известны суммы получаемых рядов. Это можно использовать для вычисления суммы рядов.

Например, рассмотрим решение для прогибов однопролетной шарнирно опертой балки при действии равномерно распределенной нагрузки (2.5). Положив x=0,5 и приравняв полученный ряд значению прогиба в середине пролета балки, получим:

,

и, следовательно,

.

С другой стороны полученный ряд можно использовать для вычисления числа p. При этом, так как ряд знакопеременный, ошибка вычисленного значения не будет превышать последнего отброшенного члены ряда - , M - число удерживаемых членов ряда.

1-н член ряда, М = 1 - ;

2-а члена ряда, М = 2 - ;

М = 3 - ,

М = 4 - .

Ряды, которые могут быть вычислены на основе решений (2.5¸2.10), приведены в приложении 1.

III. ПРИМЕР выполнения курсовой работы

Задание. Для заданной схемы однопролетной балки (рис. 3.1):

1. Провести расчет прогибов и изгибающих моментов методом Ритца-Тимошенко с удержанием 4 членов ряда.

2. Провести сравнительный анализ последовательных приближений.

3. Рассчитать балку методом сопротивления материалов, подобрать двутавровое сечение балки (Е = 2·105 Мпа, [s] = 160 МПа).

4. Сравнить решение метода Ритца-Тимошенко с точным решением сопротивления материалов.

5. Построить графики последовательных приближений метода Ритца-Тимошенко и решения сопротивления материалов для прогибов и изгибающих моментов.

Примечание. Функции Ym(x) для различных схем опирания однопролетных балок приведены в задании. При выполнении задания необходимо сформулировать все (кинематические и статические) граничные условия опирания балки и проверить, каким из этих условий удовлетворяет решение. Если кинематические граничные условия выполнены, продолжить расчет.

Примечание. Знак нагрузки следует определять по их направлению на схеме балки. Положительное направление нагрузки совпадает с направлением оси у. Положительной является только сила Р2 как направленная по направлению оси у.

1. Решение для функции прогибов у(x) принимаем в виде ряда (1.1.11)

. (3.2)

Функция Ym(x) подбирается так, чтбы выполнялись кинематические граничные условия опирания балки в виде комбинации тригонометрических функций (для студентов функций Ym(x) приведены в задании на выполнение курсовой работы):

. (3.3)

Дифференцируя функцию Ym(x) по x , получим:

,

,

. (3.4)