Главные этапы в развитии теории света (стр. 14 )

3.6.4. Законы Стефана – Больцмана и смещения Вина.

Закон Кирхгофа ставит в центре внимания теории теплового излучения универсальную функцию Кирхгофа и поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры являлось важнейшей задачей.

Решение этой задачи было найдено не сразу. В начале был установлен теоретически и экспериментально подтвержден закон, определяющий суммарное излучение абсолютно черного тела, т. е. его энергетическую светимость закон Стефана - Больцмана. Опираясь на законы термодинамики и идею о существовании давления излучения, пропорционального его плотности, Стефан и Больцман показали, что энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры, т. е.

, 6.6

где - постоянная Стефана – Больцмана. Экспериментальные исследования Луммера и Вина (1895 г.) и Луммера и Прингсгейма (1897 г.) подтвердили этот вывод.

Вин, опираясь на законы термодинамики и электродинамики, показал, что максимум функции приходится на длину волны, определяемую из закона

, 6.7

где - постоянная Вина, а закон получил название закона смещения Вина.

Кроме того, Вин показал, что в максимуме спектральная плотность излучательности абсолютно черного тела пропорциональна пятой степени абсолютной температуры.

4.6.4. Формулы Релея – Джинса, Вина и Планка

Если теоретически осуществить черное тело как совокупность бесконечного числа гармонических осцилляторов, каждый из которых дает отдельную монохроматическую линию, а все вместе сплошное излучение, то, пользуясь законами, управляющими поведением таких осцилляторов, можно прийти к законам теплового излучения абсолютно черного тела.

Идя по этому пути, Релей и Джинс получили для универсальной функции Кирхгофа выражение

6.8

формула Релея – Джинса.

Как показал опыт, это выражение хорошо согласуется с опытными данными только в области малых частот и резко расходится с ними в области высоких частот. Кроме того, попытка получить закон Стефана – Больцмана на основе этой формулы приводит к абсурдному результату. В самом деле,

6.9

и, следовательно, по Релею – Джинсу

. 6.10

В то время как по закону Стефана – Больцмана энергетическая светимость абсолютно черного тела имеет конечное значение . Этот вывод получил название «ультрафиолетовой катастрофы».

В 1896 году Вин для универсальной функции Кирхгофа получил выражение

. 6.11

Эта формула хорошо согласуется с опытом в области высоких частот и резко расходится в области низких.

Таким образом, в рамках классической физики получить выражение для универсальной функции Кирхгофа не удалось.

М. Планк, анализируя положение, пришел к выводу о том, что причина неудач лежит в неправильности приложения законов классической физики к атомным осцилляторам. По классическим законам энергия осциллятора может принимать любые значения, так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебания. В соответствии с этим осциллятор может излучать любое количество энергии. По мнению М. Планка эти законы не применимы к атомным осцилляторам.

Планк предположил, что атомный осциллятор может иметь энергию пропорциональную частоте колебаний, т. е. , где - постоянная Планка. В соответствии с этим и излучение энергии может происходить только порциями, пропорциональными . Учитывая новые законы, Планк для универсальной функции Кирхгофа получил выражение

. 6.12

В декабре 1900 года на заседании немецкого физического общества Курльбаум и Прингсгейм докладывали о новых измерениях спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела и посетовали на то, что ни одна из существующих теорий не может дать правильный результат. Тогда Планк предложил провести расчеты по выведенной им формуле. Полученное выражение дает полное совпадение с самыми тщательными экспериментальными данными и, следовательно, является полным решением задачи, поставленной Кирхгофом.

Найдя эту формулу, Планк, чтобы объяснить ее должен был приписать физический смысл двум константам, которые в ней появились. Для первой константы это было легко. Но что касается второй, которую Планк назвал «элементарным квантом действия», то это «… либо фиктивная величина, и тогда весь вывод закона излучения был в принципе ложным и представлял собой всего лишь пустую игру в формулы, лишенную смысла, либо же вывод закона излучения опирается на некую физическую реальность, и тогда квант действия должен приобрести фундаментальное значение в физике и означает собой нечто совершенно новое и неслыханное, что должно произвести переворот в нашем физическом мышлении, основывавшемся со времен Лейбница и Ньютона, открывшим дифференциальное исчисление, на гипотезе непрерывности всех причинных соотношений.»

При низких частотах и поэтому и формула Планка переходит в формулу Релея – Джинса.

Легко убедиться в том, что, используя формулу Планка можно получить и другие законы теплового излучения. При этом оказывается, что постоянные Стефана – Больцмана и Вина можно выразить через постоянные

и сравнив теоретические и практические значения можно было делать вывод о справедливости данной теории. Расчеты показали полное совпадение практических и теоретических значений . По известным значениям можно было найти значение постоянной Планка .

Это интересно. С математической точки зрения, задача, поставленная Планком, была достаточно простой. Необходимо было интеграл из расходящегося сделать сходящимся. Иначе обстояло дело с физическим смыслом введенной величины.

4.6.4. Оптическая пирометрия.

Законы теплового излучения используют для определения температуры раскаленных самосветящихся тел. Методы измерения высоких температур, использующие законы теплового излучения, получили название оптической пирометрии. В зависимости от того, какой закон используется для определения температуры, различают радиационную, цветовую и яркостную температуры.

1. Радиационная температура. В этом случае регистрируется энергетическая светимость тела и по закону Стефана – Больцмана вычисляется температура тела . Радиационная температура Т всегда меньше истинной температуры , так как любое реальное тело является серым телом и для него закон Стефана – Больцмана имеет вид , где - коэффициент серости . Тогда , т. е. .

2. Цветовая температура. Для серых тел применим закон смещения Вина и поэтому, определяя длину волны, на которую приходится максимум спектральной плотности излучательности тела (цвет излучении) можно по закону смещения Вина определить температуру тела. Цветовая температура равна истинной температуре тела.

Интересно, что хорошие кузнецы по цвету раскаленной заготовки определяют температуру тела с точностью до . Гремучая змея может определять температуру с точностью до 0,01К.

3. Яркостная температура – температура абсолютно черного тела, при которой для определенной длины волны спектральная плотность излучательности абсолютно черного тела равна спектральной плотности излучательности исследуемого тела.

В качестве яркостного пирометра используют пирометр с исчезающей нитью. Накал нити подбирается таким образом, чтобы на фоне исследуемого тела изображение нити исчезало. Используя проградуированный по абсолютно черному телу микроамперметр, можно определить температуру нити. Так как реальные тела не абсолютно черные, то яркостная температура ниже истинной температуры.

Задачи к зачету

57.  Определить во сколько раз необходимо уменьшить температуру абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимость уменьшилась в 16 раз?