Расчет балок вариационным методом ритца-тимошенк” (стр. 2 )

При замене переменной по формуле (1.1.5) дифференциальные отношения преобразуются по формулам:

; dx =l× dx . (1.1.6)

Тогда потенциальная энергия и работа внешних сил определятся по формулам:

;

(1.1.7)

Решение задачи изгиба балки методом Ритца-Тимошенко ищем в виде ряда:

, (1.1.8)
где Ym(x) - функции, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям опирания балки; Аm - неопределенные коэффициенты, G - нормирующий множитель, назначаемый выше для придания решению наиболее удобного для расчета вида.

Функции Ym(x) подбираются так, чтобы они удовлетворяли кинематическим граничным условиям. В балках к кинематическим условиям относятся равенство нулю перемещений на опорах и равенство нулю углов поворота в жестко защемленных опорах. Статическим граничным условиям функции Ym(x) (статические факторы - внутренние усилия в сечении балки - поперечная сила и изгибающий момент) могут не удовлетворять. Это упрощает подбор функций Ym(x) и расширяет возможности метода. Однако, если функции Ym(x) кроме кинематических удовлетворяют всем или части статических условий, то ряд (1.1.8) обычно имеет лучшую сходимость. Если функции Ym(x) (отдельные члены ряда) не удовлетворяют статическим граничным условиям, то эти условия удовлетворяются для суммы членов ряда при минимизации функционала полной энергии деформаций. Это следует из доказательства принципа Лагранжа. Процесс выполнения статических граничных условий при удовлетворении членами ряда только кинематических условий можно видеть из примеров расчета, приведенных в данном пособии или на примерах расчета пластинок [5].

Неопределенные коэффициенты Аm определяются из условий минимума функционала полной энергии деформаций (1.1). При подстановке решения (1.1.8) в функционал полной энергии деформаций он становится функцией множества неизвестных коэффициентов Аm. Из курса математического анализа известно, что условиями экстремума функции многих переменных являются условия равенства нулю первых производных по всем аргументам:

(1.1.9)

Условия (1.1.9) дают бесконечную систему алгебраических уравнений, из решения которой определяются коэффициенты Аm. Если получить решение системы с произвольным числом членов ряда, то на основе метода Ритца-Тимошенко можно получить точное решение задачи. Однако, так как решение бесконечной системы алгебраических уравнений получить в общем виде часто не удается, то на практике ограничиваются решением (1.1.8) с конечным числом членов ряда, получая при этом приближенное решение. Оценка сходимости и точности приближенного решения является достаточно сложной задачей. Чаще всего о сходимости судят, получая и сравнивая решения с различным числом членов ряда.

Подставляя решение (1.1.8) в выражения потенциальной энергии деформаций и работы внешних сил (1.1.7) и дифференцируя по Аn, получим:

;

.

Подставляя полученные выражения в условие минимума полной энергии деформаций (1.1.9) и сокращая соотношение на общий множитель G, имеем:

.

.

Разделим последнее соотношение на qo×l, чтобы обезразмерить правую часть равенства, и принимаем нормирующий множитель , где qo - произвольное значение интенсивности распределенной нагрузки.

Окончательно получаем систему алгебраических уравнений:

(1.1.10)
где ,

.

Из решения системы алгебраических уравнений (1.1.10) определяются коэффициенты Аm. В общем случае это бесконечная система уравнений. И хотя имеются методы их решения, они касаются регулярных систем, в которых коэффициенты Вmn обладают специальными свойствами. На практике обычно используют решение (1.1.8) с конечным числом членов ряда, получая таким образом приближенные решения.

Другой случай, когда удается получить точное решение, - использование систем ортогональных функций. Две функции f(x), j(х) называются ортогональными в рассматриваемом интервале интегрирования [a, в], если определенный интеграл от произведения этих функций равен нулю:

.

Из теории рядов известно, например, что системы тригонометрических функций sinmpx, cosmpx ортогональны в интервалах [-1,1] и [0,1] при целых m. Имеются и другие известные в математике системы ортогональных функций. Однако не всегда удается использовать эти функции при конкретных граничных условиях.

После вычисления коэффициентов Am из системы (1.1.10) прогибы, углы поворота и внутренние усилия в сечениях балки определяются с учетом соотношений сопротивления материалов и введенных ранее обозначений по формулам:

;

,

,

. (1.1.11)

II. РасЧет однопролетной

шарнирно опертой балки

Рассмотрим несколько примеров расчета однопролетной шарнирно опертой балки методом Ритца-Тимошенко. Шарнирно опертая балка является простейшим объектом исследования и позволяет провести качественный анализ получаемого решения, в том числе, путем сравнения с точным решение сопротивления материалов.

Граничные условия шарнирно опертой балки: на опорах при х = 0 и при х = l равны нулю прогибы - у(0) = у(l) = 0 - кинематические граничные условия и изгибающие моменты - Мz(0) = Mz(l) = 0 - статические граничные условия.

Для функций Ym(x) с учетом формул (1.1.11) в безразмерных координатах граничные условия запишутся в виде:

,

. (2.1)

Принимаем функции Ym(x) в виде:

. (2.2)

Нетрудно убедится, что решение (2.2) удовлетворяет не только кинематическим, но и статическим граничным условиям (2.1).

Определяем коэффициенты Bmn согласно формулам (1.1.10)

, где - символ Кронекера. (2.3)

Благодаря ортогональности системы синусов в интервале интегрирования, только диагональные коэффициенты системы (1.1.9) (m = n) отличны от нуля , все внедиагональные коэффициенты равны нулю Bmn = 0, m ¹ n. Получаем систему независимых уравнений:

,

откуда

, m =1,2,3,4… (2.4)

Таким образом, получаем решение в виде бесконечного ряда, в случае сходимости которого решение может быть получено с любой заданной точностью, т. е. решение является точным решением поставленной задачи.

Пример 2.1. Получить и провести анализ решения метода Ритца-Тимошенко для однопролетной шарнирно опертой балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 2.1).

На рис. 2.1 кроме схемы балки приведены эпюры поперечных сил Qy и изгибающего момента Mz точного решения балки методом сопротивления материалов и наибольшие значения этих величин. Это позволит провести сравнение решения метода Ритца-Тимошенко с точным решением. Приведем также точные значения прогиба в середине пролета

и угла поворота на опоре

.

Определяем коэффициент Сm по формуле (1.1.10), принимая qo= |q|. Нагрузка q отрицательна, так как направлена против оси у.