Главные этапы в развитии теории света (стр. 20 )

9.7

и называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что это уравнение имеет решение лишь при определенных значениях параметра Е, которые получили название собственных значений энергии. Собственные значения энергии могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном спектре, во втором – о дискретном. В качестве примера рассмотрим движение свободной частицы.

При движении свободной частицы ее потенциальная энергия равна нулю и полная энергия совпадает с кинетической энергией. Для свободной частицы, движущейся вдоль оси Х, уравнение Шредингера будет иметь вид:

.

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением этого уравнения является функция

,

где и . Так как и, учитывая, что длина волны де Бройля , то будем иметь . Следовательно, - из полученного выражения следует, что зависимость энергии от импульса оказывается обычной для нерелятивистской частицы и для ее энергии получается выражение . Из этого выражения следует, что энергия свободной частицы может принимать произвольные значения.

5.9.4. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Пусть частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины шириной и имеет возможность двигаться вдоль оси Х. Тогда потенциальная энергия частицы будет иметь значение

. 9.8

В данном одномерном случае уравнение Шредингера примет вид

. 9.9

По условию частица не может покинуть ямы и поэтому , т. е. вероятность обнаружения частицы за пределами ямы равна нулю. В пределах ямы и поэтому уравнение Шредингера можно преобразовать к виду

или

, 9.10

где .

Решение этого уравнения ищется в виде . Из условия получим:

и тогда .

Условие выполняется, если , где . Отсюда для собственных значений энергии получаются значения

, 9.11

т. е. энергия частицы находящейся в потенциальной яме не может принимать произвольные значения, а квантуется.

Теперь мы можем получить волновую функцию частицы в потенциальной яме

. 9.12

Из условия нормировки можно получить, что и, следовательно, волновая функция частицы имеет вид

. 9.13

Из выражения следует, что энергетический интервал между двумя состояниями

.

В качестве примера рассмотрим два случая. Свободные электроны в металле, ширина потенциальной ямы и тогда

,

т. е. энергетические уровни расположены столь густо, что можно говорить о сплошном спектре.

Для электрона в атоме ширина потенциальной ямы имеет величину порядка и тогда для получим значение

т. е. явно квантуется.

Квантово механическое решение задачи о движении частицы в потенциальной яме, приводит к тому, что она не может иметь энергию меньшую, чем .

Графики собственных функций, соответствующие различным значениям , приведены на рисунке. Слева изображена плотность вероятности обнаружения частицы в той или иной части ямы. Из рисунка следует, что в состоянии с , вероятность обнаружить частицу в центре ямы равна нулю, в то время как одинаково часто мы можем обнаружить частицу в одной и половинок ямы.

5.9.4. Гармонический осциллятор в квантовой механике.

Потенциальная энергия гармонического осциллятора определяется выражением . Эта зависимость имеет вид параболы, т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.

Гармонический осциллятор в классической механике описывается уравнением и, следовательно, его энергия может принимать любые значения, те. Спектр является сплошным.

В квантовой механике осциллятор описывается уравнением Шредингера

,

где Е – полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что это уравнение имеет решение только при собственных значениях энергии . Из этого выражения следует, что энергия квантового осциллятора квантуется, т. е. может принимать только дискретные значения.

6.9.4. Атом водорода в квантовой механике.

Решение задачи об энергетических уровнях электрона в атоме водорода сводится к решению задачи о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром определяется выражением

.

Следовательно, состояние электрона в атоме водорода описывается функцией , удовлетворяющей уравнению Шредингера в виде

.

Мы уже указывали, что подобное дифференциальное уравнение имеет решение только при определенных значениях параметра Е. Как показывают расчеты

.

Легко заметить, что полученное решение совпадает со значением полученным Бором, но Бор вынужден был вводить дополнительные гипотезы, а в квантовой механике это результат самой теории, вытекающий из решения уравнения Шредингера.

Задачи к зачету

85.  Электрон движется со скоростью . Определить длину волны де Бройля для электрона, учитывая зависимость массы от скорости.

86.  Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна 0,1 нм?

87.  Найти длину волны де Бройля протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 1 МВ.

88.  Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлеровской длине волны, определить относительную неопределенность импульса частицы.

89.  Электрон находится в потенциальной яме шириной в возбужденном состоянии . Определить в каких точках интервала плотность вероятности нахождения частицы минимальна?