Расчет балок вариационным методом ритца-тимошенк” (стр. 3 )

И, следовательно, согласно формуле (2.4) получим:

, m = 1,3,5....

Подставляя выражение коэффициента в формулы (1.1.11), получим формулы перемещений и внутренних усилий:

;

;

;

. (2.5)

Из решения (2.5) видно, что все ряды абсолютно сходящиеся, и, следовательно, для всех функций можно получить решение с любой требуемой точностью. Очевидно, наиболее медленно будет сходиться ряд при вычислении поперечной силы.

Сравнивая формулы (2.5) с решением сопротивления материалов, приведенном выше, видим, что уже в первом приближении (один член ряда) прогибы, углы поворота и изгибающие моменты дают хорошую точность. Относительные невязки первого приближения составляют

- для прогиба в середине пролета dyc= 0,4%;

- для угла поворота на опоре djо = 1,5%;

- для изгибающего момента в середине пролета dмc= 3,2%;

- для поперечной силы на опоре dQy= 19%.

Практически только для поперечной силы точность первого приближения неудовлетворительна. Для изгибающего момента невязка лишь немного более 3%. При двух членах ряде для прогиба в середине пролета получим:

, dмc = 0,6%.

Функции прогиба, угла поворота и изгибающего момента описываются в сопротивлении материалов параболами различного порядка, которые достаточно хорошо аппроксимируются тригонометрическими функциями во всем диапазоне изменения аргумента.

Быстрота сходимости обусловлена в частности тем, что при симметричном нагружении суммируются только нечетные члены ряда, т. е. через один член ряда. Аналогично, при обратно симметричной нагрузке, будут суммироваться только четные члены ряда. При смешанной нагрузке будут суммироваться все члены ряда и сходимость будет по крайней мере в два раза медленнее.

Для того же, чтобы достаточно хорошо аппроксимировать линейную функцию поперечной силы, необходимо провести расчет с несколькими членами ряда. Проведем расчет поперечной силы в нескольких сечениях пролета с удержанием различного числа членов ряда решения (2.5), чтобы посмотреть, как линейная функция аппроксимируется тригонометрическим рядом. Ввиду симметричности решения расчет проводим в левой половине пролета с шагом Dx = 0,1. Результаты расчета приведены в табл. 2.1.

Поперечные силы (x) ((x)) Таблица 2.1

№ \ x прибл.\	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
1	0.4053	0.3854	0.3279	0.2382	0.1252	0
2	0.4503	0.4119	0.3140	0.1954	0.0888	0
3	0.4665	0.4119	0.2978	0.1954	0.1050	0
4	0.4748	0.4071	0.2952	0.2033	0.0983	0
5	0.4798	0.4023	0.2992	0.2003	0.0999	0
6	0.4832	0.3991	0.3020	0.1983	0.1009	0
7	0.4855	0.3977	0.3012	0.2006	0.0990	0
8	0.4874	0.3977	0.2994	0.2006	0.1008	0
Точ. реш.	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Как видно из таблицы, практически, уже в 4-м приближении аппроксимирующая кривая стремится к прямой линии, хотя наибольшее значение поперечной силы на опоре имеет относительную невязку около 5%. Лишь в 7-м приближении относительная невязка поперечной силы на опоре становится равной 2,9% и в 8-м приближении 2,5%. В остальных точках вывода данных с шагом 0,1 длины пролета относительная невязка менее 1%.

Пример 2.2. Провести расчет и анализ результатов однопролетной шарнирно опертой балки, загруженной сосредоточенной силой в середине пролета (рис. 2.2).

Кроме приведенных на эпюрах значении изгибающего момента в середине пролета балки и значений поперечной силы, из решения сопротивления материалов имеем прогиб в середине пролета и угол поворота на опоре:

,.

Получим согласно формуле (1.1.10) значение коэффициентов Сm, положив

,

Откуда

.

И, согласно формуле (2.4), получим:

, m = 1,3,5...

Для перемещений и внутренних усилий получаем формулы:

;

;

;

. (2.6)

Из решения (2.6) видно, что первые три ряда сходятся абсолютно, а четвертый ряд сходится как знакопеременный во всем интервале изменения аргумента x. В то же время ряды сходятся медленнее, чем в предыдущем примере. Только для прогиба в середине пролета точность первого приближения находится в пределах 3% (2,4%). Относительная невязка угла поворота на опоре балке в первом приближении составляет 3,2%. Невязки изгибающего момента в середине пролета и поперечной силы на опоре в первом приближении составляют 19 и 26% соответственно.

Чтобы проанализировать процесс сходимости, в табл. 2.2 и 2.3 приведены расчеты изгибающего момента и поперечной силы с различным числом членов ряда, в первой половине пролета с шагом Dx = 0,1 .

Из результатов расчета для изгибающего момента приведенных в таблице 2.1 видно, что уже четвертое приближение дает в узловых точках с шагом 0,1 пролета хорошее приближение к линейному решению сопротивления материалов. В средней точки пролета х = l/2 сходимость несколько медленнее, здесь относительная невязка 4-го приближения равна 5%. Ухудшение сходимости в средней точке связано с разрывностью первой производной решения сопротивления материалов в этой точке. Однако уже 7-е и 8-е приближения дают относительную невязку 2,9 и 2,5% соответственно.

Изгибающие моменты (x) ((x)) Таблица 2.2

№ \ x прибл.\	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
1	0	0.0626	0.1191	0.1639	0.1927	0.2026
2	0	0.0444	0.0977	0.1570	0.2060	0.2252
3	0	0.0525	0.0977	0.1489	0.2060	0.2333
4	0	0.0492	0.1016	0.1476	0.2035	0.2374
5	0	0.0499	0.1002	0.1496	0.2011	0.2399
6	0	0.0505	0.0992	0.1510	0.1996	0.2416
7	0	0.0495	0.1003	0.1506	0.1989	0.2428
8	0	0.0504	0.1003	0.1497	0.1989	0.2437
Точ. реш.	0	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25

Поперечные силы (x) ((x)) Таблица 2.3