Расчет балок вариационным методом ритца-тимошенк” (стр. 7 )

2. Формулируем граничные условия опирания балки (рис. 3.1):

а) при х = 0 у(0) = Мz(0) = 0,

б) при х = l y(l) = j(l) = 0,

или с учетом формул (1.1.11) для членов ряда:

а) при x = 0 ,

б) при x = 1 , (3.5)

3. Проверяем выполнение граничных условий:

а) выполнение граничных условий при x = 0 очевидно, так как sin(0) = 0;

б) при x = 1 получим:

,

.

Все граничные условия как кинематические, так и статические выполнены.

Примечание. Отметим, что на правой опоре при х = l (x = 1) по формуле (3.4) имеем , и, следовательно, Qy(l) = 0, что при произвольной нагрузке не должно быть. Здесь точность решения следует из полноты системы функций Ym(x), что обеспечивает в любой малой e - окрестности точки x = 1 близость к точному решению с заданной точностью при удержании достаточного числа членов ряда.

4. Вычисляем коэффициенты Bmn.

. (3.6)

Рассмотрим интеграл общего вида:

При интегрировании использовалась формула разложения произведения синусов разных аргументов (см. приложение).

Таким образом, в результате интегрирования получаем ноль при m = n и неопределенность при m ¹ n. Раскрыть неопределенность можно, взяв предел результата интегрирования при (m - n), стремящимся к нулю (x=0). Однако удобнее вычислить интеграл при m = n:

.

.

Окончательно получаем:

, (3.7)

где - символ Кронекера.

Учитывая формулу (3.7) и то, что при m = 0, получаем коэффициент Вmn:

. (3.8)

Таким образом, при m ¹ n , и .

Вычисляем диагональные коэффициенты при m = 1¸4 :

; ;

; .

5. Вычисляем коэффициенты Сn.

Принимаем qo = abs(q1) = 20 кН/м и, следовательно:

, ,

, .

Знаки учитывают направление действия нагрузок.

Вычислим интеграл:

.

(3.9)

Интеграл от нагрузки представим в виде:

Cn = Cn(q1) + Cn(q2) + Cn(P1) + Cn(P2). (3.10)

;

;

;

.

Вычисление коэффициентов Сn представлено в табл. 3.1а, 3.1б.

Tаблица 3.1а

n	Cn(q1)	Cn(q2)
1
2
3
4
		Таблица 3.1б
n	Cn(P1)	Cn(P2)
1	-0,1768·[1+(+1)] = -0,3536	0,125×[0,9239-(-0,3827)]=0,0677
2	-0,1768·[1-(-1)] = -0,3536	0,125×[0,9239+(-0,3827)]=0,1633
3	-0,1768·[1+(-1)] = 0	0,125×[0,9239-(-0,9239)]=0,2310
4	-0,1768·[1-(+1)] = 0	0,125×[0,9239+0,9239]=0,2310

Суммируя коэффициенты, вычисленные в табл. 3.1а, 3.1б, получим:

С1 = -0,1794 - 0,1801 - 0,3536 + 0,0677 = -0,6454;

С2 = 0,1276 - 0,3241 - 0,3536 + 0,1633 = -0,3868;

С3 = -0,2234 - 0,3087 + 0 + 0,2310 = -0,3011;

С4 = 0,0876 - 0,2401 + 0 + 0,2310 = 0,0785.

6. Вычисляем коэффициенты Аm.

Запишем в матричной форме систему алгебраических уравнений (1.1.10) для 4 членов ряда:

. (3.11)

Подставляя численные значения коэффициентов, получим:

. (3.12)

Учитывая, что диагональные члены Вmm много больше боковых членов Вmn (m ¹ n) , можно получить приближенное решение системы уравнений, положив внедиагональные члены равными нулю Вmn » 0 (m ¹ n).

,

откуда получим:

. (3.13)

Точность приближенного решения системы можно проверить, подставив полученное решение в систему (3.10) и получив невязку решения.

Вычисляем коэффициенты Am:

,

,

,

.

3.1. РасЧет прогибов и изгибающих моментов

на микрокалькуляторе

При проведении повторяющихся расчетов (расчетов, проводимых по однотипным формулам при различных значениях аргумента) на микрокалькуляторе, вычисления удобно выполнять в табличной форме. При этом таблица должна достаточно подробно отражать все действия, чтобы можно было легко проверить каждое вычисление. Графы таблиц зависят от вида расчетных формул.

Ниже в табл. 3.1.1, 3.1.2 приведены расчеты прогибов и изгибающих моментов по формулам (1.1.11) и (3.2, 3.3).

Первые три строки в табл. 3.1.1, 3.1.2 вспомогательные:

- в 1-й строке указывается номер графы;

- во 2-й строке указывается вычисляемая функция;