Моделирование систем в задачах. Практикум (стр. 11 )

(10.27)

Уравнения получены с учетом того, что матрица будет равна 0, если каждый элемент матрица будет равен нулю. Здесь были найдены все элементы матрицы 2*2, и каждый ее член был приравнен к 0. Четвертое уравнение окаалось выражденным случаем с нулевой правой частью. При этом было использовано правило произведения матриц:

Из (10.27) определим Р11, Р12, Р22. Будем иметь:

(10.28)

(10.29)

(10.30)

Определим матрицу F из соотношения (10.4). Получим:

(10.31)

Соотношение (10.31) с учетом (10.28) и (10.29) примет вид

Таким образом

μ(t) = − F ⋅ x(t ) . (10.32)

Подставим (10.31), (10.32) в (10.22). Получим:

или

(10.33)

Таким образом, оптимальная замкнутая система описывается уравнением

(10.33). Введем обозначение

(10.34)

Определим характеристический полином замкнутой системы. Получим:

Характеристическое уравнение имеет вид:

(10.35)

Определим корни характеристического уравнения. Будем иметь:

(10.36)

или

(10.37)

Следовательно, оптимальная замкнутая система устойчива.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 10.4. Рассмотрим спутник, который вращается относительно

своей оси симметрии. Угловое положение спутника в момент t обозначим

через ϕ(t) , а постоянный момент инерции спутника – через J. С помощью

газовых струй к спутнику может быть приложен вращающий момент μ(t) ,

который рассматривается как управляющее воздействие системы. Трение

отсутствует. Определяя переменные состояния:

запишем дифференциальное уравнение состояния в виде:

(10.38)

где

X(t) = [X1 (t) X2 (t)], β = 1 \ J.

Критерий оптимальности имеет вид:

(10.39)

Определить оптимальный закон управления:

μ(t) = − F ⋅ x(t)

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.5. Система описывается дифференциальным уравнением

состояния вида:

(10.40)

где

x(t) = [x1 (t) x 2 (t)]T

Критерий оптимальности имеет вид:

(10.41)

Параметры α0, α1, ρ, b имеют значения:

α0 = 2; α1 = 1; ρ = 0,002; b = 0,787.

Определить оптимальный закон управления:

u (t) = − F ⋅ x(t)

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.6. Система описывается дифференциальным уравнением

состояния вида:

(10.41)

где

x(t) = [x1 (t) x 2 (t)]T.

Критерий оптимальности имеет вид:

(10.42)

Определить оптимальный закон управления

u (t ) = − F ⋅ x(t )

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.7. Система описывается дифференциальным уравнением

состояния вида:

(10.43)

где

x(t) = [x1 (t) x 2 (t)]T.

Критерий оптимальности имеет вид:

(10.44)

Определить оптимальный закон управления:

u (t ) = − F ⋅ x(t )

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.8. Система описывается дифференциальным уравнением

состояния вида:

(10.45)

где