Моделирование систем в задачах. Практикум (стр. 1 )

Самарский государственный архитектурно – строительный университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ В ЗАДАЧАХ. ПРАКТИКУМ.

Специализированное учебно-методическое пособие по организации самостоятельной работы студентов

Автор ПРОХОРОВА О. В.

Приводятся методические указания к 11 семнарским занятиям по курсу Моделирование систем. Каждое занятие включает в себя краткие теоретические сведения, иллюстрируемые решением типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения. Методические указания предназначены для студентов специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления» дневной, вечерней и заочной форм обучения.

Москва 2012 г.

Оглавление

1. Определение математических характеристик случайных функций. 3

2. Определение вероятностных характеристик интеграла от случайного процесса. 9

3. Определение вероятностных характеристик производной от случайного процесса. 13

4. Определение спектральной плотности по корреляционной функции. 18

5. Определение дисперсии случайного процесса на выходе динамической системы.. 23

6. Формирующие фильтры.. 31

7. Цепи Маркова. 37

8. Определение матрицы М среднего времени перехода. 47

9. Каноническое разложение случайного процесса. 55

10. Задача детерминированного линейного оптимального управления. 59

11. Стохастическое линейное оптимальное регулирование. 82

Литература. 95

1. Определение математических характеристик случайных функций

Теоретические сведения

Пусть – неслучайная функция, X (t) , Y (t) – независимые слу-

чайные функции. Математическое ожидание (среднее значение) функции Y(x) от дискретной или непрерывной случайной величины х есть

- плотность распределения вероятностей величины х:

X – значение случайной величины х.

Свойства математического ожидания:

1) M [ϕ(t)] = ϕ(t).

2) M [ϕ(t) ⋅ X (t)] = ϕ(t) ⋅ m x (t).

3) M [X (t) + Y (t)] = m x (t) + m y (t).

4) M [X (t) ⋅ Y (t)] = m x (t) ⋅ m y (t ).

Пусть ϕ(t) – неслучайная функция, X (t) , Y (t) – независимые слу-

чайные функции, тогда дисперсия случайно величины X (t):

Свойства дисперсии:

1) D[ϕ(t)] = 0.

2) D[ϕ(t) ⋅ X (t)] = ϕ (t) ⋅ Dx (t).

3) D[X (t) + Y (t)] = D x (t) + D y (t).

4) D[X (t)] ≥ 0.

Пусть ϕ(t) – неслучайная функция, X (t) – случайная функция.

Корреляционной функцией называется математическое ожидание

произведения значений случайной функции X (t) для двух моментов вре-

мени t1 ,t 2.

Свойства корреляционной функции:

1.  K x (t1 , t 2) = K x (t 2 , t1 ).

Для стационарных процессов K x (τ) = K x (−τ), где τ = t1 − t 2 .

2.  K x (t, t) = Dx (t).

3.  Пусть Y (t) = ϕ(t) ⋅ X (t), тогда K y (t1 , t 2) = ϕ(t1) ⋅ ϕ(t 2) ⋅ K x (t1 , t 2).

4.  Пусть Y (t) = ϕ(t) + X (t), тогда K y (t1 , t 2) = K x (t1 , t 2).

5. Пусть Z (t) = X (t) + Y (t), тогда

K z (t1 , t 2) = K x (t1 , t 2) + K y (t1 , t 2) + K xy (t1 , t 2) + K yx (t1 , t 2).

6. Пусть Z (t) = a (t) *X (t) + b(t) *Y (t), где a (t), b(t) – неслучайные:

K z (t1 , t 2) = a (t1) * a(t 2 ) * K x (t1 , t 2) + b(t1 ) * b(t 2 ) * K y (t1 , t 2 ) +

+ a(t1) * b(t 2) * K xy (t1 , t 2 ) + b(t1 ) * a(t 2 ) * K yx (t1 , t 2 ).

Решение типовых задач

Задача 1.1. Определить математическое ожидание произведения

двух функций sin (t) ⋅ exp( α⋅t), где α = const.

Решение. Используем первое свойство математического ожидания,

так как обе функции неслучайные ⇒ M [sin(t) ⋅ exp(αt)] = sin t ⋅ exp( αt) .

Задача 1.2. Определить математическое ожидания следующего вы-

ражения cos(α ⋅ t) ⋅ e(β⋅t)+ sin(α ⋅ t) ⋅ cos(β ⋅ t), где α, β = const.

Решение. Сначала используем третье свойство математического

ожидания:

M [cos(α ⋅ t) ⋅ exp(β⋅t) + sin(α ⋅ t) ⋅ cos(β ⋅ t)] =

= M [cos(α ⋅ t) ⋅ exp (β⋅t)] + M [sin(α ⋅ t) ⋅ cos(β ⋅ t)].

Затем применим первое свойство математического ожидания:

M [cos(α ⋅ t) ⋅ exp(β⋅t)] + M [sin(α ⋅ t) ⋅ cos(β ⋅ t)] =

= cos(α ⋅ t) ⋅ exp(β⋅t) + sin(α ⋅ t) ⋅ cos(β ⋅ t).

Задача 1.3. Определить дисперсию следующего выражения:

cos(β ⋅ t ) + sin(β ⋅ t ) + t + 1, где β = const.

Решение. Используем первое свойство дисперсии, так как все четыре

слагаемых данного выражения есть неслучайные функции:

D [cos(β ⋅ t ) + sin(β ⋅ t ) + t + 1] = 0.

Задача 1.4. Определить корреляционную функцию , где

.

Решение. Используем шестое и четвертое свойства корреля-

ционной функции:

Задача 1.5. Определить корреляционную функцию , где

,X (t), Y (t ) – независимые.

Решение. Используем четвертое свойство корреляционной функции:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.6. Определить математическое ожидание произведения

Задача 1.7. Определить математическое ожидание выражения:

Задача 1.8. Определить математическое ожидание выражения:

exp( αt) ⋅ cos(β t ) ⋅ X (t ), где α, β = const.

Задача 1.9. Определить дисперсию следующего выражения:

exp( α⋅t) cos(β t ), где α, β = const.

Задача 1.10. Определить дисперсию следующего выражения:

exp(α⋅t) cos(β ⋅ t ) X (t ), где α, β = const.

Задача 1.11. Определить дисперсию следующего выражения:

(exp(α⋅t) + cos(β ⋅ t ) + t *t + 1) X (t ), где α, β = const.

Задача 1.12. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2), где

Задача 1.13. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2) , где

Задача 1.14. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2) , где

z (t ) = sin(α ⋅ t ) cos(β ⋅ t ) X (t ) + e α⋅t + e β⋅t.

Задача 1.15. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2), где

z (t) = sin(α ⋅ t) cos(β ⋅ t) X (t) + exp(α⋅t) + exp(β⋅t) + t + 1.

Задача 1.16. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2) .

z (t ) = sin( w ⋅ t ) X (t ) + cos( w ⋅ t )Y (t ).

Задача 1.17. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2), где

z (t) = a ⋅ X (t) + b ⋅ Y (t), X, Y – стационарные процессы, τ = t1 − t 2 .

Задача 1.18. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2), где

z (t) = a ⋅ X (t) − b ⋅ Y (t), X, Y – стационарные процессы, τ = t1 − t 2 .

2. Определение вероятностных характеристик интеграла от случайного процесса

Теоретические сведения

Пусть

где X (t), Y (t) – случайные процессы. Тогда математическое ожидание my(t) определяется по формуле:

(2.1)

Корреляционная функция этого процесса:

(2.2)

Дисперсия случайного процесса Y (t):

(2.3)

Решение типовых задач

Задача 2.1. Случайный процесс задан следующим выражением:

Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса.